Zmn-1458 薛问天: 陶哲轩的证明不存在任何【缺失及条理欠清晰】，评杨六省《1456》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对杨六省先生的《Zmn-1456》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

陶哲轩的证明不存在任何【缺失及

条理欠清晰】，评杨六省《1456》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，陶哲轩的证明没有错，也不存在任何【缺失及条理欠清晰】。这全是杨六省对于反证法认识的欠缺。

杨先生认为，在反证法的假定中，如果要证明不存在p和q同时为整数，则只有两条路经可行。① 假设 p 为整数，推出 q 不为整数； ② 假设 q 为整数，推出 p 不为整数。杨先生说【陶教授的证明似乎不属于上述任何一种——难道还存在第三条路径？ 笔者认为，第三条路径并不存在。】这种观点显然是错误的，

在反证法中，要证明¬(彐s∈S)[A(s)∧B(s)]，就是在反证法中由假定(彐s∈S)[A(s)∧B(s)]，推出矛盾。杨先生提出的①和②只不过是潜在地用到了如下两个引理来证明这推出矛盾的推理。

引理1，如果证明了对任何s∈S，A(s)→¬B(s)，则可由假定(彐s∈S)[A(s)∧B(s)]，推出矛盾。

证明。这个证明很简单。因为如果对任何s∈S，A(s)→¬B(s)，则对任何s∈S，有A(s)∧B(s)→¬B(s)∧B(s)，由于¬B(s)∧B(s)是个矛盾命题，从而知，可由(彐s∈S)[A(x)∧B(x)]，推出矛盾。

同理可证引理2。

引理2，如果证明了对任何s∈S，B(s)→¬A(s)，则可由假定(彐s∈S)[A(s)∧B(s)]，推出矛盾。

其中令S={s丨s∈RxR而且当s=(p，q)时(p/q)2 = 2}。A(s)=[s=(p，q)中的p∈Z]，B(s)=[s=(p，q)中的q∈Z]。R表示实数，Z表示正整数。(彐s∈S)[A(s)∧B(s)]，就是【有正整数 p，q，使得(p/q)2 = 2】，即√2是有理数。A(s)表示s=(p，q)中p是整数，B(s)表示s=(p，q)中q是整数。对任何s∈S，A(s)→¬B(s)，就是①，对任何s∈S，B(s)→¬A(s)，就是②。所以说杨先生认为【第三条路径并不存在。】是错误的 。当然在反证法的证明中存在第三种路经。这第三种路经就是不用引理1和2，而是③由假设【存在p是整数∧q是整数】直接推出矛盾。证明中完全可以不用引理1和2而直接证明。

实陈上陶哲轩的证明就是用的第三种路径③，证明中所说的【假设有正整数 p，q，使得......】，就是假设【存在p和q都是整数使该条件成立】，然后在假定p和q都是整数的条件下推出p不是奇数而是偶数。然后又在p是偶数的条件下推出p可无限减小，从而推出矛盾。即是在没有用引理的情况下，直接由(彐s∈S)[A(s)∧B(s)]推出矛盾。证明了【不存在p和q都是整数使该条件成立】。从而陶哲轩的证明没有错，不存在任何【缺失及条理欠清晰】。杨六省所说的【证明中涉及“p为整数”与“q为整数”两个假设，语言表述有先后，不可能同时加以处理；若先用其一、再用其二，必引发矛盾。】讲的毫无道理，在语言表述上有先有后，但在逻辑上完全可以构成一个复合命题，可以同时加以排除和否定处理，不会引起任何矛盾。对于复合命题【通过排除法来定位矛盾的真实根源】毫无困难。要知道对反证法的假定【存在p和q都是整数使该条件成立】这个复合命题的否定就是【不存在p和q都是整数使该条件成立】，就是断言：【这个矛盾表明我们不能有一个比例数 x 使得 x²=2】。在逻辑上非常清晰，绝不会【使后续矛盾归因陷入困境】，【造成了读者的疑惑】。关键是认清你所排除和否定的是反证法假定是个复合命题。

二，杨先生所推荐的证明，只是该定理的一种证明。

杨先生要认清这个道理，同一个定理可以用不同方法证明。这些证明可以都是正确的有效的。【√2不是有理数】这个定理有各种正确的证明，不仅仅只有一种。也就是说用①，②或③的不同方法来证明定理都是正确的。杨先生所极力推荐的证明，用的是在【不妨固定 q 为整数】的情况下【证明 p 不为整数】，用的是方法②。实际上是潜在地用了引理2在推理，当然是正确的。至于中国科学院院士张景中先生和章飞 先生给予的肯定也很自然，但並没有说正确有效的证明只有这一种。

要知道该定理完全还可以用①来证明。用的是在【不妨固定p为整数】的情况下【证明q不为整数】。这也很方便，要证明q不为整数，只要在假设q为整数的情况下推出矛盾就可。这在p是奇数下可推出矛盾，在p是偶数下也可推出矛盾，所以可证q不为整数 。潜在地用了引理1，即可证明定理。

我前面己说清可以不用①和②，可用③在假定【p和q都是整数】的情况下直接推出矛盾，即陶哲轩的证明，也是正确有效的证明。这些都是正确有效的证明。

三，杨六省认为【现今广为流传的证明方法】是错误的，这个评论是完全错误的。

杨先生说这种证明方法【错误地引入“互质”或“最简分数”概念】，【其根本性错误是把要证明的“√2 不是分数”改为“√2 不是最简分数”——“√2 是分数”是假命题，而“√2 是最简分数”则根本就不是命题，因为它无真假——这是偷换论题，无可救药，所以该证明方法必须被废止！】

杨先生的论断是错误的，错误在于对有无存在量词没有真正的理解，【√2是有理数】按照定义它的含义是【存在着p和q是整数，使(p/q)2=2】，它的意思是【√2能表示为分数】，它等价于【存在着p和q互质的整数，使(p/q)2=2】，它的意思是【√2能表示为最简分数】。因而並不是【把要证明的“√2 不是分数”改为“√2 不是最简分数”】。而是【要证明的“√2 不能表示为分数”改为“√2 不能表示为最简分数”】。也就是说【分数】和【最简分数】是种属不同的概念。说某数【是分数】和【是最简分数】並不等价，但【能表示为分数】同【能表示为最筒分数】在数学上可以证明是完全等价的。这个证明很筒单，如果分数不是最简分数，分子分分母除上公因子，就变成最简分数了。你能说“√2 不能表示为最简分数”不是有真假值的命题吗？杨先生，在这里你不可能蒙混过关，你必须明确回答，你承认不承认这个数学真理。

关于杨先生的这个错误，我们《专栏》己多次指出。但杨先生既反驳不了，没有提出任何反驳意见，但又始终不改，直到现在还一直在坚持他的错误，这就不对了，你想不通可以把你的理由讲出来，这种不予理采也不接收的态度是不好的。

要知道我们追求的不仅是【历史叙事必须求真】，最重要的是【数学理论必须求真】。不能把【能表示为分数】同【能表示为最筒分数】这个数学上早已严格证明了的等价的【有理数定义】说成是不等价的【种属】关系。也不能把正确的证明说成是【必须予以撤换】的错误的证明。要追求数学理论的真理。既然期待的是【真知灼见】，就要【共同探讨】，而不是对别人的批评不与理采，始终坚持错误不改。而是要把你认为正确的道理讲出来。讲不出来反驳的理由就要认错。

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