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一块神奇的石头,一个有意义的高考立体几何题 精选

已有 1604 次阅读 2017-6-17 19:51 |个人分类:物理学史|系统分类:科普集锦

中国的中学生饱受各种怪题的折磨。其实好的问题都是自然地产生于实践中的。

最近读惠更斯的光论,就发现一个他做过的好的立体几何问题。这个问题不难,很适合用于中国高考。

在这本名著里,惠更斯花了很大篇幅研究一块来自冰岛的神奇的石头。这就是所谓的冰洲石,也称方解石。今天我们知道它的化学成分是碳酸钙。这种石头神奇之处在于它展示的双折射现象。下面图中的是博主从淘宝上买来的一块这样的石头,产地是广西,成色不算特别理想(泛黄),理想的应该是完全无色透明的。照片中,双折射现象非常明显,被石头压住的那段线看起来是两个像。这两个像是有所区别的---如果我们转动图中的石头,你就会发现,其中一个像不动,但是另外一个像则有明显的升降和平移。惠更斯对此有详细描述。


最早明确记录并详细描述这种石头所展示的奇特效应的是丹麦人Rasmus Bartholin,当时是1669年。但是他没能给予解释。第一个包含有极大正确成分的解释来自惠更斯。

惠更斯在面对这样的石头的时候,遇到了一个非常现实的几何问题。Bartholin发现,石头具有一定的对称性。具体而言,图中面对读者的那三个面在其共同顶点处的三个角是相同大小的(这点并非显然!)。惠更斯需要做的几何问题是,在测量这相同大小的三个顶角后,如何确定三个面彼此之间的夹角?也就是,已知角AOB,BOC,COA的大小为alpha,如何计算面AOB和面BOC之间的夹角?

这个问题不难,但是非常有意义。这样的具有实际意义的立体几何题,反正我在高中貌似没有遇到过。在这样一块石头中,惠更斯需要解决的立体几何问题其实还有很多。比如,惠更斯凭直觉知道,通过顶点的与三条边OA,OB,OC成相同大小角度的那条直线,具有特殊的地位,于是他需要计算这条直线与三边和三面之间的夹角。他计算得到的数字不是特别准确---比较准确地计算三角函数反三角函数,在那个时代还是个艰巨的任务。

这块石头对光学发展影响很大。

惠更斯通过引入椭圆光球,能够定量解释其中的双折射现象,在这点上,他的理论跟后来基于Maxwell方程的完整的理论是契合的。但是,惠更斯不知道光有偏振,在他的心目中,光与声类似,是纵波,所以他不能解释他观察到的某些现象。

后来,一百多年后,在1808年的一天傍晚,法国的Malus在玩这种石头的时候发现,当他转动石头时,窗户上反射的太阳的两个像的亮度有变化。这促使他提出了光的偏振这个概念,最后还总结出了以他命名的定律。

Malus观察到的现象,据说曾经被维京人用于导航。维京人所处纬度高,所以他们发现冰岛的冰洲石是完全可能的。天空本质上也是存在偏振的。所以利用冰洲石作为检偏器也是可能的。不过,这目前还是传说,并无任何考古证据。而且, 相关效应比较小,据其他博主讲,他们没有成功过。

牛顿在自己的“光学”里也讨论过冰洲石奇特的光学效应,甚至还引用了惠更斯的工作。不过,即便如此,他还是没有接受惠更斯的波动说。

其实绝大部分晶体,因为对称性较低,都能展示双折射现象。不过,像冰洲石效应这么大的很罕见。不知道今天第一性原理计算能否定量地解释冰洲石巨大的双折射效应。



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