希尔伯特旅馆悖论

牛顿的无限而又静止的宇宙引起不少佯谬，比如之前所介绍的夜黑佯谬。

当这些宇宙是否无穷的问题令物理学家们头疼的年代，数学家们却正在欣赏“无穷”的美妙。

古代与中世纪哲学著作中记载过关于无限的思想。公元前1000年左右的印度梵文书中说：“如果你从无限中移走或添加一部分，剩下的还是无限。”不久前才发现并解读的古希腊羊皮书中的记载表明，古希腊的阿基米德就已经进行了有关无穷大的计算。

康托1874年在他有关集合论的第一篇论文中提出的“无穷集合”概念，引起数学界的极大关注，震撼了学术界。康托并且导出了关于数的本质的新的思想模式，建立了处理数学中的无限的基本技巧，因此，希尔伯特说：“没有人能够把我们从康托尔建立的乐园中赶出去。”

为了更好地解释无限集合与有限集合的区别，希尔伯特在他1924年1月的一次演讲中，举了一个有趣的具有无穷多个房间的“希尔伯特旅馆”的例子，下面是根据希尔伯特的说法编出来的故事。

鲍勃是芝加哥大学的学生，圣诞节快到了，他从芝加哥开车回家到波士顿。原来计划一天开到的，傍晚8点左右，鲍勃感觉太累了，还得开4小时左右才能到达呢。于是，鲍勃来到纽约州一个小镇，决定找个旅馆住一晚再说。不过不知道为什么，今天这个小镇上好像特别热闹，镇上大大小小的旅馆都给住满了。鲍勃正要发动汽车上高速公路去下一个地点找住处，却被一条醒目的广告吸引住了：

“已经客满，但永远接受新客人，因为我们是希尔伯特无限旅馆！”

鲍勃看不懂这句话是什么意思，但既然这个旅馆还可以接受新客人，就去试试吧。

旅馆经理很高兴地为鲍勃办理了入住手续，将他安排在1号房间。鲍勃很好奇地问经理：

“不是客满了吗？为什么1号又是空的呢？”

于是，经理兴致勃勃地向鲍勃解释他的这个“希尔伯特无限旅馆”。

希尔伯特旅馆与别的旅馆不同的地方是：它的房间数目是无限多。其他的旅馆如果客满了，那就再也不能接受新客人了。可房间数目无限多的旅馆不一样，“客满”不等于“不能接受新客人”！

鲍勃瞪大眼睛，似懂非懂。

经理采取的办法是，将原来1号房间的客人移到2号房间，2号房间的客人移到3号房间，3号房间的客人移到4号房间，让他们一直移下去……就像图5-1a所表示的那样。

图5-1：希尔伯特旅馆

“这样，你不就可以住进1号房间了吗。”经理笑嘻嘻地说。

鲍勃对此产生了兴趣，思考了几分钟，他好像突然若有所悟：

“你的办法的确有趣……不过，既然如此，何必兴师动众地移来移去多此一举呢，把我安排到最后那个房间不就好了吗？”

经理笑了：“看来你还没有真明白啊！你能说出最后那个房间是多少号吗？这就是无限大与一般有限数目的区别啊。”

经理又继续向鲍勃介绍他的无限旅馆，说这种旅馆不仅仅可以继续接受像鲍勃这样一个一个来报到的新客人，即使是一次来了“无限多”个（可数）的客人，他也有办法让他们住进来，就像图5-1b所画的那样。

对无限多个新客人，经理将原来1号房间的客人移到2号房间，2号房间的客人移到4号房间，3号房间的客人移到6号房间，也就是说，将原来第n号房间的客人移到第2n号房间去……。这样移动的结果将会空出所有的奇数号码的房间，也就是无限多个房间，这样便能住下无限多新来的客人了。

还可以继续下去，即使是同时来了无限多辆汽车，每辆都载了无限多个客人，我也有办法解决他们的住房问题，我让……经理又滔滔不绝地说了一大堆。

这时，经理的电话铃响了，原来是他的老板提醒他，说他刚才最后一段对顾客的解释不够严谨。“无穷多”辆车，每辆车还有“无穷多”个人的这种情况，不是那么好办的，要加上一些条件：这些人要是可数的，预先按座位进行编号。于是，经理眨眨眼睛，继续向鲍勃解释：“这无穷大的学问很大，无限大可以进行分类，是用‘势’来比较大小，给你解释一天也解释不完啊！”

鲍勃彻底服了，心想这个旅馆的经理和老板原来都是数学家啊。想到数学，鲍勃才记起历史上有个名字叫做希尔伯特的大数学家，好像有个什么旅馆悖论以他命名，

鲍勃说：“这是不是叫做希尔伯特悖论啊？”

经理说：“是有这么个说法，但这并不是什么悖论，数学逻辑上并无矛盾之处。只是充分说明了无限集合的性质与有限集合的性质完全不相同。”

鲍勃想起了著名的芝诺悖论，认为数学家都喜欢狡辩，不过鲍勃也喜欢狡辩，他对经理说：

“你这个‘无限’，不过是个数学上的概念，它与事实是不符合的。你看，你这个旅馆占地面积有限，怎么可能容纳下无限多个房间呢？就算不是逻辑上的悖论，也可算是一个与实际情况不相符合的‘佯谬’吧。”

经理哈哈大笑：“你又错了吧，占地面积虽然有限，往空中可是能无限发展啊……不管怎么样，赶快去你的1号房间休息吧。”

鲍勃最近在学校修了一门很难的物理课，老师讲到“狄拉克海”。鲍勃记起那位教授当时对真空狄拉克海的描述和这儿的无限旅馆永远能接受新客人的概念有某些类似的地方。鲍勃好像有所感悟，无限大集合加上一些元素，还是无限大集合。“狄拉克海”就是这么一个无限大的电子海洋，加上几个电子，减少几个电子，丝毫不影响这个无限大真空的性质。

鲍勃躺到床上，迷迷糊糊进入梦乡，脑袋中还在转悠着“有限”、“无限”……

“有限能容纳无限吗？”鲍勃梦中被另一个悖论纠缠，写在下面供大家消遣。

图5-2：托里拆利小号

托里拆利小号悖论：

托里拆利小号如图5-2所示的形状。它是由y=1/x的曲线绕y轴旋转而成的。用微积分很容易计算它的总体积和总表面积。总体积收敛到一个有限数：pi，但总表面积却发散，趋向无穷大。

某小号手请了一位油漆工来油漆他的托里拆利小号的内表面。有趣的是两人都喜欢数学，都对数学有一定的研究和造诣。油漆工很狡猾，要价颇高，理由是这种小号的表面积是无穷大，理论上需要消耗无穷多的油漆才能漆好它。小号手则辩解道：怎么可能需要无穷多的油漆呢？你看，整个小号的体积是有限的，小号像一个杯子一样，用等于小号体积那么多的油漆将小号装满，就能将所有内表面都油漆到了。所以，最多也就只是用体积这么多的油漆就足够了。

读者您认为小号手和油漆工谁更有道理呢？