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形与数结合创建时空可变系多线矢及其矢算

已有 2339 次阅读 2015-2-20 10:28 |个人分类:数理|系统分类:论文交流

形与数结合创建时空可变系多线矢及其矢算

 

中国科学院  力学研究所  吴中祥

 

         

研究“形”及其与“数”的相互关系和变化规律,发展为各种“几何学”。

“相对论”认识到3维空间必须发展到时空弯曲的4维时空。

为研讨相应的各种特性和运动规律,而创建了时空可变系多线矢,及其代数和解析矢算法则,用以表达并研讨客观存在的,现有理论尚未能解决的,各种已知有关实际问题,从而发展了相应的形与数的数学。

 

关键词:形与数,几何,解析几何,微分几何,时空可变性多线矢算

 

引言

人们必须通过实践,正确认识客观事物的特性和运动规律,才能利用和改造客观世界,得到生存发展。

一切客观事物最普遍的特性和运动规律,是从其中抽象出来的“数”和“形”

“数学”就是研讨“数”和“形”及其相互关系和变化规律,并逐个、逐次加深认识而发展的学科。

关于“数”,已在“‘数论’的一些新发展”一文(http://blog.sciencenet.cn/blog-226-867875.html),中作了论述,本文将论述“形”,及其与“数”的相互关系和变化规律的一些认识和发展。

特别是,3维空间发展到4维时空,3维矢算发展到弯曲时空的时空可变系多线矢,及其矢算,就能,也才能,表达并研讨客观存在的,现有理论尚未能解决的,各种已知有关实际问题,全面地解决各种实际问题的已知各种形与数的有关问题,从而发展了相应的形与数的数学。

 

1.点、线、面和体的各种“形”与“数”结合而发展出各种“几何学”

“形”的基本元素是“点”,它标志任何维空间的1个确定的位置。

 

空间的“维”是由彼此线性无关的各点分别组成。

 

“点”在任何维空间按一定规律的聚集,或运动的轨迹,就形成“线”,有一定的起点和终点的,就是“线段”。

 

各种“线段”就有了长度。

 

仅在不变的1维空间,聚集,或运动的“线”或“线段”,就是“直线”或“直线段”。

 

1维或多维空间,不限于在某不变的1维空间,聚集,或运动的“线”或“线段”就形成相应的各种2维或多维的“曲线”或“曲线段”。

 

“直线”或“直线段”仅在另1不变的1维空间,聚集,或运动,就形成“平面”或“平面形”。

 

2维或多维空间,不限于在某不变的2维空间,聚集,或运动的“面”或“面形”就形成相应的各种2维或多维的“曲面”或“曲面形”。

 

各种“面形”就有了宽度和面积。

 

“面”或“面形”在另一1维空间,聚集,或运动,就形成各种“体”或“3维体形”

 

各种“3维体形”就有了高度和体积。

 

各种“面形”中最基本的是3角形。

 

可以认为,各种“面形”都是由相应的多个3角形拼凑形成的。例如:

 

4边形可以由2343角形拼成。

5边形可以由3453角形拼成。

n边形可以由n-2n-1n3角形拼成。

 

3角形本身还可以由多个乃至无穷多个相应的小3角形拼成,因而,各种“面形”也都可以由多个乃至无穷多个相应的小3角形拼成。

 

各种“3维体形”中最基本的是4面体。

可以认为,各种“3维体形”都是由相应的多个4面体拼凑形成的。

 

4面体本身还可以由多个乃至无穷多个相应的小4面体拼成,因而,各种“3维体形”也都可以由多个乃至无穷多个相应的小4面体拼成。

 

类似地,还可以有更高维的,“平”和“曲”的,“面形”和“体形”。

 

“点”、“线”、“面”和“体”有了“位置”、“长度”、“面积”和“体积”等,就把形和数结合起来了。

 

   各种平直的“点”、“线”、“面”和“体”,可由平直的,仿射或正交的,坐标系,表达各种“形”和相应的“数”的结合及其运动的规律;

各种弯曲的“线”、“面”和“体”,相应的各“点”、就只能由曲线坐标系,表达各种“形”和相应的“数”的结合及其运动的规律。

 

研究客观事物的各种“形”和相应的“数”结合运动的规律,就形成各相应的“几何学”、“解析几何学”、“微分几何学”和“拓扑学”。

 

平直的,各种维的,线、面、体,可由各相应的有确定方向的“矢量”表达,并形成代数和解析的矢算法则。

 

3维空间的代数和解析的矢算,是经典物理学的重要、有力工具。

 

   现有数学尚未解决各种弯曲空间的矢量表达和矢算法则,而只能由曲线坐标,按张量运算法则,形成黎曼几何,解决某些有关问题。

 

2.对客观世界的认识从3维空间发展为4维时空

3维空间的“矢量”和“矢算”,是建立在“绝对时间”观念之上的,即:认为,参考系与时间无关,不同参考系间的变换,就是“伽利略变换”。

但是,“迈克尔逊光学实验”表明:对于光子,“伽利略变换”不成立,只有狭义相对论,打破“绝对时间”的观念,采用4维时空的“闵科夫斯基矢量”表达时空位置,而参考系与是与时间有关的,不同参考系间的变换,应是“洛伦兹变换”,才与客观实际相符。

3维空间矢量及其“伽利略变换”的,经典物理学,只是当3维空间的速度与相应的光速相比可以忽略的“低速近似”;而3维空间的速度与相应的光速相比不可忽略的光子和高速粒子就必须采用4维时空矢量及其“洛伦兹变换”。

 

   但是,4维时空不同参考系间的变换应由相应的4维时空牵引位置矢的方向余弦表达,而通常由相应的4维时空牵引速度矢的方向余弦表达的“洛伦兹变换”,其实,只适用于惯性的牵引运动,而且,这就表明了非惯性的牵引运动必将产生广义相对论所反映的,时空的弯曲。

 

   由于包括3维空间的速度与相应的光速相比不可忽略的光子和高速粒子的时空位置,必须采用4维时空的“闵科夫斯基矢量”表达,就使对各种形和数,及其运动规律的研究必须采用4维时空的矢量。而对于非惯性的牵引运动就还必须反映时空的弯曲特性。

 

所有的仿射系都可由正交系具体表达。

正交系3维空间的21线矢的叉乘形成的2线矢,仍为组合数=3维,可用与其正交的1线矢,即相应的1线倒易矢,表达,21线矢的点乘成为标量,因而,可以只有1线矢和标量。

但是,4维时空的矢量的各种运算规则却与3维空间的矢量有着原则的不同,21线矢的叉乘形成的2线矢,却是组合数=6维,22线矢的叉乘形成的22线矢,却是组合数=15维,22线矢叉乘 1线矢却是组合数=12维,等等,都只能分别以它们各自的不同维数的相应多线矢表达。

现有数学尚未解决4维时空以及更高维的各类多线矢量的表达,及其矢算,甚至尚未能确定4维时空更高维矢量的客观存在,更没有反映时空弯曲特性的各类多线矢量的表达,及其矢算。因而,必须创建统一适用于包括非惯性的牵引运动弯曲特性的各维多线矢量的表达与矢算。

 

3.创建时空各类多线矢的代数矢算法则:

1)各类多线矢的加减法

与通常各相应维数矢量的完全一样,都是由各同类多线矢,按各相同分量相加减的“矢量和”。

 

2)各类多线矢((A))((B))间的夹角

定义任意两个多线矢((A))((B))间的夹角为:((A)(B))

任意两个1线矢(A)(B)间的夹角,(AB),都与通常的矢量间的夹角一样定义。

在任何两个不完全相重合的多线矢((A))((B))的内部,都至少各有一个与相重合的子空间彼此线性无关的1线矢。因而,可分别在((A))((B))内各选一个与相重合的子空间彼此线性无关、且彼此之间夹角最小的1线矢,而由这两个1线矢间的夹角定义((A)(B))

如果((A))((B))完全相重合,则分别在其间各选的一个夹角最小的1线矢,必然是同一个1线矢,即:其间的夹角((A)(B))=0

这样,就定义了各种情况下,各类多线矢间的夹角。并有:

((A))((B))完全重合:((A)(B))=0sin((A)(B))=0; cos((A)(B))=1,

((A))((B))彼此正交:((A)(B))=/2sin((A)(B))=1; cos((A)(B))=0例如:

多线矢((A))=2线矢(AB)((B))=1线矢(C),其间的夹角为:((AB)C)

(AB) (C) 完全重合:((AB)C)=0

(AB) (C) 彼此正交:((AB)C)=/2

多线矢((A))=2线矢(AB) ((B))= 2线矢(CD),其间的夹角为:((AB)(CD))

(AB) (CD) 完全重合:((AB)(CD))=0。当(AB) (CD) 彼此正交:((AB)(CD))=/2,…,等等。

多线矢((A))=22线矢(AB,BC) ((B))= 1线矢(D),其间的夹角为:((AB,BC) D)

(AB,BC) (D)完全重合:((AB,BC) D)=0

(AB,BC) (D)彼此正交:((AB,BC) D)=/2,…,等等。

类似地,还可定义任意更多个多线矢其间的夹角。

但是,4维时空中,仅有4个彼此线性无关的1线轴矢,因而,也仅有6个不同的两个1线轴矢间的夹角;仅有6个彼此线性无关的2线轴矢,因而,仅有15个不同的两个2线轴矢间的夹角;以及相应的各类多线矢间相应数目的不同夹角。

 

3)各类多线矢间叉、点乘的统一定义

(1)                任意两个多线矢((A))((B))的叉乘积是完全含有((A))((B))

其子空间的高次、线多线矢((A)(B))

其方向为:单位叉乘多线矢(单位矢(A)(B)) =(单位矢(A)) 叉乘 (单位矢(B))/sin((A)(B))

其模长为:((A)) 叉乘 ((B)))=(A)(B)sin((A)(B)),即:

((A)) 叉乘 ((B)) =(A)(B)sin((A)(B)) (单位矢(A)(B))

 

 ((A))((B))中有1个的全部子空间与另1个的部分或全部子空间完全重合时,即:sin((A)(B))=0(单位矢(A)(B))无意义;((A)) 叉乘 ((B))=0

 

将此定义用于3维空间的1线矢,其结果与通常3维空间算的数值相同;但方向不同。后者的方向是定义为:与(A)(B)正交的另1个线矢。但是,在4维和更多维时空的1线矢,就因它们根本不是这样的1线矢,而只能采用本文这样的定义。

 

(2)任意两个多线矢((A)) 点乘 ((B)) 的点乘积是包含((A))((B))中,消去两者中彼此完全相同的子空间后,剩余的全部其它子空间的矢量。

其方向为:相应的“单位点乘多线矢” (单位矢(A)点乘(B)) =(单位矢(A) 点乘单位矢(B)) /cos((A)(B))

其“模长”为:模((A)) 点乘 ((B))=(A)(B)cos((A)(B)),即:

((A)) 点乘 ((B))=(A)(B) cos((A)(B)) (单位矢(A)(B))

 

((A))((B))没有彼此完全相同的子空间,cos((A)(B))=0(单位矢(A)(B))无意义;((A)) 点乘 ((B)) =0

((A))中全部含有((B))((A)) 点乘 ((B)) ((A))中去掉((B))的全部子空间后,所剩余的部分。

((A))((B))中仅有部分彼此完全相同的子空间,((A)) 点乘 ((B))((A))((B))中去掉那些彼此完全相同的子空间后,的剩余部分,而形成相应的“纤维丛矢”。

 

44维时空各类多线基矢(单位矢)叉、点乘积的具体化

(1线基矢a) 点乘 (1线基矢b) = 0 (a=b) ;

=1 (a=b),

(1线基矢a) 叉乘 (1线基矢b) =0 (a =b);

=sin(ab) (2线基矢ab) (a=b),

(2线基矢ab) 点乘 (1线基矢c)=0 (c=ab);

=-(1线基矢b) (c =a); =(1线基矢a) (c = b),

(2线基矢ab) 叉乘 (1线基矢c) =sin(ab,c) (3线基矢abc) (c=ab);

=0 (c =ab),        

(2线基矢ab)点乘(2线基矢cd) =0 (cd=ab);

=1(cd=ab);

=cos(ab, bd) (单位纤维丛矢a,d) (c=b, a=d);

=-cos(ab, ad) (单位纤维丛矢b,d) (c=a, b=d);

=-cos (单位纤维丛矢a,c) (d =b,a=c);

=cos(ab, ac) (单位纤维丛矢b,c ) (d =a, b=c),

(2线基矢ab) 叉乘 (2线基矢cd) =sin(ab, cd) (22线基矢ab,cd) (cd=ab);

=0 (cd =ab);

(2线基矢ab) 叉乘 (2线基矢ac) =sin(ab,ac) (22线基矢ab,ac) (c=b);

=0 (c=b);

(2线基矢ab) 叉乘 (2线基矢bc) =sin(ab,bc) (22线基矢ab,bc) (c=a);

=0 (c =a),

(22线基矢ab,ac)点乘(1线基矢d) =0 (d=a,b,c);

=cos((ab,ac)a) (单位纤维丛矢b,c) (d =a);

                          =cos((ab,ac)b) (单位纤维丛矢a,ac) (d =b);

=cos((ab,ac)c) (单位纤维丛矢ab,a) (d =c),

(22线基矢ab,ac) 叉乘 (1线基矢d) =sin((ab,ac)d) (22,1线基矢(ab,ac)d) (d=a,b,c);

=0 (d=a,b,c) ,

…   …   …,

 

还可以有更高次、线的多线轴矢和多线矢。

理论上,可至无穷,但是,由于相互作用距离增大,特别是多个粒子间相互屏蔽的效应,过高次、线的多线矢的强度,实际上已可忽略不计,而不必考虑。

 

对于正交系,各基矢间不完全相重合子空间的夹角都=/2,相应的sin()=1cos()=0,基矢间子空间完全相重合的夹角都=0,相应的sin()=0cos()=1。有关各式,都得到相应的简化。(为简明计,本文以下均仅采用正交系)

 

54维时空各类多线矢由各相应多线基矢表达

(1线矢A) ={A (a) (1线基矢a) }a=03求和。

(2线矢AB) ={(AB)0j (2线基矢0j) +(AB) kl (2线基矢kl })jkl=123循环求和。

     

(22线矢AB,CD)

={(AB,CD)0k,0l (22线基矢0k,0l) +(AB,CD)0j,kl (22线基矢0j, k l)

+(AB,CD)0k,kl (22线基矢0k,kl) +(AB,CD)0l,kl (22线基矢0l,k l)

   +(AB,CD)jk,kl (22线基矢jk,kl)} jkl=123循环求和。

  …   …

(22,1线矢(AB,BC)D) ={(AB,BC)D(0k,0l)j (22,1线基矢(0k,0l)j)

+(AB,BC)D(0k,kl)j (22,1线基矢(0k,kl)j)

+(AB,BC)D(0l,k l)j (22,1线基矢(0l,k l)j)

+(AB,BC)D(jk, jl)0 (22,1线基矢(jk, jl)0)

jkl=123循环求和。

… …  …

 

4,创建4维时空可变系多线矢

为了具体反映非惯性(各牵引运动系之间存在相互作用力)牵引运动系的时空弯曲特性,并能表达相应的矢量和进行矢算,创建4维时空1线矢可变轴矢系,并按相应的矢算,导出各种多线矢可变轴矢系。

首先,选定参考系原点A处,不变1线基矢系,(不变1线基矢系A)。于是,在该参考(包括非惯性牵引运动)系内其它任何一点X处的可变1线基矢系,

(可变1线基矢系X) =(1线矢矩阵C(XA) (不变1线基矢系A)); 并有:

(不变1线基矢系A) =(1线矢矩阵C(AX) (可变1线基矢系X)),

即:(可变1线基矢x) ={C(XA,xa) (不变1线基矢a)} a=03求和, x=0,1,2,3

(不变1线基矢a)={C(AX, ax) (可变1线基矢x)} x =03求和, a =0,1,2,3

  C(XA,xa), C(AX, ax)分别是1线矢矩阵(1线矢矩阵C(XA)(1线矢矩阵C(AX)的各相应矩阵元,它们都是两参考系间牵引位置1-线矢各方向余弦的函数。并有:

{ C(XA,xa) C(AX, a’), a=03求和}=1(x=x’);

=0(x =x’)

(1线矢矩阵C(XA)(1线矢矩阵C(AX)互为转置逆矩阵,具体表达(可变1线基矢系X)(不变1线基矢系A)间的偏转情况。

 

(不变1线基矢系A)观测(可变1线基矢系X)(不变1线基矢系A)间牵引位置1-线矢:

1线矢r(XA)=(1线矢r(A))=r(XA)(单位1线矢A)=r(A)(单位1线矢A)

={r(A,a)(1线矢r(A,a)), a=03求和},

 模长,r(XA)= r(A)=({r(A,a)^2, a=03求和})^(1/2),  r(A,0) =ict(a),

 

(1线矢r(A))的各方向余弦为:r(A,a)/ r(A), a=0, 1, 2, 3,

 

1线矢A(X)={A(X,x)(1线基矢(X,x)), x=03求和}

=1线矢A(A)={A(A, a)(1线基矢(A,a)),a=03求和},

A(X,x)={C(XA,xa) A(A,a), a=03求和}, x=0,1,2,3,

A(A,a)={C(AX, ax) A(X,x), x =03求和}, a =0,1,2,3,

 

位置1-线矢:

(1线矢r(X))={r(X,x)(1线基矢(X,x)), x=03求和}

=(1线矢r(A))={r(A,a(1线基矢(A,a)), a=03求和},

 

r(X,x)={C(XA,xa) r(A,a), a=03求和}, x=0,1,2,3,

r(A,a)={C(AX, ax) r(X,x), x =03求和}, a =0,1,2,3,

r(X,0) = i ct(X),  r(A,0) = i ct(A),  i=(-1)^(1/2),

 

以上关系,可以推广到任意n维的多线矢。即:

(可变多线基矢(x)) ={C((X)(A),(x)(a)) (不变多线基矢(a), (a)= (a)1(a)n求和}

(x)= (x)1(x)n ,

(不变多线基矢系(A)) =(多线矢矩阵C((A) (X)) (可变多线基矢系(X));即:

(不变多线基矢(a))={C((A)(X), (a)(x)) (可变多线基矢(x)), (x) =(x)1(x)n求和};

(a) =(a)1(a)n

C((X)(A),(x)(a)), C((A)(X), (a)(x))分别是n维多线矢矩阵(多线矢矩阵;

C((X)(A)), (多线矢矩阵C((A) (X)) 互为转置逆矩阵的各相应矩阵元,具体表达(可变多线基矢(x))(不变多线基矢(a))间的偏转情况。

 

(多线矢(A)((X))) ={(A)((X),(x))(多线基矢((X),(x))), (x) =(x)1(x)n求和},

=(多线矢(A)((A))) ={(A)((A),(a))(多线基矢((A),(a))), (a) =(a)1(a)n求和},

 

(A)((X),(x))={C((A)(X), (a)(x)) (A)((A),(a)), (a)= (a)1(a)n求和},

(A)((A),(a)) ={C((X) (A), (x) (a)) (A)((X),(x)), (x)= (x)1(x)n求和},

 

5.时空多线矢的解析矢算 (注意不变系与可变系的区别!)

 

14维时空各基矢的微分、时间导数、偏微分

 

各不变1线基矢(不变1线基矢a)的微分、时间导数、偏微分均=0

 

对于可变基矢系:

 

1线基矢:

d(可变1线基矢x) ={dC(XA,xa) (不变1线基矢a), a=03求和}

={dl(A,a’)(偏微(A,l(a’)) C(XA,xa)) (不变1线基矢a),a,a’=03求和}

=-{dl(A,a’)w(Ax’xa’) (可变1线基矢x’), x’,a’=03求和}, x=0,1,2,3,

w(Ax’xa’)={(偏微(A,l(a’)) C(XA,xa)) C(AX, ax’), a=03求和},是时空联络系数(Riemann-Christoffel符号) 因而,具体表达了弯曲时空的基本特性。并有:

{( dC(XA,xa)) C(AX, ax’) + C(XA,xa) (d C(AX, ax’)), a=03求和}=0w(Ax’,xa’)=- w(Ax,x’a’),

(偏微(A,l(a’)) (可变1线基矢x)={w(Ax’,xa’)可变1线基矢x’,x’=03求和}, x=0,1,2,3,

偏分1线矢:(偏分1线矢(X,x) ={(可变1线基矢x) (偏微(X,r(x)), x=03求和},

 

d (可变1线矢r) =[dr(X,x) (可变1线基矢x), x=03求和},

dU={dr(X,x) (偏微(X,r(x))U, x=03求和},  

d=d (可变1线矢r)点乘(偏分1线矢(X,x),

 

2线基矢:

d(可变2线基矢xy)

=(d(可变1线基矢x))叉乘(可变1线基矢y)

+(可变1线基矢x)叉乘(d(可变1线基矢y))

=-{dl(A,a’w(Ax’,xa’) (可变1线基矢x’), x’,a’=03求和}叉乘(可变1线基矢y)

-(可变1线基矢x)叉乘{dl(A,a’)w(Ay’,ya’) (可变1线基矢y’), y’,a’=03求和}

=-{dl(A,a’) (w(Ax’,xa’) (可变2线基矢x’y)

+ w(Ay’,ya’) (可变1线基矢xy’)), x’,y’,a’=03求和}

d(可变2线基矢xy)/dt(X)

=-{(dt(A)/dt(X))(d l(A,a’)/dt(A)) (w(Ax’,xa’)(可变2线基矢x’y)

+w(Ay’,ya’) (可变1线基矢xy’)), x’,y’,a’=03求和}

(偏微(A,l(a’)) (可变2线基矢xy)

={w(Axy,x’y’a’)(可变2线基矢x’y’), x’y’=01,02,03,23,31,12求和}

,xy=01,02,03,23,31,12,

w(Axy,x’y’a’)=w(Ax,x’a’) +w(Ay,y’a’), a’=0,1,2,3, xy,x’y’=01,02,03,23,31,12,

 

24维时空各类任意多线矢的微分、时间导数、偏微分

对于不变系:

d(1线矢A[A]) ={dA(A,a) (1线基矢(A,a)), a=03求和}

d(1线矢A[A])/dt[A] ={dA(A,a) /dt[A] (1线基矢(A,a)) a=03求和}

d(2线矢AB[A])={d(AB(A,0j)(2线基矢(A0j))

+d(AB(A,kl) (2线基矢(Akl)), jkl=123循环求和}

 …   …   …

d(22线矢AB,CD[A])={d (AB,CD(A,(0k,0l))(22线基矢(A,(0k,0l)))

+d(AB,CD(A,(0j, k l))(22线基矢(A,( 0j, k l)))

+d(AB,CD(A,(0k, k l))(22线基矢(A,( 0k, k l)))

+d(AB,CD(A,(0l, k l))(22线基矢(A,( 0l, k l)))

+d(AB,CD(A,(jk, k l))(22线基矢(A,( jk, k l)))

, jkl=123循环求和}  

 

d(22,1线矢(AB,BC)D[A])={d((AB,BC)D(A,(0k,0l)j))(22,1线基矢(A,( 0 k,0 l)j))

+d((AB,BC)D(A,(0k,kl)j))(22,1线基矢(A,( 0k, k l)j))

+d((AB,BC)D(A,(0l,kl)j))(22,1线基矢(A,( 0l, k l)j))

+d((AB,BC)D(A,(jk,kl)0))(22,1线基矢(A,(jk, k l)0j))

, jkl=123循环求和}

…   …

 

对于可变系:

d(1线矢A[X]) ={dA(X,x)(1线基矢(X,x))+A(X,x) d(1线基矢(X,x)), x=03求和}

={dA(X,x)(1线基矢(X,x))-A(X,x){dl(A,a’)w(Ax’,xa’)(1线基矢(X,x’))

, a’,x’=03求和}, x=03求和}

={dA(X,x)(1线基矢(X,x))+A(X,x){dl(A,a’)w(Ax,x’a’)(1线基矢(X,x’))

, a’,x’=03求和}x=03求和}

={dA(X,x)W(A(X,x))(1线基矢(X,x)), x=03求和}

W(A(X,x))=1+{A(X,x’) dl(A,a’)w(Ax,x’a’)/d A(X,x), a’,x’=03求和}

d(2线矢AB[X]) ={d(AB(X,0j) W(AB(X,0j))(1线基矢(X,0j)

+d(AB(X,kl) W(AB(X,kl)) (1线基矢(X,kl), jkl=123循环求和}

W(AB(X, xy))=1+{{(AB(X,x’y’)) )w(ABxy,x’y’,a’), x’y’=01,02,03,23,31,12求和}

dl(A,a’), a’=03求和}/dAB(X,xy),  

w(ABxy,x’y’,a’)=w(ABxy,x’y,a’)+w(ABxy,xy’,a’)

 

 

d(22线矢AB,CD[X]) ={d(AB,CD(X,0k,0l)W(AB,CD(X,0k,0l))(1线基矢(X,0k,0l)

+d(AB,CD(X,0j,kl)W(AB,CD(X,0j,kl))(1线基矢(X,0j,kl,)

+d(AB,CD(X,0j,kl)W(AB,CD(X,0j,kl))(1线基矢(X,0j,kl,)

+d(AB,CD(X,0k,kl)W(AB,CD(X,0k,kl))(1线基矢(X,0k,kl,)

+d(AB,CD(X,0l,kl)W(AB,CD(X,0l,kl))(1线基矢(X,0l,kl,)

+d(AB,CD(X,jk,kl)W(AB,CD(X,jk,kl))(1线基矢(X,jk,kl,)

, jkl=123循环求和}

 

W(AB,CD(X,xy,us)) =1+{{(AB,CD(X,x’y’,u’s’) w(AB,CDxy,us,x’y’,u’s’,a’)

dl(A,a’) x’y’u’s’=0102,0203,0301,0123,0131,0112,0223,

0231,0212,0323,0331,0312,2331,3112,1223求和}

, a’=03求和}/d(AB,CD(X,xy,us)

w(AB,CDxy,us,x’y’,u’s’,a’)=w(AB,CDxy,us,x’y,us,a’)+w(AB,CDxy,us,xy’,us,a’)

+w(AB,CDxy,us,xy,u’s,a’)+w(AB,CDxy,us,xy,us’,a’)

     

d(22线矢(AB,BC)D[X])

={d((AB,BC)D(X(0k,0l)j)) W((AB,BC)D(X(0k,0l)j))(1线基矢(X,(0k,0l)j)

+ d((AB,BC)D(X(0k,kl)j)) W((AB,BC)D(X(0k,kl)j))(1线基矢(X,(0k,kl)j)

+ d((AB,BC)D(X(0l,kl)j)) W((AB,BC)D(X(0l,kl)j))(1线基矢(X,(0l,kl)j)

+d((AB,BC)D(X(jk,kl)0))W((AB,BC)D(X(jk,kl)0))(1线基矢(X,(jk,kl)0)

, jkl=123循环求和}

W((AB,BC)D(X(0k,kl)j))

=1+{{(AB,BC)D(X(xy,yu)s)w((AB,BC)D(xy,yu)s(x’y’,y’u’)s’,a’) dl(A,a’)

, (x’y’y’u’)s’=(0102)3(0203)1(0301)2(0112)3(0131)2(0223)1

(0212)3(0331)2(0323)1(2331)0(3112)0(1223)0求和}

, a’=03求和}/d((AB,BC)D(X(xyy,u)s)

w((AB,BC)D(xy,yu)s(x’y’,y’u’)s’,a’)

=w((AB,BC)D(xy,yu)s(x’y,yu)s,a’)+w((AB,BC)D(xy,yu)s(xy’,yu)s,a’)

+w((AB,BC)D(xy,yu)s(xy,y’u)s,a’)+w((AB,BC)D(xy,yu)s(xy,yu’)s,a’)

+w((AB,BC)D(xy,yu)s(xy,yu)s’,a’)

 

类似地,可导出其它的高次、线多线矢的微分、时间导数、偏微分,和相应各种积分,以及各矢量场的梯度(偏微矢r (X)) U(X)、散度(偏微矢r (X)) 点乘 (A(X))、旋度(偏微矢r (X)) 叉乘 (A(X))等等物理量。以及黎曼时空的度规张量、曲率张量等表达式。并可具体证明、判定:牵引运动系是惯性的 (平直时空) 或非惯性的 (弯曲时空)

 

6.结论

这样,就从4维时空可变系1-线矢出发,具体创新地导出了各种客观存在,必需计及的,相应4维时空可变系多线矢、纤维丛矢和相应的矢量场。它们分别都是相应的整体矢量,都有各自不同的整体运动变化规律和矢量结构特性。它们既能具体反映非惯性牵引运动系的时空弯曲特性;又能作连续演绎的矢量运算。

它们既包括,又远比通常的3维矢量和矢算复杂、丰富得多,而且都是]通常的3维矢量和矢算又无法表达和解决的!

而通常采用的张量,P-形式,Vierbein,或由“点集符号”,“纤维丛”等表达相应的流形等,对于这各种高次、线 (包括2-线) 的物理量多线矢、纤维丛矢和矢量场,也都仅能形式地表达其各相应分量“模长”的集合,或它们间变换矩阵的各“元”。狄拉克 (P.A.M.Dirac) 的基矢量 (左、右矢) 也只相当于某种多线矢和相应的倒易矢,都没能表达它们各分量与各相应1-线轴矢间的矢量结构和方向关系,都未能确切, 整体,矢量地表达它们。而且通常的3维矢算也已不适用于4维时空各高次、线 (包括2-线) 多线矢和矢量场。特别是,非惯性牵引运动系各类多线矢的微分、偏微分还都与时空联络系数(黎曼-克利斯托夫(Riemann-Christoffel)符号) 有关,且各有确定的不同取向的相应组分。通常使用张量的“缩并”和“反对称化”,以及“外积”、外微分等也都不能确切地进行4维时空各类多线矢和矢量场间统一的,连续、演绎的,代数和解析矢算。

 

   广义相对论虽已认识到非惯性系的时空弯曲特性,但因通常不变系的矢量已不能用,又没有时空的可变系,就只能采用在3维空间已有的曲线坐标,由适当的度规张量,使用张量的“缩并”和“反对称化”,以及“外积”、外微分等唯一处理引力的某些问题。而对于电磁力和强力、弱力等等问题都不能确切解决。

 

因此,为了在这一层次,研讨各种客观实际问题,就必须如上以4维时空可变系位置1-线矢作为基本矢量,按通常矢量空间理论,适应4维时空多线矢的结构特性,创新建立相应的代数和解析矢算法则得到各次、线的多线矢和纤维丛矢。它们的各轴矢是由相应各1-线轴矢,按相应的矢量结构组成,并相应地决定其维数和方向。各种多线矢的代数 (和、差,叉、点乘,倒易矢,,) 和解析 (微分、偏微分、积分,梯度、散度、旋度,,) 矢量运算就是它们的矢算。形成了一整套统一的,适用于可变系时空各类多线矢的,可连续演绎运算的,矢算工具。能统一表达、研讨,具体判断、区分,惯性与非惯性牵引运动,欧几里德和黎曼时空,的各种运动特性和规律。用以表达并研讨包括现有理论尚未能解决的,各种已知客观存在的,有关实际问题,从而发展了相应的形与数的数学。

 

 

 



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