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计算方法之微扰近似 精选

已有 5547 次阅读 2018-10-27 19:38 |个人分类:大众物理学|系统分类:科普集锦

 


 

学习知识不是越多越好, 越深越好, 而是要服从于应用, 要与自己驾驭知识的能力相匹配。

——黄昆

 

刚进入大学的学生,往往不适应大学物理课。原因也很简单,大学生和中学生之间有着高考这条鸿沟。高考是选拔性考试,采用的都是精确可解的题目,中学生当然也就只学这种东西了;大学物理是为了帮助大学生面对真实的世界,那里并没有很多精确可解的问题。

物理不是数学,很多时候并不需要精确解。原因有三个:物理模型是对大自然的近似描述,出发点就已经不精确了,后面再追求精确也没有太多意思;即使物理模型具有精确解,这个精确解可能也并不那么好使;物理模型本身可能就没有精确解(具有解析表达式的解),必须做近似。第一个原因是常识,后面这两个原因,我们举几个例子说明一下。

 

自由落体运动。不管是比萨斜塔,还是炮弹轨迹,只要不考虑空气阻力,都是这种问题,都可以精确求解。如果考虑空气阻力,很多时候就不再有精确解了,因为空气阻力的形式各种各样,依赖于物体速度等许多因素。对于一些特殊形式的空气阻力,可以精确求解。比如说,阻力依赖于速度$v$的平方,即

$\dot{v}=g-\alpha v^2$

其中,$v$是速度,$g$是重力加速度,$\alpha$是空气阻力(正比于速度的平方)的系数。只要认识到

$\int dx \frac{1}{1-x^2}= \int dx \frac{1}{2}(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+x}) =\frac{1}{2} (\ln (1+x)-\ln(1-x))=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}$

就可以得到这个问题的精确解,

$v(t)=\sqrt{g/\alpha}\frac{e^{\sqrt{g \alpha}t}- e^{-\sqrt{g \alpha}t}} {e^{\sqrt{g \alpha}t}+ e^{-\sqrt{g \alpha}t}} = \tanh \sqrt{g \alpha}t$

如果愿意,还可以得到距离随时间的函数关系。

$x=\frac{1}{\sqrt{g \alpha}}\ln(\cosh \sqrt{g \alpha}t)$

其中,$\tanh$和$\cosh $是双曲正切函数和双曲正弦函数。如果你对这些函数很熟悉,就会知道,刚开始的时候,速度大约是$gt$,最后的平衡速度是$\sqrt{g/\alpha}$。否则,知道精确解也没有太大意思。

 

换个方式来求解微分方程$\dot{v}=g-\alpha v^2$。

右边的第一项是常数,第二项是平方项,当$v$很小的时候(也就是时间$t$很小),第二项远小于第一项。我们干脆把它省略掉,就可以得到

$\dot{v}=gt$

这个方程很容易求解,$v=gt$。把这个解带回到原方程的右端,得到

$\dot{v}=g-\alpha (gt)^2$

这个方程也很好解,$v=gt-\frac{1}{3}\alpha g^2t^3 =gt(1-\frac{1}{3}\alpha g t^2)$。

当$t$很大的时候,$v$接近于平衡速度$\sqrt{g/\alpha}$。假设速度$v=\sqrt{g/\alpha}-v_1$,带入运动方程并省略高阶小量$v^2_1$,就可以得到

$\dot{v}_1 =-2\sqrt{\alpha g} v_1$

这个微分方程也很好解,$v_1=\beta  \sqrt{g/\alpha} e^{-2\sqrt{\alpha g}t}$,其中,$\beta$是个待定常数。

这样,就得到速度的近似表达式:当$t$很小的时候,$v\approx gt(1-\frac{1}{3}\alpha g t^2)$;当$t$很大的时候,$v \approx    \sqrt{g/\alpha} (1-\beta e^{-2\sqrt{\alpha g}t})$。如果愿意,我们还可以得到这个问题的更高阶的近似解。我们还可以把这两个近似解衔接起来,进而得到位移的近似表达式。

 

落体运动的微分方程有精确解,而且是初等函数的精确解(双曲函数不过是指数函数的加减乘除),近似解似乎不是很有必要。下面我们看看另一个问题。单摆问题的运动方程是

$\ddot {\theta}= - \frac{g}{L} \sin \theta$

这是个非线性问题,没有初等函数的解析解。当$\theta \ll 1$的时候,可以用$ \sin \theta \approx \theta$来代替,

$\ddot {\theta}= - \frac{g}{L}  \theta$

这就是常见的单摆方程,解是$\theta =\theta _0 \sin \frac{2\pi t}{T_0}$,其中,$T_0=2\pi \frac{L}{g}$,不依赖于摆角的大小。

然而,当$\theta $比较大的时候,就不能忽略$ \sin \theta $$ \theta$的差别了。必须使用精确的运动方程,而且也是有精确解的。

$T=4 \frac{L/g} K(\sin ^2 \frac{\theta_0}{2})$

其中,$K(x)$是第一类完全椭圆积分

$K(x)=\int ^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{1}{\sqrt{1-x \sin ^2 \phi}} d\phi$

这是个特殊函数,而且是有数值表可以查的。但是,知道这一点,对我们并没有太大帮助。可以考虑近似求解。

从对称性考虑,我们猜一个解,$\theta =\theta _0 \sin \frac{2\pi t}{(1+\alpha \theta ^2 _0) T_0}$,把这个解带入单摆问题的运动微分程$\ddot{ \theta} = - \frac{g}{L} \sin \theta \approx - \frac{g}{L} (\theta - \frac{1}{6}\theta ^3)$

可以得到

$-\frac{g}{L}(1+\alpha \theta ^2 _0)^2 \theta = - \frac{g}{L} \theta( 1- \frac{1}{6}\theta ^2)$

$2\alpha \theta ^2 _0 = \frac{1}{6}\theta ^2=\frac{1}{6} \theta ^2_0 \sin \frac{2\pi t}{(1+\alpha \theta ^2 _0) T_0}\approx \frac{1}{12} \theta ^2_0 $

最后一个近似是把$\sin ^x$用其平均值$1/2$来代替。这样就可以得到,单摆的周期是

$T=(1+\frac{1}{24})\theta ^2 _0$

对第一类完全椭圆积分求近似,可以得到

$T=(1+\frac{1}{16})\theta ^2 _0$

这两个结果还是挺接近的。修正值有大约50%的误差,产生的原因在于,正弦函数并不适合描述大角度的单摆运动:高阶非线性项会产生“久期项”。

 

刚才这两个问题都有些造作,因为它们都有精确解,得到精确解以后,再取近似也不迟,甚至还更好一些。

下面这个例子更合适一些,因为它确实没有精确解,但是可以用近似方法非常相当精确的结果。我们考虑的是水星近日点的进动问题。最后这个问题的难度超出了我的预想,所以单独成文了。


简而言之,适当的近似可以让你对问题有更深的了解,在此过程中,还可以让你试探更好的解决方案。

 



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