（本系列笔记系阅读文献 "Renormalization and tensor product state in spin chains and lattices" Cirac and Verstraete, J. Phys. A: Math. Theor. 42, 504004 (2009)。）

从上两篇笔记中，可以看到，实空间重整化群得到的态具有矩阵积态的结构。这里，找到最合理的重整化群方案成为关键。一个直接的想法就是，我们采用变分的方式来寻找哈密顿量积态的最佳近似。也就是说，找到能量的观测值：

上面的能量表达式显式的依赖每个A矩阵的选取。一种变分的方法是，固定住所有的（M>2），这样能量函数将变成矩阵元的二次函数。加上所满足的关系：

这样就得到一个二次的约束条件。一旦我们获得了最优的A₂（先不管我们是如何做到的），我们就固定所有其他A矩阵，并对A₃做同样的变分计算，依此类推，直到我们获得A_N。然后我们又反过来，再求A_N-1......。经过来回这样“扫”(Sweep)几遍，我们就可以获得一个很好的变分基态波函数。

这里，随着“扫”的过程，变分能量是越来越低的，所以原则上我们总可以在矩阵积态范围内找到一个最优的波函数。(当然，我们也可能会收敛“陷”在一个local的极小值上，所以我们需要好好选取一个变分的初始态。)

 下面，我们来讨论一下具体如何对每一个A矩阵做变分。在每一步，我们需要将最小化，我们固定住除外所有的A矩阵，并把中的所有的矩阵元收入向量中。这样，我们就可以得到：

事实上，我们还可以进一步简化上面的分母。这里，我们要考虑与上面不同方向的重整化过程，在上面涉及的重整化中，我们是从第一个自旋开始，逐个增加自旋，直至N；如果反过来，从第N个开始，向“1”方向做重整化，是一个列向量。且：

 

若做重整化直至格点1，则可以得到矩阵积态：

 

注意，这里的反向重整化的A定义与正向重整化时是相反的，此处是将和的位置换了。所以：

 此时，可以定义为，于是有。注意，从直观的角度看，A矩阵的左、右矢空间的取法，在两种方向（正、反）的重整化上还是一致的。这样的话，我们就可以混合采用两种重整化方案。当处理M位置上的A矩阵时，从1到M-1采取正方向重整化，从N到M+1采取反方向重整化。这样我们就有：

 

 这样，，问题变成正规的求本征值问题。将方程中最小的本征值和本征矢求解出来，就得到了矩阵。同时，要考虑到A矩阵要满足的规范限制，即：每个列向量都正交归一。于是，做奇异值分解

并取为A矩阵，则可以满足关系。此处XV矩阵被舍弃。如果是反方向的重整化过程，就取为A矩阵，因为要满足。

 注意，这里之所以存在这样简洁的处理方式，与我们采用混合（两个方向）重整化的方式是分不开的。此外，我们还需要存储一些矩阵来维持重整化过程的进行，包括：，，以及从右边向左的，，。这样在定下后就可以继续后面的重整化过程。

事实上，除去几个微小的差别外，上面所描述的过程正是著名的密度矩阵重整化群算法（有限长算法）。这些差别包括：（1）DMRG一次定出两个A矩阵，而此处只定出1个。（2）White通过无限长算法为Sweep过程找到了一个很好的初始的A矩阵。DMRG的原始表达形式是充满直观的，而这里的新形式则强调了他的变分本质。

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