同学问的一道华东师范2013年考研数分题

$$\text{求:} \quad \quad \displaystyle\int_{0}^1 \frac{1}{[\frac{1}{x}]}\textrm{d}x$$

解: 令$\displaystyle t=\frac{1}{x}$,则

 原式=$$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{[t]\cdot t^2}\textrm{d}t=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n-1}\int_{k}^{k+1}\frac{1}{[t]\cdot t^2}\textrm{d}t$$

     $$=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{k}^{k+1}\frac{1}{k\cdot t^2}\textrm{d}t=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)$$

     $$=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{\pi^2}{6}-1 $$