jiyang1971的个人博客分享 http://blog.sciencenet.cn/u/jiyang1971

博文

计算方法之天眼 精选

已有 7510 次阅读 2018-9-26 11:10 |个人分类:大众物理学|系统分类:科普集锦

 


睁开眼吧,小心看吧,哪个愿臣虏自认?

 

  

科学的目标是发现新的自然现象,理解其中的科学规律,进而改造自然界和人类社会。数学是科学研究的重要工具,通常采用由近及远的方法来研究问题,微积分就是最著名的一个例子。

研究问题总是要用到函数的概念:某个待观察量(因变量)如何随着受控变量(自变量)而改变,$y=f(x)$。为了了解$y=f(x)$,我们先要设法知道它在某个位置$x_0$处的数值,然后再考察该点附近的行为。通常可以把这个函数表示为$x_0$附近的幂级数的形式

$y=f(x)=f(x_0)+f’_{x_0}(x-x_0)+f”_{x_0}(x-x_0)^2/2+…+f^{(n)}_{x_0}(x-x_0)^n/n!+… $

其中,$f^{(n)}_{x_0}$是$f(x)$$x_0$处的$n$阶导数。这就是著名的泰勒展开式,如果$x_0=0$,就是所谓的麦克劳林展开式。从实用的目的来说,所有的函数都可以展开成这种形式——暂时忘掉数学分析、忘掉$\epsilon - \delta$语言吧,这些都是数学家们用来对付杠精的。那些怪了吧唧的函数(处处不连续的函数,处处连续但处处不可微的函数,等等),只有在数学分析书里才会碰到。

 

如果自变量$x$选为时间$t$,因变量$y$为物体在特定方向上移动的距离$s$,那么,$s(t)$就是物体的移动轨迹。确定了物体在$t=0$时刻的位置$s_0=0$,就可以用$s(t)$的展开式描述物体在短时间内的运动。如果物体是静止的,那么所有各阶导数都为零;如果物体做匀速直线运动,那么只有一阶导数不为零;如果是在重力场中做自由落体运动,那么二阶导数也是个不为零。对于上述几种运动,不为零的各阶导数在$t=0$时刻附近都是常数;而对于其他形式的运动,我们当然可以归结为更高阶的导数,但通常认为是二阶导数随着时间$t$会发生变化。实际上,牛顿力学的实质就是认为,只需要知道运动轨迹的二阶导数就可以了,而二阶导数决定于“力”和物质的质量。

函数在某个位置附近的展开方式,没有什么特别的理由一定是$x$的幂级数——当然,这样做确实方便,但是只要你愿意,完全可以选择其他方式,比如说,$x^{\pi/e}$的幂级数。

 

在描述运动轨迹的时候,最简单的近似是把它当作一段直线(只有一阶导数不为零,对应于匀速直线运动),再进一步就是把它当作一段抛物线(二阶导数也不为零,对应于自由落体运动)。还有一种常见的处理方式是把一段轨迹当作圆弧的一部分,因为我们对匀速圆周运动非常熟悉:力的作用方向与物体的运动方向垂直,其大小依赖于物体的质量$m$、运动速度$v$和圆的半径$r$$f=mv^2/r$

选定一段轨迹(为了简单起见,假定它位于一个平面上),如何得到它对应的圆轨道呢?只需要确定其一阶导数和二阶导数就可以了。

考虑一个圆$x^2+y^2=r^2$。显然,圆上不同位置的一阶导数和二阶导数是不一样的,但是圆的半径没有差别。对圆的轨迹方程求导数,可以得到$x+yy’=0$;再求一次导数,得到$1+(y’)^2+yy”=0$。为了消去上述等式里的$y$(因为半径$R$不依赖于$y$),可以由$x^2+y^2=r^2$得到,$r=y\sqrt{1+(x/y)^2}=y\sqrt{1+(y’)^2}$,与$1+(y’)^2+yy”=0$结合起来,就得到

$r=|\frac{(1+(y’)^2)^{3/2}}{y”}|$

对于任意轨迹上的某一点,求得该点的一阶导数和二阶导数,就可以得到那里的曲率圆的半径(还可以得到曲率圆的圆心位置)。如果把平面轨迹上的坐标$x$和$y$都视为时间$t$的函数,上述公式还可以表达为$r=|\frac{(\dot{x}^2+\dot{y}^2)^{3/2}}{\dot{x}\ddot{y}-\ddot{x}\dot{y}}|$,或者说,$r=|\frac{v^3}{v\times \dot{v}}|$,其中,变量上的点表示该变量对时间求微分,$ \dot{v}$就是加速度。上面这个式子对应于匀速圆周运动的向心力公式。舒幼生《力学(物理类)》第一章例7是反着来的,采用向心力公式来得到轨迹的曲率圆及其曲率半径。

 

用抛物线或者曲率圆来近似某一段轨迹,完全是因为中学物理已经让我们熟悉了自由落体运动和匀速圆周运动。那么,自然就会产生一个问题:抛物线和圆到底有多大的差别?

从形式上看,二者的差别很大:圆的轨迹方程是$x^2+y^2=r^2$(其中,$r$是圆的半径),抛物线的轨迹方程是$y=x^2/2p$(其中,$p/2$是抛物线的焦距);圆占据了有限的空间,而抛物线延伸到无穷远处。但是,二者都是圆锥曲线,更重要的是,在抛物线的顶点附近,二者的差别是很小的。

根据曲率圆的公式可知,在抛物线$y=x^2/2p$的顶点处,曲率圆的半径是$p$(因为在$x=0$处,$y’=0$,$y”=1/p$),那里的曲率圆就是半径$r=p$的圆。在距离原点$p/2$的位置,这两条曲线的差别大致是1%,很小的一个数值。

圆和抛物线的表达式差别很大,但是,在一定范围内,二者的实际差别可以非常小。认识到这一点,是设计和制造中国“天眼”的关键。

 

 

位于贵州省平塘县的“天眼”工程(500米口径球面射电望远镜,FAST)

 

“天眼”是由中国科学院国家天文台主导建设,具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜。综合性能是著名的射电望远镜阿雷西博的十倍。

“天眼”是半径300米的球面的一部分,其基本技术指标包括:球反射面的口径为500米;有效照明口径300米;焦比(焦距与口径的比值)为0.467;天空覆盖的天顶角为40°;工作频率70MHz3GHz;灵敏度(L波段)2000

我们简单地分析一下这些指标。

 

“天眼”本身是个球面,在工作的时候,需要调整为旋转抛物面,因为旋转抛物面可以把无线电波汇聚到焦点上,而(太大的)球面做不到。“天眼”的口径是500米,而有效照明口径只有300米,主要出于两个因素的考虑:有效口径越大,收集的效率越高(不是跟面积成正比,而是跟面积的平方成正比,因为波的干涉效应),但是,球面与旋转抛物面的差别也越大,调整起来越困难;有效口径越小,覆盖的天空越大,能够观测到的范围也就越大。300米有效口径对应于150米半径的圆,其圆心到半径为300米的“天眼”球心的最大水平距离是100米,所以,对应的天空角度就是$\theta =\arctan{1/3}$,大约是 18.4°,乘以2就对应着天空覆盖的天顶角40°。

300米口径的球面和旋转抛物面的差别有多大呢?因为这两者都具有旋转对称性,我们只需要考虑300米口径的圆和抛物线就可以了,二者在原点处的曲率圆半径均为300米。为了简单起见,取300米为1,二者的曲线方程为

抛物线:$y=x^2/2$

圆:$y=1-\sqrt{1-x^2}\approx x^2/2+x^4/8$

其中,$x$的取值范围是[-0.5,+0.5]。在$x=0$处,二者相等,在$x=0.5$处,二者的差别是0.009(抛物线是0.1250;圆是0.1340,用近似公式则是0.1328),也就是1米多些的差别($150\times 0.09=1.35$)。

这个差别不算很大,但是还可以搞得更好一些:重新选择一个抛物线,使之经过圆在边界处$x=0.5$的点,这个新的抛物线就是$y=x^2/1.866$,抛物线和圆的差别就更小了,大约只有0.002。也就是说,整个300米的范围里,最大差别不过是0.3米($150\times 0.002=0.3$)。注意,这个新抛物线的曲率圆半径是0.933,对应的焦距是0.467,正好是“天眼”的焦比(焦距和有效口径的比值)。

这还不是最好的近似。考虑抛物线$y=x^2/2\alpha +\beta$与圆的偏移,可以得到更好的近似。简单地说,抛物线在原点处比圆略高一些,而在边界处比圆略低一些——细节我就不算了,不仅因为0.3米已经足够好了,还因为我打算偷个懒。

其实,这就是计算方法里“函数的最佳逼近”问题:用二次曲线逼近一段圆弧。现在这个例子太简单了,不足以说明“最佳逼近”的威力,下次找个合适的例子再详细说说吧。

 

当然,0.3米的差别,对于射频信号的检测还是有些大了。天眼的工作频率是70MHz3GHz,对应的最短波长是0.1米。为了高效地探测,工作面的与旋转抛物面的差别必须远小于波长,达到毫米的量级。这是通过“天眼”项目自主设计的索网结构来实现的:主索索段控制精度达到1毫米以内,主索节点的位置精度达到5毫米,而索构件疲劳强度不低于500MPa