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角动量与自旋

1.粒子自旋的起源与发现

粒子自旋的研究起始于20世纪初，通过实验发现某些粒子（如电子）的磁矩并不能单靠轨道角动量解释.物理学家发现，这些粒子似乎有某种内在的角动量，这种现象引发了粒子自旋概念的提出.尽管“自旋”一词似乎暗示着粒子在自转，但经典的自转概念无法完全解释这种量子现象.因此，自旋本质上是量子力学的一种内禀性质，而不是经典意义上的旋转运动.

在20世纪初物理学家通过研究原子光谱，发现了一些与经典电动力学不符的现象,例如在分析氢原子的光谱时，物理学家注意到电子的能级分裂现象，即所谓的“精细结构”.根据玻尔模型，电子的能级应该是离散的，但实验表明，能级之间有额外的分裂，这无法用经典物理解释.1922年物理学家斯特恩和盖拉赫进行了著名的“斯特恩-盖拉赫实验”，他们将银原子通过非均匀磁场后发现，原子束分裂成了两条.根据经典物理的预测，角动量的分布应该是连续的，原子束也应该呈现连续的偏转，但实验却只显示出两个不同的方向.这一现象表明，电子似乎具有某种“内在的”角动量，即自旋.

自旋即是由粒子内禀角动量引起的内禀运动.在量子力学中自旋（英语：Spin）是粒子所具有的内禀性质，其运算规则类似于经典力学的角动量，并因此产生一个磁场.

自旋的概念最早由荷兰物理学家乔治·乌伦贝克和萨穆尔·古德斯密特在1925年提出，他们假设电子具有一种内禀的自旋角动量.这种假设可以解释斯特恩-盖拉赫实验的结果以及许多其他实验现象，如磁矩的行为.尽管当时人们对自旋的理解还停留在一种半经典的层面，但这个概念迅速得到了量子力学的进一步发展与验证.

以氢原子核模型为例，电子绕质子运动（这里假设质子静止），那么电子在做圆周运动，电子的轨道角动量就代表了这样的圆周运动.但是另外电子还有个自转，就类似地球有个自转一样，这个自转由自旋角动量描述.需要另外说明的是，这个是自旋最初的构想，但是实际上如果把电子当做一个球体，那么会出现它表面的转速超过光速，所以有矛盾.当然，如果你不把电子理解为一个球体，这样的矛盾就不存在，但相应的，就会使得自旋失去具体的物理意义.不过这不重要，因为如果把它当做是电子的一种性质，等效于球体的自旋角动量来理解是没有问题的，因为我们目前也不知道到底电子是什么.进一步的，在Dirac构造相对论Schrodinger方程时，就会很自然的导出在相对论要求下，会有这么一个性质，但还是无法说明具体的物理意义，所以总的来说，这是一个等效的角动量.

自旋的发现首先出现在碱金属元素的发射光谱课题中.于1924年沃尔夫冈·泡利首先引入他称为是「双值量子自由度」(two-valued quantum degree of freedom)，与最外壳层的电子有关.这使他可以形式化地表述泡利不兼容原理，即没有两个电子可以在同一时间共享相同的量子态.泡利的「自由度」的物理解释最初是未知的.Ralph Kronig，Landé的一位助手，于1925年初提出它是由电子的自转产生的.当泡利听到这个想法时，他予以严厉的批驳，他指出为了产生足够的角动量，电子的假想表面必须以超过光速运动.这将违反相对论.很大程度上由于泡利的批评，Kronig决定不发表他的想法.当年秋天，两个年轻的荷兰物理学家产生了同样的想法，George Uhlenbeck和Samuel Goudsmit.在保罗·埃伦费斯特的建议下，他们以一个小篇幅发表了他们的结果.它得到了正面的反应，特别是在Llewellyn Thomas消除了实验结果与 Uhlenbeck 和Goudsmit的（以及 Kronig 未发表的）计算之间的两个矛盾的系数之后.这个矛盾是由于电子指向的切向结构必须纳入计算，附加到它的位置上；以数学语言来说，需要一个纤维丛描述.切向丛效应是相加性的和相对论性的（比如在c趋近于无限时它消失了）；在没有考虑切向空间朝向时其值只有一半，而且符号相反.因此这个复合效应与后来的相差系数2(Thomas precession).尽管他最初反对这个想法，泡利还是在1927年形式化了自旋理论，运用了埃尔文·薛定谔和沃纳·海森堡发现的现代量子力学理论.他开拓性地使用泡利矩阵作为一个自旋算子的群表述，并且引入了一个二元旋量波函数.

泡利的自旋理论是非相对论性的.然而在1928年保罗·狄拉克发表了狄拉克方程式，描述了相对论性的电子.在狄拉克方程式中一个四元旋量所谓的「狄拉克旋量」被用于电子波函数.在1940年泡利证明了「自旋统计定理」，它表述了费米子具有半整数自旋，玻色子具有整数自旋.

对于像光子、电子、各种夸克这样的基本粒子，理论和实验研究都已经发现它们所具有的自旋无法解释为它们所包含的更小单元围绕质心的自转（参见经典电子半径）.由于这些不可再分的基本粒子可以认为是真正的点粒子，因此自旋与质量、电量一样是基本粒子的内禀性质.

在量子力学中，任何体系的角动量都是量子化的，其值只能为：其中ℏ=h/2π是约化普朗克常数，s称为自旋量子数，自旋量子数是整数或者半整数(0， 1/2， 1， 3/2， 2，……).自旋量子数可以取半整数的值，这是自旋量子数与轨道量子数的主要区别，后者的量子数取值只能为整数.自旋量子数的取值只依赖于粒子的种类，无法用现有的手段去改变其取值（不要与自旋的方向混淆）.例如所有电子具有s=1/2，自旋为1/2的基本粒子还包括正电子、中微子和夸克，光子是自旋为1的粒子，理论假设的引力子是自旋为2的粒子，已经发现的希格斯玻色子在基本粒子中比较特殊，它的自旋为0.对于像质子、中子及原子核这样的亚原子粒子，自旋通常是指总的角动量，即亚原子粒子的自旋角动量和轨道角动量的总和.亚原子粒子的自旋与其它角动量都遵循同样的量子化条件.

通常认为亚原子粒子与基本粒子一样具有确定的自旋，例如质子是自旋为1/2的粒子，可以理解为这是该亚原子粒子能量量低的自旋态，该自旋态由亚原子粒子内部自旋角动量和轨道角动量的结构决定.利用第一性原理推导出亚原子粒子的自旋是比较困难的，例如尽管我们知道质子是自旋为1/2的粒子，但是原子核自旋结构的问题仍然是一个活跃的研究领域.

    原子和分子的自旋是原子或分子中未成对电子自旋之和，未成对电子的自旋导致原子和分子具有顺磁性.粒子的自旋对于其在统计力学中的性质具有深刻的影响，具有半整数自旋的粒子遵循费米-狄拉克统计，称为费米子，它们必须占据反对称的量子态（参阅可区分粒子），这种性质要求费米子不能占据相同的量子态，这被称为泡利不兼容原理.另一方面，具有整数自旋的粒子遵循玻色-爱因斯坦统计称为玻色子，这些粒子可以占据对称的量子态，因此可以占据相同的量子态.对此的证明称为自旋统计理论，依据的是量子力学以及狭义相对论.事实上，自旋与统计的联系是狭义相对论的一个重要结论.

在经典力学中，一个粒子的角动量不仅有大小（取决于粒子转动的快慢），而且有方向（取决于粒子的旋转轴）.量子力学中的自旋同样有方向，但是是以一种更加微妙的形式出现的.在量子力学中，对任意方向的角动量分量的测量只能取如下值：其中s是之前章节讨论过的自旋量子数.可以看出对于给定的s，可以取“2s+1”个不同的值.例如：对于自旋为1/2的粒子，“sz”只能取两个不同的值，+1/2或-1/2.相应的量子态为粒子自旋分别指向+z或-z方向，一般我们把这两个量子态叫做“spin-up”和“spin-down”.

对于一个给定的量子态，可以给出一个自旋矢量，它的各个分量是自旋沿着各坐标轴分量的数学期望值，即这个矢量描述自旋所指的“方向”，对应于经典物理下旋转轴的概念.这个矢量在实际做量子力学计算时并不十分有用，因为它不能被直接精准测量：根据不确定性原理，sx、sy和sz不能同时有确定值.但是对于被置于同一个量子态的大量粒子，例如使用施特恩－格拉赫仪器得到的粒子，自旋矢量确实有良好定义的实验意义.具有自旋的粒子具有磁偶极矩，就如同经典电动力学中转动的带电物体.磁矩可以通过多种实验手段观察，例如在施特恩-格拉赫实验中受到不均匀磁场的偏转，或者测量粒子自身产生的磁场.

电子是带电荷的基本粒子，具有非零磁矩.量子电动力学理论成功以预测了电子的g-因数，其实验测量值为−2.002 319 304 3622（15），括号中的两位数字为测量的不确定度，来源于标准差，整数部分2来源于狄拉克方程（狄拉克方程是与将电子自旋与其电磁性质联系起来的基本方程），小数部分（0.002 319 304…）来源于电子与周围电磁场的相互作用，其中也包括电子自身的产生的电磁场.

轻子是自旋1 ⁄2粒子，只能处于两种自旋态：上旋或下旋.自旋统计定理将它们按照自旋归类为费米子，遵守泡利不兼容原理，因此任何两个全同的轻子不能同时占有相同的量子态.手征性与螺旋性（helicity）是与自旋紧密相关的两种性质，螺旋性跟粒子的自旋与动量之间的相对方向有关；假若是同向，则粒子具有右手螺旋性，否则粒子具有左手螺旋性.对于不带质量粒子，这相对方向与参考系无关，可是对于带质量粒子，由于可以借着洛伦兹变换来改换参考系，从不同的参考系观察，粒子动量不同，因此翻改螺旋性，可以从右手螺旋性翻改为左手螺旋性，或从左手螺旋性翻改为右手螺旋性.手征性是通过庞加莱群（Poincaré group）的变换来定义的性质.对于不带质量粒子，手征性与螺旋性一致；对于带质量粒子，手征性与螺旋性有别.

电子的自旋量子数开始不是在研究氢原子波动方程时提出来的，不是由驻波性约束引起的，而是由费米子自旋性约束引起的.理论认为自旋不是电子的外部运动，而是一种如同电子电量、质量一样的“内禀”性质.电子自旋量子数的取值范围只有1个：1/2，而电子自旋磁量子数的取值范围有两个：-1/2，+1/2.电子自旋对电子的实在性运动的影响是：根据泡利不兼容原理主量子数、轨道量子数和轨道磁量子数决定的电子的态，在氢原子中每一个态只能容纳两个电子，这是由电子自旋磁量子数的-1/2和+1/2两个取值范围决定的.设想电子在原子中运动的实在的形式：具有平面轨道，保证驻波完整，具有一定的椭圆度和一定的偏振角度保证电子运动在边界的平滑过渡.为什么某一轨道上只能容纳两个自旋磁量子数相反的电子？这里只能假设：由于费米子的自旋性约束要求距离靠近、运动形式相似的费米子，呈现异向自旋吸引、同向自旋排斥的效应，通常两个距离靠近、运动形式相似、异向自旋吸引的电子将会形成“共振”，其他电子再闯入会由于角动量的变动无法保证驻波的完整性，而处于不稳定状态.

在很多量子场论里，例如量子电动力学与量子色动力学，并没有对左手与右手费米子作任何区分，可是在标准模型的弱相互作用理论里，按照手征性区分的左手与右手费米子被非对称地处理，只有左手费米子参与弱相互作用，右手中微子不存在.这是宇称违反的典型例子.

2.自旋的数学描述：运动还是几何？

自旋角动量是系统的一个可观测量，它在空间中的三个分量和轨道角动量一样满足相同的对易关系.每个粒子都具有特有的自旋，粒子自旋角动量遵从角动量的普遍规律.首先对基本粒子提出自转与相应角动量概念的是1925年由 Ralph Kronig 、George Uhlenbeck 与 Samuel Goudsmit 三人所为.然而其后在量子力学中透过理论以及实验验证发现基本粒子可视为是不可分割的点粒子，因此物体自转无法直接套用到自旋角动量上来，仅能将自旋视为一种内在性质，为粒子与生俱来带有的一种角动量，并且其量值是量子化的，无法被改变，但自旋角动量的指向可以透过操作来改变.

自旋为半整数的粒子称为费米子，服从费米-狄拉克统计；自旋为非负整数的粒子称为玻色子，服从玻色-爱因斯坦统计.复合粒子的自旋是其内部各组成部分之间相对轨道角动量和各组成部分自旋的向量和，即按量子力学中角动量相加法则求和.已发现的粒子中，自旋为整数的，最大自旋为4；自旋为半整数的，最大自旋为3/2.自旋是微观粒子的一种性质.自旋为0的粒子从各个方向看都一样，就像一个点.自旋为1的粒子在旋转360度后看起来一样.自旋为2的粒子旋转180度，自旋为1/2的粒子必须旋转2圈才会一样. 自旋为1/2的粒子组成宇宙的一切，而自旋为0、1、2的粒子产生物质体之间的力.自旋为半整数的费米子都服从泡利不兼容原理，而玻色子都不遵从泡利原理.

粒子自旋在数学上通过量子力学中的泡利矩阵或狄拉克方程描述.自旋不仅仅是一个运动的性质，它也具有几何学上的解释，例如自旋1/2的粒子（如电子）需要旋转720度才能恢复到原来的状态，而不是经典物理中的360度，这种现象揭示了自旋与空间对称性、几何学有着深刻的联系.

在经典物理中，角动量通常与某种旋转或轨道运动相关联.然而，量子力学中的自旋并不涉及空间中的实际旋转，而是表现为一种内禀的角动量.这意味着，自旋不仅仅是“运动”的一种表现形式，而更像是一种与空间对称性相关的几何性质.

自旋的几何性质在数学上表现为自旋群（Spin Group），这是一个与三维空间旋转群SO(3)密切相关的群.自旋群是一种两重复盖群（double cover），这意味着自旋1/2粒子在旋转720度后才恢复到初始状态，而不是360度，这种几何学特性使得自旋与通常的空间旋转有着本质的区别，也揭示了自旋的深层次几何学背景.

3.自旋的物理意义

尽管自旋的几何学解释提供了重要的理论背景，但自旋的物理意义同样引人注目.粒子的自旋直接决定了其在外部场（如电磁场）中的行为.比如，电子的自旋与磁矩之间存在直接关系，这是自旋磁效应的基础.在经典电磁学中，磁矩与带电粒子的轨道运动相关.然而，自旋则为粒子引入了额外的内禀磁矩.这使得自旋在量子力学中的地位极为重要，因为它不仅是粒子的一种内禀性质，还与实际的观测结果（如磁矩、能级分裂等）紧密相关.此外，自旋在统计力学中也扮演着重要角色.根据粒子的自旋，粒子可以分为费米子和玻色子.自旋为半整数的粒子遵循费米-狄拉克统计，而自旋为整数的粒子则遵循玻色-爱因斯坦统计.这一分类直接影响了物质的量子统计性质，例如自旋1/2的电子遵循泡利不兼容原理，这也是原子中电子排布的基础.

瑞典皇家科学院表示，2007年诺贝尔物理学奖奖励的是从电脑硬盘读取数据的技术根源.法国科学家费尔和德国科学家格林贝格尔1988年发现的巨磁电阻效应，大大提高了器件性能，使我们的计算机硬盘体积越来越小，而容量越来越大.然而，这项发现的伟大之处还不仅如此.《科学时报》记者就此采访了该领域4位学者.其中中国科学院物理研究所研究员朱涛表示：“费尔和格林贝格尔种下了一粒种子，随着20世纪90年代应用的突破，这粒种子长成了一棵小苗——自旋电子学，这是一个成长很快、前景广阔的磁学分支.”

自旋的直接的应用包括：核磁共振谱、电子顺磁共振谱、质子密度的磁共振成像以及巨磁电阻硬盘磁头.自旋可能的应用有自旋场效应晶体管等.以电子自旋为研究对象，发展创新磁性材料和器件的学科分支称为自旋电子学.

4.自旋与相对论的结合：狄拉克方程

自旋的本质在狄拉克方程中得到了更为深刻的阐述.狄拉克方程是描述自旋1/2粒子（如电子）的相对论性量子力学方程，它成功地将自旋与相对论结合在一起，并预测了反物质的存在.狄拉克方程通过四维时空中的自旋矩阵，直接揭示了自旋不仅仅是三维空间中的现象，而是与四维时空的对称性紧密相关.通过狄拉克方程，自旋不仅表现为一种角动量性质，还成为了粒子的基本内禀属性，与相对论的洛伦兹变换保持一致.此外，狄拉克方程的另一个重要贡献是预测了正电子的存在，这一发现得到了实验的验证，进一步加强了自旋理论的物理基础.

5.自旋在现代物理中的应用

自旋现象在现代物理学中具有广泛的应用.除了在基本粒子物理中的重要性，自旋还在凝聚态物理、量子计算、天体物理等领域中扮演着关键角色.在凝聚态物理中，自旋与轨道的耦合（自旋轨道耦合）是许多物质性质的来源之一，例如自旋轨道耦合导致了许多材料中的磁性、超导性等现象.在自旋电子学（spintronics）中，科学家利用电子自旋来开发新型的信息存储和传输技术.量子计算领域，自旋被用作量子比特（qubit）的载体，因为自旋态可以非常稳定且易于操作.通过对自旋的精确控制，科学家能够实现量子信息的存储和处理，这为未来的量子计算机铺平了道路.

从上述讨论可以看出，自旋具有双重特性.它在某些方面表现为一种运动性质，特别是在外部场中，粒子的自旋会影响其运动轨迹和磁矩，但从更深层次上看，自旋的几何性质更加基本，它与空间的对称性以及量子力学的数学结构密不可分.因此粒子自旋既可以被视为一种运动性质，也可以被理解为一种几何性质.这种双重性是量子力学的一个独特特征，它反映了微观世界的复杂性和奇异性.

粒子自旋是量子力学中一个核心概念，其本质不仅仅是一种经典的旋转运动，而是量子力学与几何学结合的产物.通过自旋的研究，物理学家能够更好地理解微观世界的规律，并将其应用于现代科技的各个领域.