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计算方法之水星近日点的进动 精选

已有 3962 次阅读 2018-10-27 12:10 |个人分类:大众物理学|系统分类:科普集锦

 

大自然安排的天体布局,永远根据同一原理,这些原理在地球上如此奇妙地适合于个体的生存和物种的永存。

——拉普拉斯

 

虽然水星近日点的进动很有意思,而且这个方法也可以用来像勒维列那样预言海王星,但是,计算还是有点繁琐(主要是敲公式太烦了)。更重要的是,这个东西吧,懂的人看不上,看的人恐怕不一定读得懂。

就算自己做了个练习题,再做个备忘录吧。

 

为了展示大学普通物理和微积分的威力,我们考虑水星近日点的进动问题,因为它确实没有解析解,但是可以用近似方法得到相当精确的结果。

水星绕太阳公转是个偏心率$e=0.2$的椭圆轨道。如果只考虑太阳和水星的引力作用,这个轨道是闭合的,但是,因为太阳系里其他行星的引力作用,水星轨道的近日点在进动:每一百年进动的角度是5600角秒。其中,5000角秒来自于观测坐标系的变化,地球的自转轴在进动,每年50角秒,每一百年就是5000角秒。剩余的600角秒里,经典力学的计算可以得到500多角秒。准确地说,经典力学的计算结果和观测值的差别是每一百年43角秒,这个差别必须用爱因斯坦的广义相对论来解释。

用经典力学的方法来计算这个进动值,看看木星对水星近日点的影响(木星是太阳系里质量最大的行星,大约是太阳质量的千分之一)。需要明确的是,这是个三体问题,太阳、水星和木星彼此都有相互作用,不存在精确解。但是,因为木星对水星的引力很小(只有太阳引力的百万分之一),水星对太阳和木星的影响更是可以忽略不计,所以,这个问题是可以近似求解的。

 

现在是一周以后了。计算还是挺烦的,而且公式太多,敲不过来了,只好上照片了。下面是简单的总结:

用大学一年级的力学和微积分知识,计算了水星近日点的进动,达到了20%的精度:天文观测值(减去地球的岁差)为560角秒,经典力学的计算结果应该是500角秒多一点(剩余的43角秒来自于广义相对论的修正),这里做的一阶微扰的计算结果是400角秒。

计算的梗概如下:目录;问题描述(第1页);运动方程(第2页);太阳和水星的两体问题(第3页);行星对水星近日点进动的影响(第4-8页);太阳非球状对水星近日点进动的作用(第9-12页);行星引力的常数部分对进动没有贡献(第13页);总结(第14-15页)。

 

这里计算的是水星近日点进动的一阶微扰。主要结论是(第14页):

水星公转轨道的离心率($e=0.2$)是进动的主要原因。

行星的贡献是每百年进动角为(第7页)

$\approx \frac{-417}{2}\frac{m}{M}\frac{a^3_0}{a^3_p}(1-e^2)9e^2 \pi$

$\approx -2.45 \times 10^7 \frac{m}{M}\frac{1}{a^3_p}$ (角秒)

其中,$m$和$M$是行星和太阳的质量,$a_0$$a_p$是水星和行星的公转轨道半长轴,$e$是水星轨道的离心率。

主要贡献来自于木星(质量最大,每百年167角秒)、金星(离得最近,158)和地球(74角秒)。见第8页。

太阳非球形的贡献在于,提供了一个负3次方的吸引势(负4次方的吸引力)

$U\approx -M\frac{1.4\times 10^{-5}r^2}{R^3}$

如果认为太阳密度是均匀的,则其贡献为每百年41角秒(第12页)。不幸的是,这个角度是正的,与行星的贡献具有相反的符号。

行星引力的常数部分没有贡献(第13页),只是把水星的能量增大了一些,但不会改变椭圆轨道的性质(我们观测到的水星轨道是最后的总结果)。

 

关于计算方法的一些说明(第15页):

这里只考虑了经典力学的一阶微扰。系数算的也不一定很准。

没有考虑行星轨道的离心率。

这个方法应该是PLK方法的简陋版(Poincare-Lighthill-KuoP是庞加莱,K是郭永怀)。

误差大约是20%。由计算过程,可以看出如何进行误差分析和进一步的改进措施(经典力学部分)。现在这个计算结果,不足以显示相对论的贡献——还差了100多个角秒呢。

经典计算的结果与天文观测值的差别是每百年43角秒,这就是爱因斯坦广义相对论的修正值。

 

最后补充一点:广义相对论的概念很不一般,计算其实很简单的,以后再说。