6. 9第6章第4节3,降水统计力学—气象统计学私探（34）

张学文，2020 10 30 基于1985-2006-10-28的文稿，

 第4节的 (3) 皮尔逊III型被广为应用的原因

为了拟合多种随机变量的概率密度分布函数，皮尔逊从数学上给出了一类函数(不是从物理思考上！)．它的一般式可以写成

       （6.56）

这里x为随机变量，y就是x的概率密度分布函数。对于广为应用的皮尔逊Ⅲ型则上述方程具体化为

       （6.57）  

这个方程保证了在x=-d时，dy/dx=0，即x为某一值(实为众值)时，概率密度不随x而变，这意味着存在一个概率密度最大的位置．或者说这个函数有—个峰(最大)值存在。

另外，在y=0时dy/dx=0，这表明概率密度曲线在两端或一  

端是与x轴相切的。这些在图(6.11)中给出了示意。

图(6.11) 皮尔逊曲线的两个要求

积分上述方程，同时要利用概率密度函数对自变量的积分应当等于l，这一归一化条件等最后可以把这个概率密度分布函数表达成如下形式

       （6.58）

即我们可以把皮尔逊Ⅲ型曲线用如上方程来描叙。式中有两个常数α，β而Γ是所谓Γ函数。即

回顾我们已经推导出来的n个遵守负指数分布的变量的合计值x_n的概率密度分布函数，即（6.44）式，如果令，α=n。则（6.44）式右侧就与皮尔逊Ⅲ型的（6.58）式在形式上完全一致了。

这表明Γ分布与皮尔逊Ⅲ型分布实际上是一个概率密度分布函数。即指数型分布的变量的合计值遵守Γ分布，也就是遵守皮尔逊Ⅲ型

我们认为指数型分布的物理原因已经再三地被阐明了。这个独立指数型分布的变量的合计值遵守Γ分布也推导出来，现在又阐明了Γ分布与皮尔逊Ⅲ型分布是同一个分布。因而也就为皮尔逊Ⅲ型分布找到了物理原因。

从这里我们可以说已经把皮尔逊Ⅲ型分布从一个经验分布提高到一个真正的理论分布的水平上来了。

至此再回答为什么皮尔逊Ⅲ型被广为实用的原因问题就十分方便了：

如果你分析的随机变量实际上是若干个呈指数型分布的随机变的合计值，那么它呈现出皮尔逊Ⅲ型分布则是必然的逻辑结果。（2006年注：后来又提出了另外的理由：某变量的代数平均值不变的同时，其几何平均值也不变，请见《组成论》一书，2003年科学技术大学出版社）

那些原始变量为什么是指数型分布呢?这我们已经举了不少实例说明一些变量呈指数型分布是客观事物在一定约束条件下最易出现的一种分布。

通过这一番论证可以说巩固了皮尔逊Ⅲ型分布的理论地位。从另一方面讲，由于很多变量已经被证买遵守皮尔逊Ⅲ型分布，这也就为我们导出的，有物理依据的从指数分布到Γ分布的一系列理论结果提供了广泛的例证。不妨说，皮尔逊Ⅲ型的广泛应用说明了我们这些统计模型有着重要意义。它们的应用不只限于降水问题，它还可以到其他自然科学和社会科学中去。