学过统计物理的人都听说过poincare recurrence（庞加莱回归）这个概念。其大致内容如下。一个hamilton系统，由于在时间演化中相空间体积不变（这是所谓的liouville定理），相空间内任何一个有限区域v里的绝大部分点（准确地说，是不这样做的点的测度为零）都会无限次地回到v里面。

通俗地讲，如果你往一杯水里滴一滴黑墨水，墨水会扩散，但是你可以期待在某个时刻，黑墨水会重新聚集到一团，水重新澄清。而且，你可以期待这个事情反复发生。这当然从来没被观察到过。热力学定律指出孤立系统熵单调增。热力学摆脱这个问题的理由是，发生回归的时间是个天文数字，即便等到宇宙毁灭（当然了，宇宙的终极命运是什么，估计还是个开放的问题）也来不及发生。

上面是一般的教材（比如黄克孙的）对poincare回归的阐述。多少给人泛泛而谈的印象。

其实，poincare回归可以用非常简单的数学模型里展示。考虑这一个定义在实数轴上的函数

f(t) = cos t  +   cos sqrt(2)t  +   cos sqrt(3) t.

这个函数性质非常简单，无非三个频率不公度的三角函数之和。这样的函数可以在量子力学里出现。一个波函数在不变hamiltonian下幺正演化，它与其初态的内积就是这个形式。因为频率不公度，所以f不是t的周期函数，但是，f是t的拟周期函数！也就是所谓的uniformly almost periodic function。这个概念是提出bohr模型的bohr的兄弟提出来，并被后人发展的。

在初始时刻，三个三角函数同相位，所以f达到其最大值3。按照uniformly almost periodic function理论，存在无数的发散到无穷的时间序列{t1, t2, t3, ,,,,,, },  使得f的值回到3附近任何精度。比如，如果选精度为0.001，那么有这么一列tn，使得f（tn）>2.999 对所有的n。事实上，这个理论还指出，相邻tn的间隔是有上限的！这个性质比较类似一个等差数列，这也是uniformly的含义。

个人感兴趣的是，如何具体寻找这样一个tn？更准确地说，如何找一个t>100, 使得 f（t）> 2.999？

现有的理论不是构造性的。也就是，只证明了存在性，没有给出一个有效的算法。这里选三个频率的原因是，两个的情况很简单，数论教材里的连分数理论就够了。  

我得活得到79才能领略一次哈雷彗星回归。但是现在我想领略一次更加难得的事件，一次庞加莱回归！

请给我一个数字，告诉我该把时钟拨到哪里，就好像当年理论家告诉观察家该在某年某月某日把望远镜指向某个方向一样.