五、双4维时空中的波动方程

   正统量子力学中波函数Ψ与其本征态Ψ_n之间的关系是

Ψ=ΣC_nΨ_n

双4维复时空W(x，k)中，描述物质波波函数采用复空间维格纳复变函数方法有^{[21 ][22 ]} 

                            Ψ=Aе^iωt ＝Aе^-ixμkμ                         

而且                       A(x, k)=ΣC_n A_n(x, k)                  （7）                                                                                     

定态情况下，A(x,k)仅与三维空间坐标x_μ和三维曲率坐标k_μ有关。μ=1,2,3.

若H(x,k)为经典哈密顿量，得到双4维中经典微分方程

                             H(x,k)﹡A(x,k)=EA(x,k)             （8）

若H(x,k)为相对论哈密顿量，得到双4维相对论波动方程                 

                             H(x,k)﹡A(x,k)=E A(x,k)             （9）

星号乘﹡波动方程与薛定谔方程、路径积分方程有等价关联。但形式上不能相互转化。

六、双4维时空中量子概率起源

1、威格纳变换：

式（6）Ψ（x,k）中振幅A(x,k)有变换关系式：

                                 (10)

                               (11)   

对上两公式分别进行积分运算，可以讨论量子概率的起源。

2、物质密度表象:  物质波Ψ（x,k）映射到虚部k空间，得到曲率k表象波函数Φ(k)。

                         Φ(k) =[ʃ^∞_-∞ A(x,k)dx]^1/2                      

Φ(k)体现位置x处微观客体对应的物质密度分布，其值为              

                         η(k)=|Φ(k)|² =ʃ^∞_-∞ A(x,k)dx

不测量，不可直接观察。

3、位置表象: 物质波Ψ（x,k）映射到实部空间，得到位置表象波函数Ψ（x），概率幅

                             Ψ（x）= [ʃ^∞_-∞ A(x,k)dk]^1/2             

在x处微观客体位置不可确定，概率为

                             ρ(x) =|Ψ（x）|²= ʃ^∞_-∞ A(x,k)dk

不测量，同样不可直接观察。

4、ψ(x)与Φ(k)傅里叶变换再认识

             ψ(x) ＝(2πħ)^(-1/2)ʃ^∞_-∞ Φ(k)exp(ikx)d(ħk)               (12)

             Φ(k) ＝(2πħ)^(-1/2)ʃ^∞_-∞ ψ(x)exp(ikx)d(x)                (13)

式(12)(13)为场物质密度、概率密度分布表象变换。

     场物质密度分布是量子概率产生之源。物质密度分布无穷大，是点粒子，位置被确定；物质密度分布为0，全空间分布，位置完全不确定。量子概率来源于微观客体空间分布和质量密度分布，它是完全客观的。这就是双4维时空中的测不准原理^[19][20]。    

5、量子概率与经典概率的本质区别

量子概率起源于微观客体内部物质密度的空间分布，产生机制完全不同于经典热力学概率（分子热运动）和经典统计概率（合格率、天气预报等）。

6、量子世界是客观的。

双4维中，由复空间W(x,k)描述微观量子现象，可消除量子现象对人的主观依赖性。量子世界是客观的^[19][20]。

7、两个世界: 一个宏观，一个微观。微观双4维时空具有概率属性，量子测量通过相互作用发生物理时空、物理模型转换，将W(x,k)中位置不确定性属性转化为三维或四维时空中点粒子概率运动，而传统量子计算方法不变。测量实现了：物质告诉时空如何具有概率属性，时空告诉物质如何作概率运动。