（本系列笔记系阅读文献 "Renormalization and tensor product state in spin chains and lattices" Cirac and Verstraete, J. Phys. A: Math. Theor. 42, 504004 (2009)。）

（I）矩阵积态上的观测值及其抽象表示

在进一步给出怎样得到矩阵积态中矩阵之前，我们可以来看看，在这样的态上，物理量的观测值会具有什么样的形式。

我们来考虑算符,其中每个sig为局域算符，比如自旋某分量的算符。这样的算符在|Psi>上的观测值为：

 注意到上式得特点，我们可以定义：

 

这样，算符的观测值就可以表达为紧凑的形式：

 

 即，观测值本身也是一个矩阵积，注意到，E₁为行向量，E_N为列向量，故上述乘积得到一个实数。

这里，我们特别关心少数算符时的情况。这里，我们定义 ，此时sig为单位算符。波函数的内积就可以写成，这一关系可以如下理解（有点Subtle）：

由于 ，故此后续的E₂乘上去后，就得到：

 

以此类推，就可以得到波函数的归一结果。但是，还有一种更为紧凑的表达，考虑到没个A矩阵都作用在辅助空间alpha,beta等上，如下图所示：

 

将E₁E₂相乘，其效果与下面的表达相同：

以此类推，作用到最右端的E_N：

 这里值得解释一下|alpha,alpha')的含义，因为，E_N为一个列向量，其指标只有alpha,alpha'。所以可以形式上写成狄拉克符号的形式，这个态矢的每个分量为(取完具体表象后)，E₁作为左矢，也是如此,而中间的矩阵就成为作用在辅助空间上的算符。这样紧凑的抽象表达简化了矩阵积态上求观测值的表达，事实上使得计算更加直观。

（II）实空间重整化群

下面我们涉及到一个最直接的重整化群方案，这一方案最早由K.Willson提出。我们所要做的，就是在直积Hilbert空间中截取最低能的d_M个态。考虑哈密顿量中只有局域的最近邻耦合，即

 先考虑两个自旋，我们截取最低的d₂个本征态，其本征能量，此时，低能有效地哈密顿量就可以写成：

这里假设本征态的形式为（通过在直积表象下对角化哈密顿量）：

 

这样就得到了A矩阵的具体表达式，其中psi是矩阵对角化的本征矢量（波函数）。

在做第M步重整化时，由于我们已经得到了（M>2），便可以在直积基底下写出哈密顿量：

 这里，我们需要处理的就是h_M，其余的直至h_M-1都已经在中写好了。考察h_M的表达式，可以知道，我们需要在基底下写出,（已在下写出）。而这一表示是现成的，我们只要考察从M-2到M-1的重整化过程就可以知道：

 

这里，beta及beta'用于挑选出A_{M-1}矩阵中指定的列，前面的A矩阵都求和为1了（类似波函数内积）。

通过上述手续，我们就最终可以得到H_N空间中的一组正交归一基地，他们应该(should)给出完备哈密顿量的低能部分(section)。

但是这一方法（实空间重整化群），在大多数的强关联系统的应用却是失败的。直至密度矩阵重整化群的出现，才将RG成功的应用到了包括自旋模型、费米子模型等强关联系统中。

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