微积分与分析哲学的起步

     《数学分析》这门专业课程以微积分为主体内容，与《高等数学》不同的是它不仅有微积分基本定理和极限论，它还阐释实数理论并以之为微积分理论的基础。也就是说实数理论能够解释微积分中的一切，这让我想起西方现代分析哲学的一个观点，即“数学命题是分析命题。”我对这个数学哲学观点持怀疑的态度，因为实数理论并非微积分创立之初就有了的，在创立者牛顿莱布尼茨那里，微积分是以综合(微分与积分的互逆)的方式出场的；还有一点，从实数理论能分析出微积分命题的逻辑可以这么表述：实数理论由于内部矛盾(那几条等价的公理)，微分与积分的对立是矛盾统一的表象。这是黑格尔的逻辑观，黑格尔有“历史与逻辑统一”的观点，这一点在《数学分析》里就明显违反了，它是一个诘难。

      分析哲学与现象学运动是二十世纪西方现代哲学革命的两个组成部分，我这里选择赵敦华教授的《现代西方哲学新编》中分析哲学前期代表人物弗雷格和罗素的哲学来讨论。“早期分析哲学是在布尔代数、集合论和数理逻辑兴起的背景中，运用形式逻辑的方法进行语言分析，其目的或者是澄清科学语言，为数学和现代科学奠基…或者是排拒形而上学。”

在分析哲学发展早期微积分是不完善的，其语言也是混乱不堪，据我的理解这与微积分中的形而上学(单子论)有关，分析哲学既要“排拒形而上学 ”又要“澄清科学语言，为数学和现代科学奠基 ”，这在我看来是不可能的，接下来我们来看两位分析哲学家怎么做。

一 弗雷格的算术逻辑

      弗雷格(1848-1925)是德国耶拿大学数学教授，《新编》一书称“他可以说是逻辑学界的康德。”弗雷格对数学的逻辑贡献真的具有革命性吗？

        《概念文字》的副标题是：“一种摹仿算术语言构造的纯思维的形式语言。”这种形式语言采用的最重要的数学符号是函数符号。y=f(x),当x是“苏格拉底”时，“y=x是人”的函项值便成为“苏格拉底是人”。算术的形式语言缺少逻辑联结词，为了克服这一缺陷，弗雷格把自然语言的联结词(和，或者)形式化为逻辑联词符号(合取，析取)，用联词符号的命题函项有确定的真值：或者正确，或者错误。

        以上是我从《新编》中了解到的弗雷格关于“命题函项”的大致内容。我曾经对数理逻辑的开创者之弗雷格有一个猜测，就是作为数学教授他的这些数理逻辑符号化的思想跟微积分的语言表达有关：一个命题函项的正值为1(正确)或0(错误)，这跟极限的结果是一个数(如导数，定积分)有相似之处。前者是计算机的逻辑后者是数学的逻辑，其实二者区别很大，一段话表达的丰富内涵用“真”和“假”就能概括？如果说以往的数理逻辑思想推动了计算机理论的发展，那么未来的人工智能需要的数学逻辑则需超越这种是非分明的符号化思维。

       微积分中有微积分基本定理和微积分基本公式，类似弗雷格举例的“那棵树绿叶茂盛”和“毕达哥拉斯定理”，弗雷格说：“必须区别两类不同的形式：一是对思想的表达，二是断定。句子中包含的时间规定只属于对思想的表达，而在直陈句形式中得到承认的真却是永恒的。”弗雷格的研究显然是后者(断定)，所以对于“数学思想是如何表达的？”这样的数学内在逻辑问题，这位大学数学教授没有能够深入进去，微积分思想的语言表达在当时是数学前沿问题，魏尔斯特拉斯这位中学数学老师在这个问题上有公认的历史性贡献。

       弗雷格作为数学教授他举例说明用的例子跟他的职业似乎很不相称，我并没有看到近代数学(比如微积分)中的命题及其分析，只看到“2+2=4”。《新编》说弗雷格“揭示出对象、语言、思想和真值之间的关系，建构了讨论意义问题的基本框架。”这些似乎是《离散数学》中有关的问题，远远偏离了我们对数学逻辑的认识目标。

二 罗素与集合论“悖论”

       罗素对莱布尼茨哲学有深入研究，但他获得的认识是否定性的，就是他没有认识到莱布尼茨哲学(特别是单子论)对于微积分的真正价值，反而另起炉灶提出“外在关系说”。“3大于2”是解释这种学说所列举的例子，这样的例子与高等数学没啥关系，分析哲学的发展只能建立在初等数学(小学算术)之上？有没有以高等数学为基础的哲学分析？

       罗素提出的“集合论悖论”需要讨论一下，问题起因于弗雷格用集合定义自然数，其中用到“与自身相等同的集合的集合”和“与自身不想等的集合的集合”，罗素提出：这个“与自身不想等的集合的集合”，这一集合与自身相等同，还是不与自身相等同呢？

        “用集合定义自然数”在我看来是多此一举，何况还是用“与自身不想等的集合的集合”这样模糊的东西来说明清楚明白的自然数，结果导致的矛盾当然就没法说清楚了。有一个说法是“集合是数学中最原始的”，因而集合应该能解释数学中的所有对象，我对此存疑。这牵涉到数学哲学的根本问题，就是数学的本原是什么？是集合吗？我以为“数学的本原是数。”

       我曾用哲学家康德的“经验性直观对象”来概括集合并揭示了“集合论悖论”的原因，罗素举例：“所有克里特人都是说谎者，那么，他这位克里特人说的是真话还是谎言？”似乎解释了这一点。“所有克里特人都是说谎者”这话应该是一个外来者进入克里特这个地方发现的一个奇怪的事情，正如“经验性直观对象”有一个主体外在于该对象。所以集合是人类主体看到或认识对象的一个划定，集合不能把数学思维的主体囊括进去，总之集合不是数学的本原，历史也说明了这一点，因为集合论出现在二十世纪初，那时现代数学已步入成熟阶段。

       罗素后来还提出“逻辑原子主义”，不过又放弃了，“他于1920年在北京大学发表了《心的分析》的演讲，后来又发表《物的分析》一书。”心与物的问题我认为与微积分有关，重要的是身心关系问题，我曾提出猜想：笛卡尔坐标系的哲学是笛卡尔的“身心交感论”。

三 中国的哲学分析方向

       分析哲学作为二十世纪西方哲学革命的重要部分，现在我们看起来难免让人失望，分析哲学对我们现在研究数学哲学很难说有什么启发，我曾提出一个课题：

      微积分基本公式、极限理论和实数理论三者统一在《数学分析》这门课程中，不知哲学是否有一个理论，把笛卡尔的“我思故我在”、莱布尼茨和康德的统觉理论以及《存在与时间》综合为一门《哲学分析》的课程。

       我把这个课题作为数学向哲学提出的问题，哲学对此的回答也许是中国的哲学分析前进的方向。

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