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【15】《你不是一个人在战斗》-----高数的隐性换元

已有 4030 次阅读 2017-2-8 22:46 |个人分类:教育教学|系统分类:教学心得| 高等数学, 换元, 隐性变量替换, 化繁为简

--公众号--  微高数  ---

【内容摘要】

黄健翔“你不是一个人在战斗,不是一个人!”的激情解说大家或许都知道,而你不知道的是,高数这个恬静的小女子和安静的美男子也有“不是一个人在战斗”的激情故事线,那就是“此处的x不仅仅是一个x”。

1、有关标题】

2006德国世界杯八分之一决赛意大利对阵澳大利亚,黄健翔终场前的“激情”解说如下:“点球!点球!点球!格罗索立功啦!格罗索立功啦!不要给澳大利亚人任何的机会!伟大的意大利的左后卫,他继承了意大利的光荣的传统!法切蒂、卡布里尼、马尔蒂尼在这一刻灵魂附体!格罗索一个人,他代表了意大利足球悠久的光荣传统!在这一刻,他不是一个人在战斗!他不是一个人!”


想写这部分内容的时候,首先列的题目是《隐形的翅膀之于高数》,后来又想到《你不是一个人在战斗》,对该部分内容感觉都比较贴切,但联想到与黄健翔足球解说门的关联性和趣味性,还有“隐形的翅膀”有点悲情的色彩,而“不是一个人在战斗”有点激情向上的欢快意味,最终定题为《你不是一个人在战斗》。

2不是一个人vs. x不仅仅是一个x

高数的主线是极限,(我认为)高数计算的核心思想是“换元”而此“换元”绝大多数都不是真的显示的做换元操作,而是隐形换元,即高数课堂上我经常说的一句话“不要把x仅仅看作x”,说这句话的原因在于希望学生能由基本公式而轻松掌握相应计算的核心思想,求极限讲,求导讲,求积分也讲,其实多元函数的极限、求导和积分也有类似的思想,因此说“高数计算的核心思想是换元”也不为过,有图形有真相有解释有例题:


  1不是一个人之等价无穷小

  例如,sinx~x (x->0),这里的“x不仅仅是x”的意思有两重,(1x可以是一个单纯的无穷小变量,(2x可以代表任意一个无穷小的复合变量,如上图第一行所示。当然,“x不仅仅是x”这句话对所有的等价无穷小都适用;

  2不是一个人之求导

  例如,sin’x=cosx,按道理说正弦函数的导数可以写到sin’x=cosx*1,原因在于正弦的导是余弦,这只是最外层映射法则的导,还需要乘上x对自身的导,当然这一步对“x”求导的复合没有实际意义,或者说我们把求导看成一个算法,则该算法的终止条件是求导运算碰到自变量x自身。

其实,理解到这儿,对复合函数求导的链式法则就水到渠成了,即“算法的终止条件是求导运算碰到自变量x自身”,所以无论函数是有多少重的映射法则复合而成,你所做的只是记住基本初等函数映射法则的求导公式,从外向内逐层求导,像车链一样,一环套一环。这里链式法则求导,一定要清楚函数是由几重基本映射法则复合而成的,要像歌唱者一样记清楚你的链式法则的环数,“五环你比四环多一环;啊五环你比六环少一环”。


基本初等函数求导公式中的“x不仅仅是x”指代的是复合求导的链式法则。

3不是一个人之积分

(注:由于插图的不便,“积xdx”表示对函数x积分)

1 “积dx=x+C=1dx”,稍微知道不定积分定义的都很会(ppt3),既然这个最简单的积分运算很清楚,那么“积dφ(x)=φ(x)+C”就没有理由不清楚,比如具体例子“积分d(lnsin2x)=lnsin2x+C”,这就是积分运算中“x不仅仅是x”这句话的初体验;

2 基本“积xdx=1/2x^2+C”对知道不定积分定义的大家也都很会(ppt3),那么“积φ(x)dφ(x)=1/2φ(x)^2+C”就不难理解,比如具体例子“积e^(x^2+pi)d (e^(x^2+pi))=1/2 (e^(x^2+pi))^2+C, 这依然是积分运算中“x不仅仅是x”的初体验;

3 基本积分“积e^xdx=e^x+C”大家依然很会,那么“积e^φ(x)dφ(x)=e^φ(x) +C”就不难理解,比如具体例子“积(x+1)e^(x^2+2x+2)dx=1/2(x^2+2x+2)’e^(x^2+2x+2)dx=1/2e^(x^2+2x+2)d(x^2+2x+2)   = e^(x^2+2x+2)+C, 这是积分运算中“x不仅仅是x”的再次体验(ppt最后一行),对“积cosx/(1+sin^2x)dx”做类似转化“积1/(1+sin^2x)dsinx”,则在此转化为反正切函数的基本积分公式了。对最后一行中间的式子,看起来像风姑娘爱上了牛公子或马先生的不着边际,若把分子2+tan^2x转化为1+sec^2x,应该就能看出来。此例告诉我们,任何方法解决任何问题,都离不开必要的整理化简,就像人可以花枝招展,可以素穆雅风,可以厚如千层饼,可以薄如蝉翼裙,可最本原的人当然是穿着“新装”的皇帝。

这些运算中的x不仅仅是x指的是隐性变量替换,头脑中经过该隐性变量替换将复杂问题简单化为基本初等函数的相应运算,从而可以大大的减小难度。换个角度看,意味着基本初等函数运算法则中的“x不仅仅是一个x”,“他不是一个人在战斗!他不是一个人!”


     基本初等函数运算法则中的“x不是一个x在战斗”,里面隐藏着隐性变量替换的思想和化繁为简的慧眼。哪怕高数题虐你千百遍,只要你掌握这种思想,练就这种慧眼,高数会成你的初恋。

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1 张鹰

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