美国八年级教材上关于星形的一个问题

大罕

武汉特级老师郑用珂老师在“揽数习文群”提了一个问题：

【问题】如图，在R=50px的圆周上绘制11个点的星状图，星边长37.5px，求证：角A不大于45°。(不能用三角函数证，只能用平几知识。)

笔者提出疑问：星状图的定义是什么？为什么

郑老师回复道：“就是我画的那个图形，每个角的边都是1.5cm。因学生还只学到圆和正多边形，没学三角。”又说是他的侄孙在美国读八年级，暑期回国时提问的。原题的文字是：

这段文字是：

SPACE SHUTTLE  To maximize thrust on a NASA space shuttle,engineers drill an 11-point star out of the solid fuel that fills each booster.They begin by drilling a hole with radius 2 feet, and they would like each sideof the star to be 1.5feet. Is this possible if  the  fuelcannot have angles greater than 45° at its points?

大意是：

使NASA航天飞机的推力最大化，工程师们从装满助推器的固体燃料中钻出一颗11边的星状形。他们首先钻一个半径为2英尺的洞，他们喜欢的星状形的边长是每边为1.5英尺，如果两边夹的角度不能超过45°，这是可能的吗？

【解答】严格来说，所谓“星状图”是没有定义的。目前我们只能感性地通过看图解题。把“星状图”复原成“正星形”。可知这个正星形有11个相等的顶角，每个顶角所对的圆弧有3段，如图1，那么∠A=540度/11>540度/12=45度，即∠A>45度，所以这个角度不超过45°是不可能的。

    【评论】以上解答很简捷很清晰，八年级学生完全可以理解和接受，可是没用条件：“内接圆半径为50px，每条边的长为37.5px ”， 这就奇怪了！如果用条件，会是怎样的结果呢，请看：

如图1，在△OAB中，∠AOB=π/11，又设∠OAB=θ，由正弦定理，有2/sinθ=1.5/sin(π/11)，于是sinθ=(4/3)sin(π/11)，因此用计算器可得
 θ=arcsin [(4/3)sin(π/11)]=arcsin0.37564340912191=22.0640850254°，
 ∴∠A=2θ=44.1281700508°<45°.
 这就更奇怪了！结果与前面的正好相反！
 两种解法，第一种把图形默认成“正规星形”，如果正确，那么所得结果应该无误。第二种解法违背了“不能三角函数证”，用传统的三角方法所得的结果肯定无误，但却是八年级学生所不能理解和接受的。

 问题出把图形默认成“正规星形”。那么，我们有必要简介一下星形的有关知识。可参考大罕的专著[1]。
     

【星形的相关知识】
 对于能组成一个凸n边形顶点的n个点A_1, A_2,……, A_n，它们绕着某中心点排成一圈（以下简称为排成一圈的n个点，并且把这个圈画成一个圆），规定：

⑴A_i与A_n+i表示同一个点；

⑵点A_i与A_n+r+i称为相隔r个点的两个点．

为方便讨论，我们约定0≤r≤n-r-2，即1≤r+1≤n/2，并且把它作为约束条件．<br>

在此条件下，我们给出星形的定义如下：<br>

定义1：对于围成一圈的n个点A_1, A_2,……, A_n，从某一点A₁开始，顺次连接相r (1≤r+1≤n/2)个点的两个点作成一条线段，若这n条线段构成一条或几条闭折线，则称该闭折线为n边星形，其中r叫做这个星形的生成数（或阶数），记为A_r(n)．若星形A_r(n)是由单独一条闭折线组成的，则称它为素星形，若它由几条闭折线组成，则称它为合星形．<br><br>

关于星形的生成有如下定理：

定理1：对于围成一圈的n个点A_1, A_2,……, A_n，从点A₁开始，顺次连接相隔r (1≤r+1≤n/2)个点的两个点成为边，能生成n边素星形的充要条件是(n,r+1)=1．<br>

证明(从略). <br>

当n=11时，满足(11,r+1)=1且1≤r+1≤11/2的非负整数r的值为r=0,1,2,3,4.它们生成的星形如图2所示。

通过比对，本题的r=3.

关于正星形，是这样定义的：

定义2：圆上的n个等分点生成的星形，叫做正星形。

本题涉及的“星状图”是由11边正星形产生的。

正星形是单折边折线，每一处的折角的补角叫做它的顶角。一般情况下，我们约定顶角为正角。显然正星形的顶角相等。

定理2：生成数为r的n边正星形的顶角为(n-2r-2)π/n(弧度).

证明(从略).

当n=11,r=3时，A=(11-2×3-2) π/11=3π/11，这就是上面的结果.

正星形的自交点分为若干层，如图3，每一层上的自交点可以构成与原正星形相似的正星形。（参见资料[1]）每一层的正星形的外接圆称为该层的圆。正星形的顶点与落在某层圆上的自交点构成的多边形叫做星形多边形（图4）。

在生成数为3的11边正规星形中，第1层组成正22边星形多边形L，原星形所在圆的半径为R，第1层的圆的半径为R₁，L的边长为a，那么有

   a/sin(π/n)=R₁/sin[(n-2r-2)π/2n]=R/sin[(n-2r)π/2] ,

   因此， a=R₁sin(π/n)/sin[(n-2r-2)π/2n],      (_*)

为弄清本题的错误出在哪儿，我们将R₁＝2，n=11，r=3，代入(_*)式，并利用二倍角和三倍角公式，得<br>

a=2sin(π/11)/sin(3π/22)=4cos(π/2)/[3-4(sin^２(π/22)＝1.3563908284.

而本题给出的a=1.5，超过了应有长度，说明本题的星形多边形不是正规星形建构而成的！

至此我们把问题彻底弄清楚了。结论是：本题是个错题。错在没有交待什么是星形，在模糊的状态下，又给出了两个数据，而数据与正规星形相悖的。于是造成了“只用平几知识，则无需数据”和“如用数据，则无法用平几方法完成”这样的“两难”的局面。

【参考文献】

[1]王方汉著，《五角星·星形·平面闭折线》，华中师范大学出版社，2008.11.