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醉蓬莱·第三次数学危机

已有 3527 次阅读 2014-10-23 08:24 |个人分类:科史|系统分类:科普集锦| 悖论, 罗素, 醉蓬莱, 第三次数学危机

正物由类聚,人以群分,集合参悟。
剥茧抽丝,绘个中元素。
有限无穷,几何代数,尽借集修筑。
广厦摩天,纵横数理,算经之母。


髪匠裁规,不能自剃,交易方成,己头谁顾?
自剪他刮,俱违规失度。
求救集合,左右推演,竟无从切入。
又回春秋,偕兄持盾,鬻矛荆楚。


  “物以类聚,方以群分”是中国古代哲学名言,其实这是集合的一种形象的说法。集合是一个数学基础概念。所谓的基础概念不能被其他概念定义的概念。将直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起,使之成为一个整体(或称为单体)就是集合。组成一个集合的那些对象成员称为这一集合的元素。
  近现代数学不再像代数几何一样只着重于“算”和“演”,更注重于挖掘数学本身最本质的东西,将这些根本的东西抽象出来进行研究。例如天才短命的伽罗华,他发现了高次方程的本质是一种具有封闭置换性结构的抽象,他把这种抽象的集合命名为“群”,从群的逻辑结构证明了5次以上的方程不存在一般的根式解,用同样的理论,解决了古希腊三大数学难题,证明三分角和倍立方尺规作图的不可能性。人们很诧异,代数居然不用算,几何居然不用推演,仅仅用了集合的抽象,竟然解决百年千年遗留的数学难题。
  十九世纪七十年代,康托尔在前人积累的理论基础上,创立了集合论,将代数、几何等所有的数学分支进行公理化,例如戴德金及皮亚诺对算术及实数理论进行公理化,希尔伯特在1899年对于初等几何的公理化。至此,集合论成为现代数学的基石,一旦集合论出了问题,整个数学大厦将如垒卵。
  1902年,罗素发现了一个悖论,它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的,它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则:他给所有不给自己刮脸的人刮脸,并且,只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时,就认识到了这种情况的悖论性质:"理发师是否自己给自己刮脸?"如果他不给自己刮脸,那么他按原则就该为自己刮脸;如果他给自己刮脸,那么他就不符合他的原则。用集合来表示R = { x | x x },然后问R是不是属于这个集合?麻烦的是,如果R R,即R是集合R的元素,依定义有R R;反之如果R R,按集合R的定义,R是集合R的元素,即R R。无论哪种情况都是矛盾。这就是罗素悖论:定义一个集合,它包含所有不包含自身的集合,它是否包含自身?
  罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后,在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道:"一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了,即在工作完成之时,它的基础垮掉了,当本书等待印出的时候,罗素先生的一封信把我置于这种境地"。于是终结了近12年的刻苦钻研。承认无穷集合,承认无穷基数,就好像一切灾难都出来了,这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除,矛盾可以解决,然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理,简直难说孰真孰假,可是又不能把它们都消除掉,它们跟整个数学是血肉相连的。所以,第三次危机表面上解决了,实质上更深刻地以其它形式延续着。
  其实所谓的危机就是在严密逻辑下出现了矛盾,这不禁让人想起了危机的始祖——《韩非子·难一》中著名的寓言,“楚人有鬻楯与矛者,誉之曰:‘吾楯之坚,物莫能陷也。’又誉其矛曰:‘吾矛之利,于物无不陷也。’或曰:‘以子之矛陷子之楯何如?’其人弗能应也。”



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