非理性主义与微积分

     数学中的微积分一般认为是理性的产物，特别是我们现在在教材上看到的那些严谨的语言和抽象的符号所表达的。理性的背后或者基础有非理性的因素，如人的想象力、自由探索的创造力和意志等，探索微积分背后的非理性主义我选择西方现代哲学的初期。本文的相关素材大多根据赵敦华教授的《现代西方哲学新编》一书的第一章，非理性主义哲学家代表是叔本华、尼采、克尔凯郭尔和柏格森，他们“都认为只是通过自我的生命体验，人才接近真实的实在。”

       微积分是一种抽象理智的形式，熟悉微积分的我怎么能接近其真实存在呢？只有“通过自我的生命体验”。我在这里选取了叔本华和柏格森的哲学来作尝试。

一 叔本华与微积分的意志

       “世界是我的表象”，因为“一切的一切…都不可避免地带有以主体为条件的性质，并且也仅仅只是为主体而存在。”微积分中带有主体能动性的对象是函数，函数把两个数结合体现了综合的思维，而微积分的基本公式解释了微分与积分对立统一的关系，这是巧合还是因为函数主体的结果表象？

      叔本华提出“充足理由律的四重根”，充足条件律也是微积分的逻辑形式，二者应可同日而语。

     (1)“关于生成的充足理由律”，人们按照因果律认知对象在空间中的生成变化。基本初等函数有幂函数、指数函数和三角函数等，它们并非一开始就是y=f(x)的形式，而首先是一些公式，如二项式定理和纷杂繁琐的正弦余弦公式，这些公式是数学家对事物数量的因果关系在空间中生成变化的经验总结。

       (2)“关于知识的充足理由律”，这是逻辑学的理性。连续函数是可积的，其积分函数又是可微的。这些命题体现了微积分中的充分条件。

       (3)“关于存在的充足理由律”，物质在时空中被表象为个别物体，它们存在的依据在于数学规则，因此人所表象的存在是有形的(几何形状)和连续的(算术计算)。时间与空间的数与形关系在这位哲学家的认识中出现了。

      (4)“关于意志主体的充足理由律”，身体行动遵循主体的“动机律”。微积分的主体是连续函数，其“身体”就是函数的微分和积分等形式，后者反映了什么样的“动机”呢？

       叔本华的哲学以意志主义为特点，“知性…把那迟钝的、无所意谓的感觉转变为直观”，就是说，任何行动主体都能够直观地领悟到它的动机的原因——意志。“唯有意志是自在之物”，理由是：“意志本身在本质上是没有任何目的、没有止境的，它是一个无尽的追求。”

       连续函数直观地看是一条曲线，这一结果是人类知性对现象的直观领悟，这一知性动机的“意志”是什么？也就是微积分的意志问题。柏格森说意志的“自在之物”属性提示我们微积分的意志是定积分，因为它本身就是微积分追求的目的。

      叔本华的意志主义本体论在人生哲学上有新的解释，数学与人生也是中国现代重要数学家的思想折射。“人不能摆脱悲观主义的命运，个性越显著，则欲望越强烈，痛苦越深刻。”这让我想起了华罗庚，我曾说他是一位“悲剧英雄”；叔本华认为：“悲剧是文学的最高形式，悲剧英雄在感受意志与其自身的冲突之后否定了意志，遗弃了自我。”我想华罗庚思想中的意志与哥德巴赫猜想有关，他带领的数学家在这个问题上取得的结果具有否定性，华罗庚的自我也沉淀在(1，1)问题里。

      数学与音乐有关，在意志主义哲学家这里，音乐是“全部意志的直接客观化的写照，犹如世界自身”，以旋律作为时间形式再现了意志，谐音的起伏变化表现了意志的斗争和挣扎。在创造和欣赏艺术时，“人自失于对象之中，也就是说，人们忘记了他的个性，忘记了他的意志”。

      我认为华罗庚的一生体现了一种“数”的精神，数的精神也能出现在音乐中，西方文学中有一部独特的音乐小说——《约翰克利斯朵夫》，小说主人公的个性强烈与华罗庚的性格颇为相似。我曾想用这部小说名著来描述华罗庚的灵魂，这项工作是有意义的，西方第一位数学家兼哲学家毕达哥拉斯就曾在音乐中发现了数的关系进而提出“数是万物本原”的思想，这样的数学哲学思想只在两千年后的莱布尼茨那里同样出现过。

      从微积分到意志主义哲学再到华罗庚与音乐，这并非“走马观花”，比如华罗庚与微积分在我看来有重要关系，提出这一说法恐怕人们会笑掉大牙了，但哲学上有这个可能性。西方近代数学以微积分为标志，华罗庚又被称为“中国现代数学之父”，华罗庚等的数学意志是否可归纳为想在中国重建微积分的现代数学形式呢？这是中国数学发展之道，因为微积分的思想在现代数学中反复出现。诸位没有发现笛卡尔坐标系(x,y)与那个(1，1)问题在形式上很像吗？

       从事高等数学(微积分)教育的我等数学老师正是通过对华罗庚等数学家生命的某种体验来接近数学真实的。

二 微积分的自由意志与柏格森

      微积分里有“自由意志”的问题，命题“任一连续函数在闭区间里有界”就是自由意志的一个例子。生命哲学提出者柏格森有著作《时间与自由意志》，时间在微积分中理解为实数，自由意志又是连续函数的样式。“如果说，直线是时间的形式，那么意识材料就是充实这条直线上前后持续的点的内容，因此构成了过去、现在和将来的意识状态。”由此看来，连续函数是意识的材料，什么意识呢？是绵延。“意识的这种绵延状态就是时间之流。”柏格森区分两种时间，认为：绵延是真正的时间，而用直线想象时间是时钟的计数时间。在微积分看来，“绵延”与“计数时间”的不同就是连续函数与实数所对应的不同。

      根据在网上搜到的资料，柏格森知晓微积分，“根据微积分［无穷小］分析，科学可以符号化地建立绵延。”印证了上文我把绵延理解为连续函数。柏格森还将微积分称为“人类心智可用的最强大的研究方法”，因其从运动与时间的具象实在中汲取力量。

       时空观在十八世纪的德国哲学家康德那里有专门论述，不过只是在感性论里对它们进行讨论，但连续函数这一绵延的时间形式具有主体能动性，属于先验逻辑的对象。柏格森说康德“混淆了物理时间和绵延的差别，结果造成关于决定论与自由意志的二律背反。”微积分的意志是定积分，是决定论的结果，把它跟体现自由意志的连续函数的关系说成是“二律背反”有道理，微积分中连续函数与可积函数的要求是难以说清楚的。

      连续函数这一“绵延的意识状态如何产生对外部世界的认识？”“身体与心灵…这些对立的综合需要一个中介，这个中介就是柏格森所说的形象。”连续函数的图像——笛卡尔坐标系中的一条曲线，就是意识认识外界的形象。

       柏格森有《创造进化论》的学说，“没有已造成的事物，只有正在创造的事物；没有自我保持的状态，只有正在变化的状态”，“一切都在不断生成，而生成本身即是实体…有的只是运动，生命的稳定性即由运动构成”。微积分是关于运动变化的学说，它的创造与进化在数学的发展里是事实，那么现代数学中也有“自由意志”的问题？

        柏格森批评康德，因为：理智直观之所以可能，在于它是对事物本身(即康德说的物自体)的直觉，“使自身处于运动的东西中并把握了事物的生命本身。”数学理性形式背后的非理性认识其实也是理智直观，我们也认为它是可能的，微积分中的柯西判别法是对函数“自由意志”的判定，现代数学中有关于数的“自由意志”法则吗？我找到了一个，就是数学家张益唐关于相邻素数间距的判断。如果现代数学真的能与哲学共同发展，那么就有“一种真正的直觉哲学”，它“能实现人们渴望已久的这种形而上学与科学的统一。”

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