无风不起浪

     ——谈谈波浪是如何由风引起的

注：文中为了简单定量地说明具有微小扰动的液面，在风的作用下会起波浪，引进了少量简化计算，如果对这部分没有兴趣，可以跳过，直接看得到的结论就可以了。

俗话说“无风不起浪”。是说风在水面上拂过才引起水面的波浪。所以南唐冯延巳有词说：“风乍起，吹皱一池春水。”。南唐冯延巳的词是说的微风的情形，而且风是“乍起”，即风吹的时间不很长，所以只是把水面吹皱。如果风速很大，风吹的延续时间又很长，还能够在江河湖海里掀起惊涛骇浪、翻江倒海。有纪录显示，台风引起的海浪起伏高度竟可达32米。大约有10层楼高！

图1  风乍起，吹皱一池春水

图2  惊涛骇浪

从人们的直觉来看，似乎是由于风吹过水面时空气与水面的摩擦力把水带动引起的波浪。其实，没有那样简单。因为要是那样的话，既然风与水之间的摩擦力，作用在水平面上，总是水平地沿着水平面并指向风吹的方向的，所以风的作用只能带动表面的水随着风的方向流动，而不会掀起那样垂直于水面起伏的波浪。所以实际情况和这种直觉并不符合。那么，水到底是怎样掀起波浪的呢？

这个问题有许多人进行过研究，有的主要考虑风对水面的法向应力[3]，当然也有的主要考虑切向应力[4]。还有的用数值方法来求解。迄今也很难说有一个公认的结论。

我们这里利用比较简单的力学模型来进行定性的讨论。

先来看一种情形，如图设粗线代表已经有一个波浪的水面。风是从左边吹来的。设想与水面有一定距离的地方，在虚线所画的那个高度上风速已经是均匀的了。并且设想风是吹过由水面与虚线组成的洞体的。显然，水面高处A，洞体的截面比起水面低处B的截面要小，所以A处的风速要比B处的风速大。

图3  风与水面作用的示意图

流体力学中有一个很重要的定律，就是伯努利定律。这个定律说，在一条流线上，流体质点的速度与在这点的压强成反比。也就是速度愈大压强愈小。更具体地说是沿着一根流线，我们设流体质点的速度为v密度为ρ，这点的压强为p，它们之间有关系

½ρv²+p=常数。

从这个定律可以看出，流体速度大的地方，压强要小，速度小的地方压强要大。也就是一般地可以说，既然在水面高处风的流速比低处大，那么在水面高处相对于平均压强来说是负值，而水面低处取正值。

这就是说，在有风的情况下，只要是水面有了起伏，水面高的地方受一个向上的吸力，而低的地方受一个向下的压力。

在没有风，也没有别的扰动的情形下，水面的自然平衡状态是水平的。如果有一个扰动，使水面的一个地方鼓起来了，像下图，中心滴进一滴水。这时，在重力作用下，鼓起的地方就要向下运动，当鼓起的地方达到水平面时，由于向下运动的惯性，那些质点还会继续向下运动，直到把原来鼓起来的地方向下形成一个坑。这地方形成了坑，原来这地方的水质点便会被挤到四周，使得四周高起来。这时，四周高起来的地方又在重力作用下回落，又要形成一圈环状的坑，原来坑的地方又会向上运动鼓起来。就是说，原来鼓起来的地方的水质点，会不断上下运动，而周围便形成波，一圈一圈往外传。随着波的运动能量往外传，再加水内部的粘性，运动的振幅逐渐衰减下来趋于平静，水面又回复水平的平衡状态。

图4  水滴引起的波浪

图5 波浪起伏时流体质点的运动

图5表示在小振幅的波浪，或者说在线性化表面波理论之下，液体质点的运动轨迹。它们都在沿着一个近似圆的轨迹运动。在质点处于液体愈深则圆半径愈小，切逐渐变为椭圆。

现在，我们考虑平静的水平面上有风吹来。从前面讨论，我们看出，只要水面有任何的轻微扰动，亦即当水平面有任何一点小的高低不平，于是高的地方就受一个向上的吸力，低的地方就受一个向下的压力。水面的任何地方都在上下运动，随着上下运动，同一个地方一会凸起，一会凹下去，凸起来，风就向上吸，凹下去风就向下压。不过，由于凸面不管是在上升还是下降都向上吸，凹面也是不管是上升还是下降都是向下压，所以这种情况下并不会有能量输入。水面的波动也不能够保持。

现在我们要问，当水面经过微小的扰动凸起来后，怎样的风速能够使这个凸起维持？显然，如果风速比能够维持水面凸起略微大一点，因为凸起的地方受风的作用向上吸，凹面受风的作用向下压，波浪就会维持和继续升高。为此，我们做下面的简单估算：

考虑图3上的A点，大气的密度为ρ风速为v；我们还由小振幅重力波理论知道，水面上A点的运动轨迹是一个以R为半径的圆，不妨设这个质点的运动周期为T，我们知道水的密度是1000 kg/m3，重力加速度为g，A点的速度是2πR/T显然质点A所受惯性力和风力与重力相平衡的条件，即风对A点向上吸力加上A点做圆周运动的向上的惯性力应当和A点所受的重力相平衡，这就是：

½ρv²/R+1000(2πR/T)2/R=1000g.

密度用ρ=1.29kg/m3代入,近似用g=10m/s2，π2=10代入，就近似得到。

v²=800R（10-40 R/T）

由于式中左边为正，所以右端必须有R/T<0.25.,即R<0.25T,否则在无风的条件下，A处的质点会自动跳离水面，这当然是不可能的。在实际情况，水面的微小扰动，可以有不同的R和不同的T,这对应于不同的波长与周期。于是可以看出，当R/T与0.25很接近时，很小的风速就能够使微扰动的水面凸起不再下落。

上面我们是对于水面上一个质点微小扰动后所受的重力、风力和惯性力来讨论，他被风“掀起”的条件。现在我们换一个角度来讨论风压对这个被扰动后的液面所做的功。

设在传播中的波面的表达式为

y=Asin2π（x/l — t/T），

其中y是波表面质点相对于水平面的高度，T是周期，l是波长，A是波幅。

我们知道，力乘物体的速度，就是力做功的功率。现在我们来考虑空气压力作用在行波面上做功的功率。为此，我们计算上下运动的速度

           u=∂y/∂t= —（2Aπ1/T）cos2π(x/l — t/T）,

其中u=dx/dt，是波传播速度。

现在考虑作用在波面上的压强。我们前面讨论过，风压的分布是随液面的起伏不同，扣除平均大气压力，在波面高处，有向上的吸力，在低处有向下的压力。在实际情形下，压强的最大处并不是出于如图3波面的最高处，而是略微偏右一点，也就是略微偏向波面最高点的背风面。这种情况就使压强的表达式有一个小的位相偏移量δ即

p=Bsin(x/l — t/T—δ).

为简单计，令α=x/l —t/T，于是在一个振荡周期中，风压对波面所做的功率在一个振荡周期上的积分为

U=ʃpudt=ʃ[ Bsin2π(α—δ)] [—（2Aπ1/T）cos2π（α）]dt，

积分是从0到T。

由于sin2π(α—δ)=sin2παcos2πδ—cos2παsin2πδ，把它代入上式，经过简化和积分就得到

U=ʃpudt=（2ABπ1/T）sin2πδʃ[ cos²2πα]dt，

由于积分前面的系数都是正的，被积函数又是平方项，显然这是一个正值的积分。就是说，风压对波面不断做正功。也就是说，只要是有风，它就会不断向有微小扰动的液面输入功，从而增加液体的动能。这就是只要风不断吹，波浪就会不断升高的道理。

综合以上的讨论我们看到，在用前面的式子求出的风速的条件下，水平的水面平衡是不稳定的。就是说风速的任何增加都会使水面离水平面越来越远。这就是为什么，风一吹，水面就起波浪，也就是“风咋起，吹皱一池春水”的道理。

不过又会产生一个问题，既然有风持续吹，波浪就会越来越高，是不是就会无限高下去呢？不会的，我们知道波浪往远处传就相当于把能量传播出去，另外水的粘性也会消耗一部分能量，这样，当风输入的能量和波传播以及水的粘性消耗的能量平衡时，即使风继续吹，波浪也不会再高上去，而会维持在一个高度上。一般说来风速越大持续的时间越长浪越高。下面这张表，就是一张在风吹的条件下风速和海浪高度的对照表。它对于航海的人和渔民还是很有参考意义的。因为从气象台知道了预报的风速，就能够大致估计出浪高，就会估计是不是适宜出海。

风力等级和风速的关系对照表

在图3上，我们看到的情形是在水面有起伏时，水面上的空气流动还是贴着水面流动的，也就是说空气的流动还没有产生漩涡。实际上，在波浪的形成的水面背风面陡度增加到一定程度，在浪的背风处就会有风的漩涡产生。如图5我们看到在波浪背风的地方产生了风的漩涡。我们知道漩涡中心的压强很小，所以那里的吸力更大。这就说明当波浪高到一定程度，波浪的形状便会是顺风的一侧更高。这种压差，一方面使波浪顺着风吹的方向前进，这就表现为行波，即波的高度不变，但它的波峰以一定的速度顺风前进；另一方面背风涡的压差使得波的形状愈来愈不对称，即背风面愈来愈陡，这种趋势不断发展下去波浪就会破碎产生如图7那样的效果。在实际中就会出现浪花、波浪倒卷、波浪翻滚、惊涛骇浪的情况。

最后，回过头来说一说风和水面的摩擦力的问题。我们看到风引起的波浪起伏主要是由于风引起水面压强变化。原因是风与水面的摩擦力很小，是因为空气和水之间的黏性系数很小，只占次要的位置，所以在讨论风引起的波浪时可以忽略不计。

还应当指出的是，如果有两种比重不同的流体，而且上面比重小的那一层在以一定的速度流动，两层流体之间也会有波动。这和风与水波的情形是类似的。在具有泥沙的水库放水时就有这种情形，这时，比重大的泥浆在下面，上面含泥沙较少的水流动，就会激起下面泥浆的波动。如果控制得好，就会把水库里的泥沙带走，使水库的泥沙沉积减缓。这就是平常说的异重流的问题。

图6 波浪中背风的漩涡

图中带箭头的线表示风的流动方向，黑箭头表示水质点运动方向，+、-号表示该处压强与平均压强为正还是为负。

图7 波浪破碎

   所以，我们可以做结论说，风引起波浪主要是由压强变化而不是由摩擦力引起的。

参考文献

[1]  https://en.wikipedia.org/wiki/Wind_wave

[2] 王振东，风乍起，吹皱一池春水——谈流体运动的不稳定性，《力学诗趣》p.43-48（王振东、武际可著，湖北科学技术出版社，2013）

[3]  Phillips,O. M. (1957), "On the generation of waves by turbulent wind", Journalof Fluid Mechanics 2 (5): 417–445, Bibcode:1957JFM.....2..417P,doi:10.1017/S0022112057000233Asin2π（x/l — t/T）

[4]  Miles, J. W. (1957), "On the generation ofsurface waves by shear flows", Journal of Fluid Mechanics 3 (2): 185–204, Bibcode:1957JFM.....3..185M,doi:10.1017/S0022112057000567

附记：本文中的图片与表格，除图3外都来自网络。