对概率分布簇成因的另一认识途径（8）--对正态和均匀分布等的补充说明

张学文（2009-6-21）

1.         在（7）里我们用单步转移把90%的昆虫保留在本格子里，另外各有5%移向前后的相临格子（在一维模型里）的均匀移动规则，使昆虫从最初的集中在一个格子逐步扩散到各个格子。

2.         这样得到的昆虫数量分布图形显示，转移100步以后，不同格子里的昆虫数量十分像正态分布，当转移1000步，就十分类似均匀分布了。如此简单的规则却可获得两种重要分布，有些出人意料。

3.         现在的分析是初步的，仅是凭眼力看图形，认为它们分别符合正态和均匀，而没有做统计学的验证（欢迎有人补充）。

4.         正态分布有个概率最高的中心点。而这个中心点与最初把昆虫集中投放点是一致的。即最初的投放点的位置决定了概率分布的最大值的位置。这与获得幂率分布时的情况不同，那里获得的幂率的概率最高位置与投放点的位置无关。

5.         过去我知道一种经验分布当样本数量很大时，可以从一种分布过渡到另外一种分布。如二项分布过渡到正态分布。但是从来没有想到概率分布可以在过渡到一种分布以后还会再转移到另外的分布。所以这个简单规则下的转移到正态，再转移到均匀的例子着实扩展了眼界。这在理论上的意义有待分析。

6.         幂率也好，正态、均匀分布也好，我们最初給的分布都是昆虫集中在一个格子里。这在连续变量的情况下，应当对应于初始态是个所谓的点分布（δ函数）。所以转移规则就是集中的昆虫如何扩散的规则。在集智俱乐部http://www.swarmagents.com/ 张江的提示下我粗看了维基百科上对福克-普朗克方程的演化的例子。那里的一个动态概率演化图与我用这个思路得到的结果的外形是相同的。这说明他人已经沿着类似思路（处理连续变量的方程）获得了相同结果。让这些知识融合起来对我也是收获。

7.         我过去知道的熵产生最小原理都是针对热力学过程而言的。在点分布（δ函数）演化出幂率的过程中我们计算了每一步转移的信息熵。而这个信息熵的增加是越来越慢的，在达到幂率分布时，信息熵不再随“步数”的增加而加大。这也体现着熵产生最小原理。这个原理在非热力学过程，例如现在的扩散过程，如何应用与体现应当是探索的课题。

8.         再，什么样的转移规则对应熵减少？这是个有启发的问题。

9.         再，我们仅是在一维状态空间中展开了问题。沿着这个思路不难扩展到2维或者3维。这些也有待深入。

10.     已经发现的重要的概率分布并不多，我们初步的探索仅获得了幂、均匀、正态这三个可以是转移演化的结局（为它们找到了原因）。其他的分布如何在本模型下引出，依然是有待深入的事。

11.     本模型显然是个动态的概率分布演化模型，这个模型固然不可能说明一切概率分布的成因，但是肯定有很多实际过程符合这个模型，昆虫数量在各个格子里的转移问题仅是便于说明问题的物理模型。大量的例子有待大家去联系。

12.     好了，作为今年上半年的一个思路扩展，就说这些。前面6-10所提的事，欢迎大家延伸（注：今年我在科学网博客上关于人口的演化的计算， http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=221822  ，也是一个思路的不同模型的应用）。显然把重要的概率分布中一些分布都用这个思路給出理论说明，会使我们对概率分布成因的认识系统化。

转载本文请联系原作者获取授权，同时请注明本文来自张学文科学网博客。
链接地址：https://blog.sciencenet.cn/blog-2024-239453.html

上一篇：新疆民科的新光辉：识星“高兴”
下一篇：请爱好数学的朋友帮助