博文
揭开相对论的“尺缩”、“钟慢”之迷
||
揭开相对论的“尺缩”、“钟慢”之迷
根据相对论的Lorentz 变换公式得到的两惯性系间在空间和时间相互观测上的“尺缩”、“钟慢”效应，是自相对论诞生之日起就一直在各国相对论学者之间讨论的问题。特别是“两钟之谜”，又称“时钟佯谬（clock paradox）”或“孪生子佯谬（twin paradox）”，多年来解法殊途，答案玄异，参考文献颇多[1]—[6]。
谜是这样说的：两个同样的理想标准钟在一起校对好后，相互等速运动彼此分开（不必由第三者来判定那个走，那个不走）。根据相对论相互间对时间观测得到的关系式，两个钟旁边的观测者都认为自家的系统是静止的，而发现对方等速运动的钟变慢。然而当相对等速运动停止后，两钟又回到同一个系统内来了，究竟是哪一个钟真慢了呢？如果将两钟比作一对孪生兄弟，其中一位乘接近光速飞船遨游太空，那么当他们重新见面时哪一个会变得更年轻些呢？
这个问题所以成为谜，就在于所有的相对运动都必然是两系统间的相互相对事情，不仅在相互等速运动坐标系统里是这样，即使考虑到两钟的开步和立定以至转头，也不好将其必不可少的加速度就现实人为的动力授受区别，凭所谓“物理条件”来判定两钟的主客之分。这涉及广义相对论的核心，根据等效原理，加速度也必然是时空舞台上两系统间相互相对的事情，重力场和一所封闭而加速行进的实验室是等效的，所以两钟都可自认定是在“等效的重力场”中来看对方。你如何看待我，得出什么结论；我也可以同样看待你，得出同样结论。一般相对论著作及文献都脱离上述的相互相对本质（而这正是相对论的精髓），片面地（而不是对称地），研究这问题。如果撇开这 “谜”应全部相互相对称的原题本意，不惜引进“加速度”和“动力授受”的物理条件，这不仅无助于解开这谜，而且极易由形式逻辑得出一些形而上学的可笑论断，如“天上方一日，人世已千年”之类的荒唐结论。这谜涉及相对论的根本，必须从正确认识相对论的时间和空间的基本观念和相互观测时产生的“钟慢”、“尺缩”效应入手。
在《相对论研究进展——隐埋半个世纪的相对论研究》[7]一书中对这个问题作了十分详尽精辟的分析，从而揭开了“钟慢”、“尺缩”之迷。感兴趣者可仔细阅读。
时间和空间是物质存在和运动的形式，也是物理数量的基本量纲。任何一个事物都不会在时间或空间上停留下来，都是理想、均匀地渡着时间，也同样渡着空间；这就是事物客观存在的固有时间（proper time）和固有空间（proper space）。怎样体会、认识时间和空间并用最满意的科学方法表达、测量时间数量和空间数量是物理学研究的基础问题。显而易见，空间的被认识和客观存在是直接结合的现实行为；时间的被认识虽然和客观存在也是直接结合，但其现实行为颇欠明显，因为时间走过后便一去不复回，因此任何一个理想中的标准钟都不如一根理想的标准尺那样现实有据可靠，可以反复校对。
如果每个坐标系统内随时随处安排有标准尺，可以无拘束地测量属于它的空间数量，尺相对该坐标系是静止的，那么测读的空间数量就是固有空间数量。如果尺相对坐标系统运动着，这时测读出的空间数量与其固有空间数量就有区别，这是经典物理学未深入认识的问题。同样，理想均匀时间的数量是对一个固定点上先后发生的事件的时间间隔而言，称为“固有时”。如果一个坐标系统内的全部固定点都安上校准好的永恒走着的标准钟，各点就有了同样的固有时，如果作为观测坐标系统，它们也可称为这个观测坐标系统的“坐标时”。客观真实存在的物理学定律是由表现此定律的个体或组合的固有时间数量和固有空间数量来表达的。但是，定律的被认识和确定难免要凭借观测实验者各自不同观测坐标系统中的时空数量来描述，对表现此定律的个体或组合而言，后者就称为观测坐标时间数量和观测坐标空间数量。由于相互运动，两种坐标时间空间数量在相互认识和被认识之间总难做到完全一致。例如，对两个相互运动着的坐标系统，一个坐标系统内的某一固定点上先后发生的两个事件，在另一个坐标系统看来就先后发生在两个不同的地点上，这时对时间间隔的测量必须借助空间数量来协助，这同样也是经典物理学未深入认识到的问题。经典物理学否认时空与运动有关，它不分固有时空数量和观测时空数量的区别，对两个相互等速运动的标准钟或标准尺始终未深入注意到难以相互准确互校的事实。相对论对此作了重要突破，它指出不存在与运动无关的绝对时间和绝对空间，寻求了两种固有时空坐标数量在相互认识和被认识之间无法一致的关系，称主动去认识的为观测坐标时空数量。
设两惯性系S（x,t）和S´（x´,t´）沿直线（x轴）相互等速离开。在自认为静止的S系中观测S´系的运动速度为v，光速为c。现在考虑S´系中固定点 x´上的标准钟先后指读的两个时间 t´1和t´2，其间隔就是S´系中经历的固有时间间隔△τ´ = t´2 - t´1 。因为S´系在S系看来是以速度v运动着，S´系中固定点x´上先后发生的两个事件，在观测坐标系S看来是先后发生在不同地点上的，因而必须借助于S系上不同地点x1和x2安置好的标准钟来测读，测读出的时间间隔为△t = t2 - t1 。根据Lorentz 变换公式可以得到：
△τ´=(1–v2/c2 )½△t （1）
同样地，S系中固定点x上的标准钟先后指读的两个时间t1和t2，其间隔为S系中经历的固有时间间隔△τ = t2– t1。现在用观测坐标系S´中的坐标时（t´2 ，t´1）来测读，测读出为△t´= t´2–t´1。根据Lorentz 变换公式同样有：
△τ=(1–v´2/c2 )½△t´ （2）
（1）式和（2）式完全对称地给出S´系、S系中两个客观经历的固有时间间隔△τ´、△τ和S系、S´系作为观测坐标系时测读出对方的时间间隔 △t、△t´之间的关系。这两个方程式中左右两边的时间，虽然都是各自坐标系中的时间量度，但是因为右边的时间是作为观测坐标系统测读出的，所以也把它称为坐标时。“钟慢效应”或“运动的钟比静止的钟走得慢”，是指方程式右边观测坐标系中测读出的时间间隔（坐标时）△t、△t´大于左边客观经历的固有时间间隔（固有时）△τ´、△τ。这当然是对的，但这是一种相当含糊的说法。事物经历的固有时间是不会变快变慢的，它们都是理想均匀地客观上即地即时存在和消逝的。那运动的钟自身有一个坐标系统，在其中钟是固定不动的，自自在在地体验以至表达它的理想均匀的固有时。静止观测坐标系中的坐标时当然也如此。所谓“变慢”的说法，是静的去看动的，看到的是对方客观经历的“往时”，至多是对方的“现时”。也就是说，两个钟旁的观测者相互电告对钟，各人都会发现，例如，我三点钟时正看到你的钟是二点。但是当两个钟停止相互运动，回到同一系统内后，两个钟的时间都应是各自客观经历的固有时△τ´和△τ；而相对运动停止前，双方互被测读出的时间△t和△t´都是“往时”。各自都认为对方钟变慢，对方变年轻，仅仅是相互认识之间的关系，说明人的主观认识在反映客观真实存在时表现出的无可奈何的不足。
谜的根源在于：对上述两个客观经历的固有时间间隔△τ´、△τ和两个作为观测坐标系时测读出对方的时间间隔 △t、△t´，这四个时间数量，相对论只给出两个交叉关系，即（1）式的△τ´与△t之间的关系和（2）式的△τ与△t´之间的关系，从中无法看清两个固有时间数量△τ´和△τ之间，以及两个测读对方的时间数量△t和△t´之间的关系。不可以简单地认为，同一时刻一个系统自身客观经历的固有时△τ´（或△τ）和其主观去观测对方而测读出的坐标时△t´（或△t）一定相同。因为如果认定，△τ=△t，则从（1）和（2）两式可以推出 △τ´=(1–v2/c2)½(1–v´2/c2)½△t´≠△t´与△τ´=△t´相矛盾。 同样，如果认定△τ´=△t´，则从（2）和（1）两式可以推出△τ=(1– v2/c2)½(1–v´2/c2)½△t≠△t 与
△τ= △t 相矛盾。这就是“谜”之所在。
对空间，S系考虑自身静止，S´系相对它以等速v沿x轴方向运动，则根据Lorentz 变换公式，S´系中沿运动方向固有长度（如一根标准尺、一节车厢长度）△l´= x´2–x´1，用观测坐标系统S的空间坐标 △x = x2–x1 拘束着“同时（t2 = t1）”测读出都缩短了，其关系为：
△l´= x´2–x´1 = (1– v2/c2 )–½ △x （3）
对称地，S´系考虑自身静止，S系相对它以速度v´ 沿x轴方向运动，根据Lorentz 变换公式，S系中沿运动方向固有长度△l = x2–x1 ，用观测坐标系统S´的空间坐标△x´ = x´2–x´1拘束着“同时（t´2 = t´1）”来测读时有：
△l = x2 – x1 = (1– v´2/c2 )–½ △x´ （4）
（3）、（4）二式对称地给出两个客观存在的固有空间长度△l´、△l和两个作为观测坐标系测读出对方的观测长度△x、△x´之间的关系。“尺缩效应”，是指两等式右边的观测长度△x（或△x´）小于左边的固有长度△l´（或△l）。同样要注意的是，固有空间数量也是不会伸长缩短的，所谓“缩短”，是用观测坐标系统内的空间数量拘束着“同时”去测读运动着的空间数量，测得的长度就无可奈何地变短了。同样，不可以随便认为，任一时刻一个惯性系中自身一段固有长度△l´（或△l）和主动观测对方测读出的长度△x´（或△x）一定相等。因为如果认定S´系中有△l´= △x´和S系中有△l = △x，那么从（3）、（4）两式可以机械地推出△l´=(1–v2/c2)–½(1– v´2/c2)–½△x´≠△x´ 和△l=(1–v2/c2)–½ (1–v´2/c2)–½△x≠△x与它们矛盾。这也是一个与“两钟之谜”类似的“两尺之谜”。但是为什么从未有人提出过“两尺之谜”呢？显然，人们对空间的认识较对时间更具体现实，尺是实物，相互认识和被认识上的缩短是容易被接受的，当 S 和S´两系统间的相对运动停止，两尺又回到同一个系统中来，无人相信一根客观实体的尺会因为有过一段等速运动的历史而真的缩短了。而钟的走出和人渡着的时间却是理想均匀消逝的，过了就算过去了，一去不复返，不像一根尺可以反复查校。所以人们很容易怀疑运动和静止的时钟真有变快变慢之别，两两校核，对不上头。这也就是为什么人们只热衷于设计试图证明“钟慢效应”的实验，而没有设计证明“尺缩效应”的实验。
依上分析，相对论中的“钟慢”、“尺缩”公式给出的仅是两个相互等速运动惯性系S和S´中，客观存在的固有时间（空间）数量△τ´、△τ（△l´、△l）和其主动地去观测认识对方测读出的观测时间（空间）数量△t、△t´（△x、 △x´）之间在认识上的关系。事物客观经历的“固有时间”是不会变慢变快的；同样，客观存在的“固有空间”也是不会伸长缩短的。其间有“谜”得以成立，是因为还没有现成的公式给出两个惯性系中的两个“固有时间数量”△τ´与△τ之间以及两个“固有空间数量”△l´与△l之间的关系，或者作为观测坐标系统测读出的两套“观测时间数量”△t与△t´之间以及“观测空间数量”△x与△x´之间的关系。为了补足这其余的四个关系，在《相对论研究进展——隐埋半个世纪的相对论研究》[7]一书中严格证明了：随时随处两个相互等速运动惯性系中，各自客观存在的两个固有时间数量和两个固有空间数量分别相等，即△τ´= △τ，△l´ = △l ；同样，主动地去观测认识对方，相互测读出的两个观测时间数量和两个观测空间数量也分别相等，即△t =△t´， △x =△x´ ；从而彻底揭开了在相对论自洽性讨论中一直存在着的这个谜。对此仍有疑问读者可以进一步阅读该书中对此问题详细的分析和数学推导，从中彻底解除疑惑。
总之，所谓“时钟佯谬（clock paradox）”的结论十分清楚：相互等速运动分开的两钟， 随时随处各自客观经历的两个固有时相等△τ´= △τ，相互观测对方测读出的两个坐标时也相等△t =△t´。何“谜”之有？一对孪生兄弟，其中一位乘坐接近光速飞行飞船遨游太空后回来，两人重新相遇，各人年龄应是各自客观经历度过的固有时△τ´= △τ ，谁也不会变得更年青。当两人之间的相对运动未停止前，双方互相被观测认识而测读出相等的坐标时 △t =△t´ 应该都是对方相等的“往时”，所以在相互认识上都会觉得对方显得年青些。显然，两人停止相互运动的瞬间会有一个彼此相等而未能被对方测读出的“失踪时段”：（△τ–△t）=（△τ´–△t'）。如果撇开这“谜”应全部相对称的原题本意，在这“失踪时段”上大做文章，不惜引进“加速度”和“动力授受”，必然违背相对论基本原理得到一些形而上学的可笑论断。
参考文献
[1] C. Mɸller， The Theory of Relativity, [M]. London : Oxford University Press., 1952 ,258-263
[2] H. Dingle, [J].Nature, 1962 ,195: 985
[3] H. Lass, [J].Am. J. Phys. ,1963, 31: 274
[4] L. Marder , Time and the Space-Traveller [M]. London : Allen＆Vnwin. ,1971
[5] R. A. Muller, [J]. Am. J. Phys. 1972,40: 966
[6]钱尚武，关于时钟佯谬 [J].大学物理1982, 1(7): 4-4.
[7]董俊，董纳，《相对论研究进展——隐埋半个世纪的相对论研究》[M]. 英国 环球出版 社， 2025，49—56
该书在国内京东、淘宝、微信小店等平台上有售：
1. 京东:
2. 淘宝：
https://item.taobao.com/item.htm?ft=t&id=1012109824568
3.微信：
https://store.weixin.qq.com/shop/a/McoXiSEWYzrVUpI
https://blog.sciencenet.cn/blog-3349446-1528173.html
上一篇：正确认识“惯性坐标系统”
