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Paul Jorion的书第四章“毕达哥拉斯的复仇:当代数学 - 数学对象在哪里?”译文

已有 1351 次阅读 2021-6-4 17:41 |个人分类:Paul Jorion的书译文|系统分类:海外观察

自欧几里得以来的二十五个世纪里,用数学模型的方式来表达经验存在Existence-empirique)的现象已经成为普遍的做法。进一步,正如我们所看到的那样,在西方这些构造的模型自动地代表了现象的客观现实,以数学形式捕捉、还原和概括它们。这样的模型成为技术应用的王道,呈现出模型化的现象的底层对象,模型建立后,就可以提出操作和改变对象的方法。


形式化(stylisation)以及模型铺就实际应用之路的能力的可能性,导致了这种功效的确切性质问题。如果技术对世界的改造必然发生在经验存在中,那么,相对于经验实在(Existence-empirique,感性世界)、客观现实( Réalité-objective,我们所接触到的真实世界)和给定存在(Etre-donné,世界本身,我们的表达所不能接触到的)这三者而言,模型究竟处于什么位置?


我前面已经部分地回答了这些问题,但回答得太笼统了,强调逻辑重于数学。我们现在必须回答的更确切的问题,尤其是这些:

1. 数的本体论地位是什么:它是属于经验存在,还是客观现实,还是给定存在?

2. 数学对象的本体论地位是什么,它在符号的位置调用数,然后对它进行操作?

3. 我们怎样才能非常精确地描述形式化(stylisation),即数学模型对位于经验存在的对象进行操作?

4. 因此,属于经验存在的对象转化为客观现实的对象的过程中,究竟发生了什么?


让我们逐一探讨这些问题。


数学家毫无疑问地扎根于经验存在的感性世界:与数及其关系有关的一切,换句话说,就是亚里士多德认为的的范畴(相对于其他范畴,如物质、时间、联系等)和关系的范畴,或主导几何形式的格局,或用长度和长度之间的命题来理解世界。


算术的基础是物理世界,在那里,不同的物体以不同的数呈现在我们面前,我们有能力列举出来。算术是从亚里士多德的一个范畴,即数量的角度来谈论事物的手段,就像地理学允许我们根据地点的范畴来谈论它们,根据时间的范畴来谈论历史一样。然后展开(déploiement)、发展développement)数的性质,正如黑格尔在论述三段论时所说的那样:

4=2+2

25 = 5^2


正如我已经顺便提到的,设想现代科学发展的一种方式是将其视为数量范畴对其他范畴的殖民化colonisation)。如果我们把科学看作是把质量、时间和地点的范畴转化为数量的范畴,我们就可以描述开普勒、惠更斯和伽利略以及后继者所致力的任务,通过数量的范畴对时间和地点的范畴的殖民化,在有限的先验a priori)的可能情况下,通过几乎无限多的可想象的情况(但都是可测量的)对其世界进行化分(互相不可还原)。因此,冷和热被可测量的温度取代,颜色被波长取代,等等。


几何学也有其在物理世界中的基础:它描述了我们在表面和体积中观察到的显著比例的特性,而这些比例分别是二维和三维空间;而且我们可以将几何学抽象地扩展到n维物体(当n大于3时,这些物体就是非经验意义上的想象了)。


代数学对具有经验基础的两个数学领域,即算术和几何,起逻辑的作用,它列出纯粹形式推导中对象的所有假定属性,也就是说,独立于内容,即构成数或数量之间和谐非和谐关系的内在属性。


数学的所有新发展似乎都遵循同样的模式:以对感性世界的直觉为指导,产生符合这一直觉的数学世界。因此,对于算术来说:我们从数的起点出发,系统地探索这个宇宙。我们以对空间的自发直觉为指导,建立几何学;整数和有理数(通过整数相除得分数)是不够的,所以我们将增加无理数。我们把对运动的直观感觉理论化,并发展微分计算;我们在求助于无限小数时谨慎行事,以避免芝诺悖论设置的陷阱,通过极限推理来取代如果可能的话无限小数。我们从某些预测的直观可信性出发,发展模态逻辑,并使其成为等价交换情况的衡量标准。我们把初级逻辑翻译成真值表,并把它投射到代数上。最后,我们遵循对集合及其元素的直观理解,创建集合理论;我们引入新的无限性类型,以避免悖论的出现,但让我们记住,每个悖论背后可能都有一个简单的不可能。


为了理解数学与论辩思想(pensée discursive)之间的关系,也就是说,就数学是由词构成而言,有必要研究已经提出的关于数学基础的三种主要类型的假说:

1)数学的基础是在指称(déixis中,在显示和指定的事实中:它在感性世界中的基础是计数的事实,算术,以及在空间中认识表面和体积的事实,如几何。

2)数学的基础是自指的(autoréférentiel):空的内容,它在其唯一的内在一致性,在其连续的操作之间没有矛盾之中。

3)数学的基础是逻辑的,也就是论辩的,因为逻辑是定义话语内在一致性的条件的系统。


在我看来,源于指称(déixis)是唯一可以辩护的:它是双重的,正如我刚才所说:算术基于离散数的内在属性,几何基于连续量的测量。这也是亚里士多德的表述,他把从机械分析到几何分析再到算术分析,看作是抽象化的连续阶段。


算术的纯粹自指基础是站不住脚的:它可能在算术和几何的形式逻辑的角色中对代数成立,但作为这样的代数,它预设了这两者,因而自动预设了它们在经验世界中的指称的、畸形的基础


数学的逻辑基础,即辨析性的,构成了一个有趣的假设,乍一看,是前两者的根本替代。在现实中,这个假设归结为第二个假设。我们可以通过简单地重复以前说过的事情,轻松地说明原因:我们在想给数学提供一个逻辑基础,即在辨证思维中,所遇到的根本困难,来自于我在上面谈到从19世纪开始强加给逻辑的形式化时提到的事实。只有话语连贯性的一个缩减部分可以被形式化,即导致真理表的建立,也就是导致独立于判断内容的对真理的维持(说话主体的坚持)的计算。由于话语中少数可被形式化的元素与一个特定的代数同构,从那时起被称为布尔代数,因此这样的代数是人们设法将话语的内部一致性原则转化为数学的东西,换句话说,用集合论的语言:以布尔代数形式建模的形式逻辑是话语思想和数学思想的交叉点。


因此,在弗雷格以及罗素和怀特海在他们的《数学原理》的共同努力下,给数学分配一个逻辑基础,就是把它作为一个基础,即布尔代数--它与话语的关系是,它能够(独立于内容)模拟一个(微小的)部分:即少量词语如 """""如果...... "等介入的地方。这等于说,数学是建立在它的一个子集上的,也就是布尔代数。因此,数学的 "逻辑 "基础相当于把它归结为一个自我参照的基础。


如果我们把它看作是由算术、几何和代数构成的整体,那么,数学就是存在于对物理世界的自发理解(算术和几何)和对普通辨证思维的抽象(逻辑)的交汇点上。通过把感官现象,即对物理世界的自发感知作为一极,把语言现象,即自由联想作为另一极,我们在它们的交汇点发现了数学的构成地点。


一方面,人类设想了一种对物理世界的自发理解,包括计算经验对象(算术),观察它们作为面积和体积的显著属性(几何)。另一方面,人产生了对其自发思想的反思。而且,他从这两者中抽象出了逻辑,因为思维可以被看作是简单的文字计算。然后,人类描述了规范算术和几何、代数的特殊逻辑,只要这两个数学分支的属性可以独立于其内容来考虑与古典逻辑从该思维的自发行为的观察中抽象出来的方式完全相同。就在那时,人们意识到有可能以特定代数对象的形式来模拟思维的形式框架,即经典逻辑本身:构成布尔代数的正交格子。


任何有关数学基础的问题都必须能够考虑其双重性,类似于语言的双重性,在形式和内容之间、句法和语义之间纠结。一方面,于纯形式维度,受形式关联序列的不矛盾原则支配,无关内容;另一方面,于不可否认的经验性的双重锚定:亚里士多德的数量范畴之于算术,关系范畴之于几何形式,通过其大小,即显著的比例,对可感知空间的对象的近似理解。


正是在这些基础上,20世纪重建数学的两项主要工作被建立起来,方向相反:罗素(Russell)和怀特海(Whitehead)的形式方法,指的是判断序列的不矛盾标准,以及康托尔(Cantor)和戴德金(Dedekind)的语义、伪经验方法。后者指的是集合的直观物理学,由一阶逻辑中不存在的一个过程论证:排列或迭代(亚里士多德所知),这个过程也指的是直观物理学,因为排列需要时间,在逻辑中是不存在的。时间的确和数量一样,是亚里士多德的范畴之一,即用我已经用过的术语来说,是限制一个应用的范围并把它与 "何处""何时""如何 « 等联系起来的那些决定性因素之一。康托尔集合理论的主要缺陷在于,它结合了未被注意到的直观物理学和同样未被注意到的直观逻辑,这两者都有待于建立基础。集合论引入的与其说是排列功能,不如说是对话语的出现至关重要的功能与喊叫相反--使我们能够从简单的个体到范畴(奥卡姆(Ockham)已经强调了这一点),即把个体的集合构成一个单一的范畴:手的手指是由第一、第二,。。。第九和第十组成的;它们合起来就是十。






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3 辜英求 马德义 杨正瓴

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