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计算方法之渊停岳峙 精选

已有 5146 次阅读 2018-11-12 21:34 |个人分类:大众物理学|系统分类:科普集锦


 山下山下, 风展红旗如画。

 

静力学主要是中学物理的内容,大学普通物理里也会讲一些,无外乎就是合力为零与合力矩为零这两个基本条件。简单讲一讲吧。

质点的平衡问题最简单。在平衡状态附近,力总是可以表示为某个势场的梯度——不需要考虑耗散力,因为速度很小,而且耗散力只是让物体最终停留在平衡位置处。因此,根据势能曲线的形状,就可以确定平衡状态。平衡点只可能是势能的导数为零的极值点,在根据二阶导数的符号,就可以确定它是稳定平衡(二阶导数大于零,极小值)、不稳定平衡(二阶导数小于零,极大值)。当然你也可能运气足够好,碰到拐点(三阶导数不为零)或者随遇平衡的情况(各阶导数都等于零,比如说水平面)。如果考虑二维乃至更高维度的情况,还有可能碰上鞍点(沿某个方向是极大值,沿另一个方向是极小值)。

 

非质点的情况稍微复杂一些。举几个例子吧。

杠杆是最简单的情况。支点两侧的力矩大小相等、方向相反,就可以达到平衡。天平是最常见的情况,调节天平上的游码,就是调节某侧力矩的大小。

双金属片。两种不同属性的材料铆合在一起,当然也会达到受力平衡的状态,但是,当外界条件改变的时候,平衡的状态也会改变。比如说,如果这两种材料的热膨胀系数不一样,当温度升高的时候,一个材料膨胀得厉害一些,双金属片就会向膨胀率低的一侧弯曲。日光灯管里的启辉器利用的就是这个道理。

山峰的高度。山不可能太高,因为太高的山对基底岩石的压力很大,足以改变其物性(从固体变为液体)。从这个角度出发,可以估计山的高度,也可以讨论行星的定义——太小的星体有可能群峰耸立,就不够圆,算不得球体。以地球表面山峰高度的估计为例:若山体密度为$\rho$、高度为$h$,重力加速度为$g$,则基座岩石受到的压强大致为$\rho gh$。假设岩石参数为面积$S$、厚度$\delta$和比热$c$,山体下降$\delta$做的功就是$\rho gh S\delta$,如果这个功全部转化为岩石的热,温度升高就是$\rho gh/c$,如果这个温度大于岩石熔化的问题,它就可以从固体变为液体而溜走,由此带入具体数据,可以得到山峰的高度大约是15公里——与珠穆朗玛峰是一个量级的,而且确实比它还要高一些。(具体细节可以参看赵凯华《定性和半定量物理学》)

 

外界条件的变化,可以使得稳定平衡变为不稳定平衡,反之亦然。还是举几个简单的例子。固体、液体和气体,各自来一个吧。

瑞利-伯纳德对流。均匀地从底部加热一杯水,杯底的水温度升高、密度减小,上层水的温度和密度不变(考虑到热传导,则上层水的温度也会略微升高,密度略有下降),这杯水就会头重脚轻、发生对流,在适当的条件下(依赖于液体的种类、密度、比热、热传导系数和粘滞系数等因素),可以观察到蜂窝状的对流图案,这就是瑞利-伯纳德对流。如果从顶部加热液体,液体的密度分布永远是上轻下重,就不会出现对流现象,热量完全靠热传导向下传送,效率是很低的。

伯努利效应导致的液流弯曲。在定常的理想流体里,流速大的地方压强小,这就是伯努利效应。不要站在铁轨旁边,否则高速列车通过的时候,列车附近的空气流动速度大,远离列车处的空气静止,伯努利效应导致的压力差有可能把你推向列车、造成事故,原因就在于此。旗帜在风中飘扬,经常会朝着某一侧鼓起来,过一会又朝着另一侧鼓起来,尽管旗帜的两侧应该是对称的,但是微小的偏离会迅速放大,因为凹进去的一侧风速会降低一些,而凸起的一侧风速会加快一些,伯努利效应使得旗帜进一步凸起——这是个正反馈过程。如果把旗帜换成高速喷射的液流,效果也是一样的(这跟ZYC的研究兴趣有些关系),差别在于旗帜是固体材料、不容易拉断,而液流是液体构成,聚在一起靠的是表面张力和粘滞力,很容易被吹断的(有一些理论文章详细地讨论这件事,里面充斥着公式,但是物理就这么点内容。比如说,V. M. Entov & A. L. Yarin, The dynamics of thin liquid jets in air, J. Fluid Mech. (1984), vol. 140, pp91-111)。其实,波浪的产生也与此有关,感兴趣的可以参看武际可:无风不起浪——谈谈波浪是如何由风引起的


上面两个例子需要的物理很简单,但是涉及的数学内容有些多,大一的新生暂时还没有接触到。下面这个例子来自于弹性力学,在原则上要用张量和偏微分方程,但是也可以试着用大学普通物理的力学来比划比划。