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对Maxwell方程组的研究和讨论 黄志洵l

已有 736 次阅读 2022-6-13 23:14 |个人分类:超光速|系统分类:论文交流

 

对Maxwell方程组的研究和讨论 黄志洵l

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30220613黄志洵对Maxwell方程组的研究和讨论.pdf

(中国传媒大学信息工程学院,北京100024

 

摘要:经典电磁场理论的核心是Maxwell电磁场方程组。它的每个公式都有实验实的支持,数学逻辑严密自洽,在应用方面经受了长期考验;因此,其正确性无可怀疑。……但是,Maxwell方程组是由多个矢量化偏微分方程组成的,其严格求解不仅复杂而且困难,甚至难倒了数学家。此外,该方程组可能不够全面和完善,本文对此作了详细分析。

对于Proca电磁场方程组,我们持肯定的态度,认为它是对Maxwell方程组的补充和改善。文中推导了Proca波方程(PWE)结果是对称的。不知道Proca本人为何未作推导,本文弥补了这一缺陷。

对中国科学家最近提出的扩展的Maxwell方程组,本文认为应当重视并展开讨论。

关键词:Maxwell方程组(ME)Maxwell波方程Hansen函数Proca方程组Proca波方程扩展的Maxwell方程组

 

1  引言

英国物理学家J.Maxwell1831-1879)在电磁理论方面的贡献可I.Newton经典力学方面的贡献相比拟。Newton建立人类史上第一自然科学理论体系,Maxwell则精辟地概括了19世纪电磁学的精华并作了创新。他们两人是伟大的,人类工业文明和信息社会的建成得益于他们。当然,Maxwell并不是孤立的研究者——前有M.Faraday,后有H.Hertz;正是由于他们人的努力才有可能建立Maxwell方程组;这是经典电磁学的最重要的理论,收集、提炼和浓缩了电磁实验现象基本规律。

众所周知,Faraday科学思想突出表现在“力线”的概念上,它包含力线、力线。Maxwell先仔细研读了Faraday的著作《电学实验研究》,然后力图用数学表达Faraday的思想。1856Maxwell[1] 发表首篇电磁学论文Faraday力线”,其中提出6关系,即1861-1862Maxwell发表另一篇电磁学论文论物理力线”,中提出一全新概念位移电流”,计算方法是1865Maxwell[2] 发表最重要的一篇电磁学论文A dynamic theory of electromagnetic field”,其中不仅最先提出“电磁场”一词,而且给出20标量方程组成电磁场方程组。年后,德国物理学家H.Hertz归纳总结为4个矢量方程Maxwell方程组,本文简称ME我们要注意它的特点,其组成要素是4独立的矢量偏微方程,构为完整表述电磁场特征的数学物理学系统。它的价值和用途立即显示出——Maxwell此基础上推出了电磁波方程是一通过电磁场传播的扰动”,确立了光与电磁波的同一,这在光学发展中是绝无仅有的事。,后人把这篇章称为19世纪伟大的一篇科学文献是有道理的。

Maxwell方程组是长盛不衰的,这是由于其每个方程都有实验实的支撑

 

的数学逻

辑严密而自洽。在20世纪及其以后,已有许多电子计算机软件程序用来扩展它的应用,人们确实也解决了许多工程技术问题。……但是,对待ME不能绝对化由于它是一种建立在经典物理和古典数学基础上的唯象理论其不足之处也渐为人们认识。专家指出其理论欠严格与现代数学、现代物理学略有脱节忽略粒子性对场的完备性问题难以解决这些问题在今天已突出起来。人们在问传统的ME求解方法是否存在不能求解的问题? 是否有更加完善的方程组?

为了证明今天仍有重新研究和对论Maxwell方程组的必要,这里再举出几个例子。首先,ME及由它导出的电波波方程都是矢量方程,严格求解是很困难的[3],除非一再作出近似。经典电磁理论只在处理标量偏微分方程组时才现出严格性。

又例如,1964年物理学大师P.Dirac[4]: 我们打算研究Maxwell方程组并不精确成立的可能性当距离产生场的电荷非常近时,或许必须修改Maxwell场理论,以便将其变为非线性电动力学。”.…确实,虽然研究非线性Schrödinger方程(NLSE)的文献相当多[5],甚至有人写了题为《非线性量子力学》[6]或《非线性光学》[7,8]的专著笔者却没听说什么人在研究非线性Maxwell方程组(NLME)

再如,物理学史告诉人们说,Maxwell场论解释不了光电效应(一种用光子在金属板表面击出电子的现象)。正是由此出发,A.Einstein提出了光子假说[9],用此理论对光电效应作出了解释,因此获得了1921Nobel物理学奖。那么,为什么Schrödinger[10]方程既考虑波动性又计及粒子性,从而完美地解释了微观世界Maxwell场论却完全不考虑粒子性? 当然,在1865年那个时期,连对原子的认识都很差,更谈不上解微观粒子但为什么在1936A Proca [11]提出考虑光子静止质量(即取0)的理论之后,甚至直到现在,科学界对Proca方程组仍然不予重视这难道是合理的吗?!

本文的主是研究和讨论Maxwell方程组这个科学珍珠可能存在的瑕疵,讨论其解决的方法

 

2  Maxwell方程组的一般关系

ME在不同单位制中有不同的形式最常见的是MKSA单位制中的写法,称为ME的标准形式

                                              1

                                              2

                                         3

                                          4

式中是电感应强度,是磁感应强度,是电场强度,是磁场强度,是电流密度,以上各项均为量。另外,是体电荷态度,是标量。公式(3)被称为Maxwell第一电磁定律,我们简称为Law 公式(4)被称为Maxwell第二电磁定律,我们简称为Law Law Law ME的精华。然而,公式(1)(2)却不能称为Maxwell定律,其原因如下先看公式(1),由于在一定条件下有以下关式成立

                                                (5)

式中是电容率(permittivity)故可有

                                             1a

上式表明体电荷密度是产生电场强度的源这个方程的实验基础是电荷可以在自然界单独存在,它们之间的作用力服从Coulomb定律方程(1a)所确立的电场与电荷关系也称为电的Gauss定理。所以,严格而论公式(1)不是Maxwell的原创性贡献,虽然它是Maxwell场论中不可缺少的一部分。

另一个原因是,在一定条下可以由(3)式导出(1)式,这就损害了(1)式的独立性现在可把公式(3)写作

=                                      3a

在这里是总电流密度矢量

+                                            (6)

式中是传导电流密度(是导电率),而代表非电流源产生的电流密度矢量。

我们对公式(3)的左、右取

根据矢量代数,上式左边为,故有

0

相据所谓连线性方程

0                                           (7)

试中是体电荷密度代入前式,得

0

即可写作

式中是任一与时间无关的位置的函数考虑到场产生之前=0=0,即=0故得=  此即式(1)。可认为(1)式是ME第一定律的推论——但要满是两个条件是连续性方程成立,其次是场在有限时间内产生[12]

地,我们可以证明在一定条下,由LawⅡ可导出(2)式。不过,及到磁场性质问题,情况更为复杂。取是以实验事实为基础的——从来没有发现过所谓磁荷的存在磁的NS极总是成对出现,磁力线总是合的(Faraday很早就注意到这个情况)1931P.Dirac[13]提出,只有一种磁极性的磁基本粒子应当可以存在,称为磁单极子(magnetic monopole)。但实验物理学家的长期寻找,都没有发现磁单极,只是1982B.Cabrera[14]宣布,他在低温超导技术的帮助下可能找到了磁单极然而科学界并未认可这一成果。

但是,磁荷在理论运行中却是一个有用的概念。从磁的Coulomb定律出发,可以这样定义磁场强度

=                                               (8)

式中是磁力(矢量)是磁荷。这种观点中,用(而不用)来表征磁场。与磁荷观点不同的是电流观点,它以Biot-Savart定律为基础,用磁感应强度(矢量)来表征磁场。不过,对同样的物理对象,二者的计算结果本质上相同。

3  电磁场理论中的本构关系

1952年,荷兰Leyden大学教授C.Böttcher[18]的专著《Theory of Electric Polarisation》出版。此书共有492页,最先论述的是静电学中的一些概念和问题,其中首先是矢量,然后是电极化(electric polarisation)矢量,再谈电容率然后讨论偶极子的反射场,极化与能量,静态场或低频交变场中的极化介电物质,静态场或低频交变场中的非极化介电物质,光频下的极化,高频率极化,介电损耗,固体的极化等等。由此书可知,当电磁场和物质相互作用时,其理论是既丰富又复杂的。

对于气体、大多数液体、许多固体而言,矢量的方向相同。在这种情况下可写出公式(5),即=。在中等强度的静态场中,取决于物质的化学组成和密度,而与无关。这时又把称为介电常数(dielectric constant)。上述关系式不仅对静态场正确,对于低频率的交变场也是正确的。对于高频率(例如一直到光频),这时会在之间产生相位差,从而在之间产生相位差。在以上表述中,是电极化密度(density of electric polarisation),简称电极化,它是矢量,是在空间点上的值,其物理意义详后。

电极化定义来源于下式

=

是感应偶极矩(induced dipole moment)是体积故有

=

故单位体积的感应偶极矩即电极化。

在电介质极化理中有所谓本构方程

==+                                 (9)

式中是真介电常教由上式得

=()                                  (9a)

这表的存在是以0为前提。

必须指出,对电极化密度(电极化强度)的有关推导,有时要和从磁荷概念出发的论点联系起来。下式是有关磁场的本构方程

==(+)                               (10)

矢量是磁化(磁化强度)矢量,其地位与对应。有的研究者(例如朱兰成)曾经熟练地用来帮助解决介质非静止时的ME推导。

电磁理论中的本构关系指的是处于电磁场中的介质内产生电极化和磁化等物理量与电场强度、磁场强度之间的关系。无论何种介质,只要建立描述这些介质的本构关系,代入到ME之中,就能获得正确的结果。

 

4  为什么要矢量波函数(Hansen函数)

电磁理论的发展已证明下述矢量微分方程是普遍适用的

0                            (11)

矢量函数可以是,或Hertz矢量而上式称为电磁波的矢量波方程适用于无电荷源的区域。如该空间无传导电流(=0)则有

0                                    (12)

对单色波则有矢量Helmholtz方程成立

(+)=0                                        (13)

式中=根据算子Laplacian的定义上式为

0                       13a

对于直角坐标系而言3个单位矢是常矢量可分解为3个分量每个分量(=,,)均满足下述标量Helmholtz方程

(+)=0                                      (14)

从而为使用分离变数法创造了前提。但是上述分量求解法常常无法实施因曲线坐标系中3个单位矢不是(或不全是)常矢量故上述作法只能得到包含3个分量的耦合方程亦即中对任意分量作分离变数时每个分量的3个函数乘积的Laplacian都与3坐标有关即相互耦合的故无法进行。

20世纪30年代W.Hansen[19]提出直接求解矢量波方程的见解其矢量波函数Hansen函数。但Hansen函数是直接满足矢量波方程的具体如下。设函数()是下列方程的本征解

(+)=0                                      (14a)

边界条件=0(第一类边值问题)=0(第二类边值问题)

=                                            (15)

=                                        (16)

=                                        (17)

式中是常矢。

由于=0=,无旋有散场又可证明=0=0≠0≠0有旋无源场。另外可证·=0·=0·≠0;为使·=0为特殊矢量实际上柱坐标时选轴上单位矢量球坐标时选向单位矢就可使·=0。因此称为引向矢量。于是三者互相垂直。

由于==()故有

(+)=(+)=0                        (18)

此外又可证明

(+)=0                                       (19)

(+)