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从一道原创题目及其解法,谈谈数学概念的严肃性
大罕
公众号【自主招生】第14期,发表了署名文章“用定积分求这个面积杀鸡用修脚刀”。文章给出了一道原创题目及其手写的解答过程,如下:(参见图1)
此题及其解答,从整个思路和答案看是无误的。但是,题目本身及其解答反映出来的概念上的模糊、治学的不严谨,作为一个公众号拿出来让人家学习这是完全不能接受的。因此有必要写一篇文章,在指出其错误的同时,强调数学概念的严肃性。
这道题在表述上的错误是:
①"已知f(x)=6x2-18x+12,x∈[1,3/2],f(x)的图像与x轴仅相交于一点(1,0)(如图),怎么能与x轴围成一个封闭区域从而有其面积?
②“已知…, g(x)=(1/6)[9-√(9-6x)],x∈[0,+∞)”,显然g(x)中x的允许值范围是x≤3/2,定义域岂能指定为[0,+∞)?
③g(x)的图像与x轴无交点,何以与x轴围成一个封闭区域从而有其面积?
解答过程也有错误:
④y=(1/6)[9-√(9-6x)]与x=-6(y-1)(y-2)是等价的吗?不是,因为两式中的x,y的取值范围不同。具体说,前面式子满足x≥0,y≤3/2,而后面式子满足(-∞,3/2].
⑤“f(x)与g(x)表示的是开口相同抛物线”,应为:f(x)与g(x)的图像所在的曲线是开口大小相等的抛物线。因为函数f(x)、g(x)的图像分别是曲线段,所在曲线才是抛物线。抛物线的开口的大小用“相等”来刻画,而不是用“相同”来形容。
那么,这道题及其解答应该修正为:
题目:已知(x)=6x2-18x+12,x∈[1,3/2],g(x)=(1/6)[9-√(9-6x)],x∈[0,3/2],f(x)与x轴、x=3/2围成的封闭区域的面积为S1,g(x)与x轴、x=0、x=3/2围成的封闭区域的面积为S2,求S1+S2 .
解:y=(1/6)[9-√(9-6x)],x∈[0,3/2], y∈[1,3/2]等价于x=-6(y-1)(y-2) ,x∈[0,3/2], y∈[1,3/2],
设方程y=6x2-18x+12(x∈[1,3/2], y∈[-3/2,0])对应的曲线段为C1, x=-6(y-1)(y-2)(x∈[0,3/2], y∈[1,3/2])对应的曲线段为C2,
我们注意到C1、C2所在的曲线均为开口大小相等的抛物线,前者开口向左,后者开口向上;并且这两条抛物线与x轴、y轴的相对位置是相同的,如图2所示。
所以,面积为S1的区域与面积为S2的区域可以拼接成一个边长为3/2的正方形,
∴S1+S2=9/4 .
【评论】原题与解答中所出现的问题是“不严谨”所致吗?是,也不仅是。
从题目到解答,反映出了作者在这一题的处理上的治学很不严谨,不然就不会漏洞百出,不然就不会把图得马虎了事。
同时,反映出对数学概念的严肃性重视不够。
所谓数学概念的严肃性,是指我们在数学活动中要严格遵循数学概念的约定,在课堂上以及公开发表的文字中更不能随意而行。
函数的三要素,定义域、值域和函数关系,在相关地方应该处处体现;
函数定义域如果要指定,那么它必须是默认(自然)定义域的子集;
函数的解析式与曲线的方程是有区别的。同理,函数的图像与方程的曲线是有区别的。
作为教师,画图是基本功。尤其是徒手画图,更见功力。我们不需要处处用画图工具画图,更多的是信手拈来,画线直直,画圆溜溜。我记得我初中有一位数学老师,一次他顺手在黑板上画了一辆汽车,他讲的什么现在忘记了,画的那车却一直铭记在心。把图画得脏兮兮、丑歪歪,实在不应该。
顺便指出,治学严谨也表现在文字的表达上。写文章用词要准确,要有逻辑,这是基本要求。例如本公众号的导语说:“无论是数 学奥赛还是自主招生,现在似乎都被笼罩在神秘光环之下,无论是出题,还是解题,都给人很神秘的感觉,所用知识与技巧很多时候都犹如从天而降。事实上,如果揭其本质,理其脉络,一般人通过一番努力之后,还是可以学到手的。”我认为这两段话表达得很不准确,逻辑上也有对不上号的地方。这里恕不详说。
综上所述,研究一个数学问题,要抓住数学的本质。作为数学教师,除此之外,还要注意数学概念的严肃性,以及“细节”的规范化,诸如表达的严密、逻辑的顺畅、概念的清晰、图形的美观,因为——有时“细节决定成败”。
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