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场论分析初步---哈密尔顿算子

  哈密尔顿（W.R.Hamilton）引进了一个向量型微分记号：

成为哈密尔顿算子，读作Nabla（纳普拉）.它是一种微分运算符号，同时又可以被看做向量，作用到数量函数u（x，y，z）上，得

这就是数量函数的梯度，▽与u的乘积看作是数量运算.哈密尔顿算子▽作用到向量函数

上，有数量积与向量积两种运算，分别定义为

和

注意到▽算子的向量性质，▽·u，▽F，▽×u等记号都是没有意义的，同样，▽（▽u），▽·（▽·F）,▽×（▽·F）也都是没有意义的.另外▽算子和一般的向量不同.例如对一般向量F，G及常数，有

  可视为向量的交换相乘.对哈密尔顿算子▽，函数u（x,y,z）或F（x,y,z）在▽的左边和▽相乘，表示对函数u和F求微分，但在▽的左边和▽相乘，▽对函数没有微分作用，乘积仍为一个微分算子，例如

仍然可以作用在数量函数或向量函数上.

  通常在运算时，利用向量乘法交换相乘的法则，把不需要求导的项调换到▽算子的左边，而将那些仍需要求导的项留在▽的右边.

下面列出▽算子常用的几组性质，其中F，G是向量函数，u，v是数量函数，a，b是常数

1.1线性性质

（1）▽（au+bv）=a▽u+b▽v

（2）

（3）

1.2乘积性质

（1）▽(uv)=u▽v+v▽u

（2）

（3）

（4）

(5)

(6)其中符号的意义是

而其中（设G=Ui+Vj+Wk），，

在这里给出部分性质的证明:

证性质（4）：由三重向量积公式，我们可以得到

b(ac)=a(bc)+(ab)c

于是

证明过程中，Fc、Gc是暂时将向量F，G看作常向量，因而，这些项可以利用向量积的交换性质换到哈密尔顿算子的前面.

1.3双重▽运算性质

（1）▽（▽u）=▽²u=△U （2）▽()=0

（3）  （4）

其中符号△称为拉普拉斯(Laplace)算子，定义为

△=▽·▽=

这是一个数量型微分算子，其运算作用为，

这里（设）， 

同理， 、与此相似.

1.4对向径r及复合函数的作用

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

其中，

有势力是广泛存在的，自然界中的四种基本相互作用——电磁力、引力、强相互作用、弱相互作用都是有势力，存在这些相互作用的微观粒子体系具有与这些作用相对应的势能.

一般情况下，力F是位置r、速度v和时间t的函数，即F=F(r,v,t).若F=F(r,v,t).δr=-δU(r,v,t)就称这种具有相关势能的力为有势力，例如洛伦兹力是有势力，但不是保守力.U(r,v,t)为广义势，U(r,t)为普通势.

设矢量场为有势场是指在场中存在单值函数满足：，称函数为这个场的势函数.从而矢量与其势函数之间存在下列关系：，但在流体力学中，也直接把定义为矢量场的势函数.

矢量场在M点处的旋度，是这样一个矢量，它在任一方向上的投影，就等于场沿该方向的环量面密度，即有：.

由此可知：旋度的方向就是环量面密度最大的方向，其模也就是这个最大环量面密度的数值.如果把旋度与矢量场中的点一一对应起来，又得到一个矢量场，叫做有矢量场产生的旋度场.对于那种恒有的矢量场，叫做无旋场.

  矢量场的旋度，在直角坐标系下的计算公式为：

或者写为：

据此可以将斯托克斯公式写成矢量形式：，此式表明了环量和旋度之间的一种关系：即沿有向封闭曲线l的环量，等于旋度沿与l的方向构成右手螺旋的方向穿过以l为边界的曲面S的通量.旋度之所以得名是因为在流场中速度的旋度恰好是流场中该点旋转角速度矢量乘上一个常数2，即.

高斯定理：

这个定理说明场中任意区域内的表里联系关系，即将场中任何闭合面S上的场矢量的通量（面积分）与比面内部场矢量的散度的体积分联系起来。