序：须知，视透实轴结构是利于理解数学的，终身有益。

至少可说，近代以来每个知识分子都被“无穷”这个曾经视为神居住的地方继续阻遏着视野，充分希望能早日视透迷雾。

那么，现在沿着康托尔开创的路子，已能（思辨性）看透“实数集”的结构本质了，这时包括学术和生活中都给人们带来了清爽。

于是自然想到，从此应该让后来的学生们尽早澄清对“实数集”结构的认识，以摆脱“无穷”迷雾的困扰，其意义已是不言而喻的了。

这就是提出本建议的动机。具体想法是，

建议在高等数学中，第一课用来讲“实轴结构”，只介绍知识（显然在现有高中数学基础上接受它是不成问题的），让学生清晰地知道比如一维实数集（实轴）的结构本质，将会受益终身。

至少说，在他们未来的学业生涯中，对涉及无穷概念的问题，不再像历代前人那样迷糊，而是有着比前人更为踏实的心态去应对，这自然是好事，不只是没有了心理迷雾感，还更利于学术掘进。

特别的，对于数学专业学生，更须作为一章“实数集结构”来讲，除传统的实数知识外，更应介绍（本论意义下）康托尔实数集结构知识，包括可以提前简单介绍的相关理论等。

本文仅就“高等数学的第一课”提纲式谈谈个人设想（供有兴趣的教师在应用时备课中参考）。

一、实轴=一维几何空间=一维实数集=有理数集+无理数集

（如在复习既有概念的基础上介绍迪特金分割，以表明此等式是唯一的，续“五”）

二、无穷概念及其康托尔性质

1、比如，以简单的无理数√2为例，回顾并欣赏无理数（如其无穷个位置数码“无穷集”的性质等欣赏；如问，√2的数码序列中能否产生某个人的电话号码？等等）。

以此说明，无穷不只是个无穷远/小问题，更是个无穷集（内在）的复杂结构问题（续下）。

2、可数无穷集，若干性质：

可数无穷集有无穷多个可数无穷子集（每个可数无穷子集又是个独立的可数无穷集）；

可数无穷集皆等势（势，计数概念的抽象）；

可数无穷集皆与自然数集等价（可1-1对应）；

可数无穷集中无最小可数无穷集；

可数无穷集皆测度为0（测度，度量概念的抽象）；

（学生可自己找更多性质）

三、有理数集

1、是可数无穷集（例示一种具体“（动词）数”有理数集的方式）；

2、稠密性（概念及其证明简单，兹免赘）；

3、无穷小邻域（由于有理数集稠密但“不连续”，任一有理数没有最靠近的有理数，所以存在无穷小邻域；非标准分析表明无穷小邻域是不可数集、测度非0为“无穷小量”）；

4、有理空间。即有理点集上定义了某种关系的集合，可记为“二元式”，有理空间=（有理点集，关系），随着“关系”的不同界定可有不同的有理空间；其中“有理数集”也是个（特殊的、平凡的）有理空间或叫做“底空间”；

四、无理数集

1、无理数集具“全测度”。因为有理数集测度为0而实轴结构式唯一，从而间接得证，表明实轴上几乎（概率1的）点点都是无理数（续“五1”）；

2、无理数无确定位置，实则无理数集中无“点”概念，（注：具有薛定谔猫的“叠加性”，在无理数的无穷不循环小数中任意给定数位时即为有理数“死猫”，否则即是“不确定状态、死活叠加状态的猫”）；

3、无理数集中无运算性（只能以近似或符号的方式参加运算，但皆属“有理”运算）；

4、无理数集中无逻辑（但它是逻辑空间的边际，且相当于一个逻辑“点”，所以它并非完全独立于逻辑（数学），并且是数学的背景和辅助）；

5、无理数集具有几何的“度量”意义，例如[a,b]的长度等于b-a的获得即（本质上是充分利用了每个有理点的无穷小邻域长度“无穷小量”的，是其无穷求和）；

6、没有对应于有理空间的无理空间（因为无理数集不对应于任何逻辑空间，即其具有超越性），特别叫它做“无理世界”（或叫“无穷世界”）。

7、无理数集就是个（神秘的没有逻辑的）无理世界，它代表了无穷的本质。

已知，赋予“无理世界”以“超能”则在客观世界（必有个与之对应的存在）可叫做“超空间”，亦即超空间对应于超能，比如已知，是超能使得生命世界有了“有机性”和细胞的多种“超越性”诸如信息超储存性、量子纠缠性等等（皆因其无逻辑性）。

五、实轴结构

1、有理空间和无理世界是具有深刻本质差异的两个空间层次，后者对前者深刻地“充满而不占据”，根本差异在于逻辑的有无；

2、如果说两个空间层次之间有（抽象）“距离”，首先，它不同于空间维度之间的几何距离，其次，只能是个“无穷级数”表征的“联系”。

六、小结：该第一课的总体目标是“树立科学的无穷观”

1、“无穷”归为（无穷序列的、有理数集的）“可数无穷”，以及（无理数集的）“不可数无穷”。

2、“无理数集”的性质代表了无穷的本质。可数无穷集的性质突出体现在数学中（印象鲜明），却不可数无穷的性质体现广泛（似显平凡），但包括哲学、思想、生活乃至数学皆沉浸在相应的“无穷世界（无理世界）”中（虽然其中无逻辑但它是“母空间”对整个宇宙“充满而不占据”且成全了生命世界等等，续下）。

3、“无理世界”虽然无逻辑但它是逻辑（数学、科学）的“根”，在客观世界中贡献着“深刻”机制（诸如宇宙的生成、暗物质、量子纠缠、生命世界等等，各个方面）；

因此，人们对“无穷世界”的感觉（较有理空间的）弱，是可理解的，主要是其逻辑性、前沿性和隐晦性产生的效果。

总之，所有这些对于具有高中知识基础的年轻人，其概念（及简单思想）是容易接受的，一旦接受了（即使是大概）将在其广泛学业生涯中乃至通有人生中都会是裨益明显的。

七、附言：

由于本理论尚未得到公认（尚未得到学界充分得知），此建议不可能作正式推行。

但已说过，上述“根”是不可能得到纯数学证明的，因此本理论得到公认的路还长。

同时，从讲座中的关注度看出，大家（至少在不同程度上）都是承认这一理论的。

因此相信（也希望）会有年轻学仁在编著有关教材（或一般教学）中会做出这样的试点探索，相信效果必然会是好的。

谢谢！