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重写狄拉克方程 再铸新量子场论
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重写狄拉克方程 再铸新量子场论
——寄意有志于理论创新的物理学年轻学子
钱 大 鹏
【看完整文本请点击：重写狄拉克方程 再铸新量子场论.pdf】
受德布罗意物质波假设的启发，薛定谔用粒子的能量和动量分别取代频率和波数赋予波函数新的形式，然后“倒拔垂杨柳”，写出具有划时代意义的薛定谔方程。其间借助了一个重要的桥梁和纽带，这便是经典力学中的能量-动量关系式
(1)
后来人们把薛定谔方程的建立过程直接理解为将(1)式关系算符化，亦即通过代换
和 (2)
再作用于波函数而完成。薛定谔提出波动方程的时候，狭义相对论面世已逾二十载，更普遍的能量-动量关系
E2 =E02 + (cp)2 (3)
早就深入人心，所以克莱因、戈登紧随薛定谔之后，按照(2)式将(3)式关系算符化，写出了“相对论性的”克莱因-戈登方程。然而在与光谱测量等实验结果对照中很快发现，克莱因-戈登方程原来并不如薛定谔方程正确。
非相对论性的薛定谔方程优于相对论性的克-戈方程，这是令人难以接受的。狄拉克意识到，问题出在建立克-戈方程所用的(3)式左边的能量E是二次方的，所以只有像薛定谔方程那样保持能量算符的线性化方可找到出路。于是，天才的狄拉克巧妙地运用矩阵代数一举加以解决，建立了“秋水文章不染尘”的狄拉克方程，成功地预言了正电子的存在，并为量子电动力学奠定了基础。
总之，无论薛定谔方程、克莱因-戈登方程还是狄拉克方程，它们的建立都是以能量-动量关系为前提的，从薛方程到狄方程，彰显了能量-动量关系从经典力学向狭义相对论的飞跃。那么，如此重要的能量-动量关系在经历了从(1)式到(3)式的升华和拓展之后，还有没有继续改进的余地呢？现在可以明确的说，答案是肯定的！根据笔者提出的“吸纳了测不准原理的新狭义相对论” [1]，我们有足够的理由和证据宣示，爱因斯坦的狭义相对论并非终极理论，它需要并且也能够得到进一步的发展和完善；公式(3)不是能量-动量关系的终结者，它有更完备的改进版本。
下面就来介绍改进的能量-动量关系式。首先，作为吸纳了测不准原理的新狭义相对论的一个重要结果，洛伦兹-爱因斯坦质量公式被扩展到更完备的新形式（参看http://blog.sciencenet.cn/blog-648126-1068310.html）。新公式指出，质量m并不是单一地取决于速度u，而是速度u和另外一个无量纲的随机涨落变量ζ的二元函数。变量ζ是在方程推导过程中自然出现的，它使得存在于物理过程中的随机性和几率概念自动进入相对论方程。利用这个扩展的洛伦兹-爱因斯坦质量公式和质能公式E=m c2可以导出一个能量-动量关系
E2 = (3ζ 2-2ζ 3)2E02 + (cp)2, (0≤ζ≤1) (4)
按照公式(3)，当粒子以近光速运动亦即E>>m0c2时，有近似关系E ≈cp；但按照(4)式，如果ζ=0，那么无论速度高低都严格有E =cp，因此正如在某些凝聚态物质中所呈现的那样，即使在低速下也存在洛伦兹不变性违反。
对于质量m=m(ζ)，按其ζ状态几率加权平均，可以得出平均质量-速度关系方程，进一步得到更普遍的能量-动量关系
(5)
式中 (6)
其中常数 Φ=1.037×1019 (7)
(5)式与(3)式的区别在于多出一项ξ(cp)2，其中因子ξ是速度u的函数，它显示，u 越大|ξ|越小，当u=c 时有极小值 |ξ|=Φ-2≈10-38，对于极高能宇宙线质子|ξ|≈10-30、LHC加速器质子|ξ|≈10-23、反应堆物理中的慢中子|ξ|≈10-15、固态氢|ξ|≈10-13。如果粒子速度低到
(8)
则有ξ=–2，公式(5)变成奇异的形式
(9)
现在再回到(5)式，也许有朋友会立即发问：这不是Coleman和Glashow[2]为解答极高能宇宙线GZK截断悖论而引进的表达“洛伦兹不变性破缺”的公式吗？从形式上看，的确是这样（我们甚至特意采用了与之相同的符号ξ），然而，从理论来源到内容涵义，我们的公式与Coleman-Glashow公式却有着本质的区别，特别是在极高能宇宙线能谱GZK截断问题上，我们公式做出的理论预言与最新的观测结果完全一致。下面通过与Coleman-Glashow理论的对照，阐明我们的能量-动量关系(5)、(6)式的特征和意义。
Coleman-Glashow理论的基本出发点是假定所有各种粒子能够达到的最大能量有一个共同的上限即普朗克能量，所以根据经典的洛伦兹-爱因斯坦质量公式得出，不同的粒子按其静质量的不同，具有不同的可达到的最大速度。与Coleman-Glashow的假定相反，导出(5)、(6)式的扩展的洛伦兹-爱因斯坦质量公式则指出：各种粒子具有共同上限的物理量不是能量而是速度即光速c，当u=c时粒子的能量E(=mc2)并非无穷大而是一个有限的最大值
c2=ΦE0 =1.037×1019 E0 (10)
可见，对于不同种类的粒子，依其不同的静能E0具有不同的可达到的最大能量（并非不同的最大速度！）。而且微扰项ξ(cp)2的出现是扩展的洛伦兹-爱因斯坦质量公式的必然结果，并非如Coleman、Glashow那样作为试探性的假设额外加进的东西；系数ξ具有严格的表达式即公式(6)，而不是像Coleman-Glashow方法通过拟合观测数据来调整的。
由(5)、(6)式给出的完备化的能量-动量关系可以在极高能宇宙线的观测中接受检验。如前所述，利用(6)式可以从理论上精确地计算“破缺系数ξ”，对于3×1019eV以上的宇宙线质子，算出|ξ|≤5.9×10-30。通过与唯像学的模拟计算结果对照可以看到，虽然理论上存在“洛伦兹不变性破缺”，但是在极高能宇宙线能区，相应的系数|ξ|值却太微小，破缺效应极其微弱，不足以改变能谱的GZK截断，这与HiRes[3]和Auger[4]的观测结果是一致的。另外，还可以证明，虽然微小的破缺系数允许GZK截断，但是又不排除有极少数超过GZK能量的宇宙线粒子到达地球的可能性，而且这种小概率事例的出现完全是随机的，不构成单一的幂律谱，这也与 Auger的观测结果相符。
需要指出，除了在极高能宇宙线GZK截断问题上的应用以外，扩展的洛伦兹-爱因斯坦质量公式还有其它方面的应用。例如，由它推导出一个计算哈勃常数的理论公式，算出近处哈勃常数H0=70.937km/s/Mpc，与2001年以来多数观测值符合的很好[5][6][7]。又如，可以严格证明普朗克能量是一个与观察者无关的不变量，从而使得这个长期作为假设采用的命题找到了理论来源。值得一提的是，新方程预言了一个超越现有理论的未知效应，该效应在电子储存环上引起的一种异常现象是可以进行实验探测的。利用NSRL 800MeV电子储存环进行的初步实验显示，有预期的异常现象存在的迹象[8]，目前正在筹划对这个未知效应做进一步严格的实验验证[9]。
上述应用暨初步的验证进一步增强了我们对扩展的洛伦兹-爱因斯坦质量公式正确性的信心，正因为如此，才有了本文的核心问题：“当一个更完备的能量-动量关系提出之后，狄拉克方程应该如何进行凤凰涅槃般的再造？”更有甚者，由于扩展的洛伦兹-爱因斯坦质量公式指出，当粒子以极限速度即光速运动时其能量只能达到一个有限的最大值而非无穷大，因此必将从根本上消除长期困扰量子场论的发散疑难，既然有这个基础，那么是否有望构筑起无需重整化的、更加“优美”的新量子场论呢？话说到这里，不知读者诸君能否觉察到这是具有何等诱惑力的问题！如果你是一位雄心勃勃的理论物理在读博士或者博士后，正在为寻找引发重大突破的切入点而徘徊，那么就请你接着这篇短文续写下去吧，如果你有足够的物理洞察力和娴熟的数学功底，一定能够借助公式(4)或(5)重写狄拉克方程、甚至再造量子场论！
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