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力学中三大守恒定律的比较

证明：因为所以机械能守恒定律是时间均匀性的体现.

因为所以运动量守恒定律是空间均匀性的体现.

当然动量守恒定律、角动量守恒定律也可以类似于机械能守恒定律的表述方法表示为之和的形式，只是形式的变化，没有实际的意义，例如把冲量的相反数叫做动量流（动量势），角冲量的相反数角动量流（角动量势），这样就可以统一为：动能+势能=const，动量+动量流=const，角动量+角动量流=const.三大守恒定律也都可以表示为差的形式：质点的动能与所受保守力功的差不变.这是一种协变类比，协变类比方法又称数学相似类比法，根据对象的属性之间可能具有某种确定的协变关系(即函数关系)而进行推理的一种科学推理方法.它有两种形式:一种是根据两个对象的各个属性在协变关系中的地位与作用的相似，推出它们的数学方程也相似，如法国物理学家德布罗意(L.de Broglie)依据物质粒子和光都具有波粒二象性，经类比，从光的能量公式(E=hv)和动量公式(p=h/λ)推出物质粒子的波长公式为λ=h/mv，即由p=mv=h/λ转换而来；另一种是从两个对象的数学公式相似，推出它们在其他属性上也可能相似.德布罗意依据光运动服从光线最短路程原理(费尔马原理)与质点运动服从力学的最小作用原理(莫泊图原理)的数学公式的相似性，经过类比，由光具有波动性和粒子性推出物质粒子也具有波动性的结论.协变类比是建立在自然界和谐统一的基础上.这种和谐统一表现在各种现象领域的数学形式的“惊人的类似”.例如牛顿力学的引力势，电学中的静电势，热流处于平衡状态下的温度分布，液体的某种流动等，都可以描述为一个二阶偏微分方程的形式.应用协变类比，可以在科学研究中进行方法移植，并通过进一步地研究揭示不同对象之间的内在联系.协变类比定量地描述了对象的属性之间的关系，较之定性描述的类比，属性之间的关系更为确定，可靠性也更高.

在动能定理中是合外力的功，在机械能守恒定律中是保守力的功，问题的关键在于非保守力的功不能定义势能.耗散力做功熵增加，不具有可逆性.在没有外力的作用下，质点的动能、动量、角动量都守恒，这是惯性的表现形式.

对于同一个物理过程，不同参照系的观察者测量的机械能（动能+势能）、动量与冲量之差、角动量与角冲量（动量矩与冲量矩）之差都是协变量，都是常量或者变量.经典动量守恒定律、角动量（动量矩）守恒定律分别是动量定理、角动量定理的特例，不是等价形式，类似于机械能守恒定律中质点势能不变（或者保守力不做功）时，质点动能也不变，显然不是对于任何参照系都协变，因为保守力在一个参照系不做功，在另一个参照系可能会做功，即质点的动能在一个参照系守恒，在另一个参照系可能不守恒，例如匀速圆周运动中的质点.三大守恒定律表述形式既相似也有别，这是对称的绝对性和相对性的表现形式.“对称性原理在上述研究工作中起着重大作用，它能使我们从事物之间的联系上考虑问题，从而使我们迅速抓住问题的实质.”

在牛顿力学中把牛顿第一定律、第二定律、第三定律作为实验定律，可以推导出动量守恒定律，如果把动量守恒定律作为实验定律，也可以推导出牛顿第一定律、第二定律、第三定律，把P(t)-I（t）=P(t₀)对于时间t求导数就得出牛顿第二定律：F=ma，在牛顿第二定律中令a=0就得出牛顿第一定律v=const（这样处理牛顿第一定律可以看做是牛顿第二定律的特殊情况，原来的表述牛顿第一定律是牛顿第二定律的基础，不是特殊情况），对于两个相互作用的物体动量守恒，作用力和反作用力大小一定相等，方向一定相反，否则动量就不守恒了.笔者建议把动量守恒定律作为实验定律，牛顿第一定律、第二定律、第三定律作为动量守恒定律的推论，这样牛顿力学就更加简洁了.

牛顿力学理论中容许超距力（在弹簧振子和单摆问题中弹力虽然是接触力，但是由于力源不是研究对象，仍然按超距力处理），须引入势能、冲量、角冲量（冲量矩）.可是在狭义相对论中，若考虑电磁场的能量、动量、角动量，则只有接触作用，不需引入势能、冲量、角冲量（冲量矩）.例如狭义相对论中质能方程的推导可以看到狭义相对论中无需考虑势能——在经典力学中，物体的动能是使物体从静止状态到具有速度的状态，这一过程中外力所做的功，即                                                  (1)

                  (2)

即，这就是著名的爱因斯坦质能方程，它同时还适用于宏观和微观粒子.(2)式中的物体质量的变化是由于运动而发生变化，能量也是由于运动而发生变化的.则：                                                    (3)

当物体静止时能量.但物体仍具有静止能量.这表明，静止的物体内部存在着粒子的运动.质能方程表明了质量和能量的变换关系，但丝毫不说明质量和能量之间可以按照此式相互转换.总之，客观世界中不存在着这样的过程.但是，动静质量之间可以发生的微观的小量转换，能产生巨大的能量.核能释放，甚至是天文学上的恒星的长久的高强度辐射都可以用质能关系所解释的.

牛顿力学中的动量守恒定律、角动量（动量矩）守恒定律与狭义相对论中动量守恒定律、角动量（动量矩）守恒定律的表述有一定的区别.狭义相对论的能量—动量守恒定律特别适用于研究基本粒子之间，包括湮灭、创生等现象在内的反应，而牛顿力学理论的动量守恒定律、能量守恒定律与质量守恒定律无法研究这些反应.爱因斯坦讲：“物理学构成一种处在不断进化过程中的思想逻辑体系.”

经典力学研究问题的方法的重要特征就是不变性的思维方法，它贯穿于经典力学的形成 和发展过程.物理规律在惯性系中无论在何处、何时、在何方向都具有不变性，它制约了惯性系的时空结构.正由于这种不变性自然地导出了能量、动量及角动量（动量矩）守恒定律，守恒定律反映了自然界对时空结构不变性要求的普遍规律.物理学的任务是要发现普遍的自然规律而规律的简单的形式之一是它表示了某物理量在过程中的不变性.寻求自然过程的不变量是物理学极为重要的研究方向.

现代物理学理论研究要把发现不变性，寻求变换式及适用范围作为目标.自从20世纪初，在发现物理规律的洛仑兹变换不变性之后，物理学界逐渐认识到变换不变性概念和物理学对称性概念的内在联系以及变换不变性方法对现代物理学发展的极端重要性.现代物理学的每一次重大进展，从狭义相对论、广义相对论、量子力学、量子场论到规范场理论，都是以变换不变性思想为模线发展起来的.狄拉克更是指出，理论物理学进一步前进的方向是继续扩大变换不变性.物理定律是事物之间客观联系的表达，在由数学表述的规律中，往往存在一些表征被研究现象的某种属性或关系具有不变性的常量，而这些常量是为了寻找并从数学定量上描述运动规律而必须找到的.在物理学发展中，每当某不变性被破坏而又在新的情况下恢复较广泛的不变性时，将导致物理学成功的突破，产生新的物理学理论.

《物理世界》的作者库伯曾经讲过：“自然现象从根本上通过一些简单到惊人地步的规律相互联系着.”任何物理理论的相对性都以使这个理论的定律保持不变的变换群来标志，因而该变换群描述某种对称性，例如描述这个理论所涉及的空间范围的对称性.这样，正如我们看到的那样：牛顿力学具有所谓伽利略群的相对性，狭义相对论具有彭加勒群（或“广义”洛伦兹群）的相对性，广义相对论具有光滑的、一一对应的完全变换群的相对性.即使某理论仅在绝对欧几里得空间成立，但只要此空间在物理上是均匀的和各向同性的，它就具有转动和平动群的相对性.相对论有着惊人的数学美而让人信服，而且远比其它可能的方案更为简单.在现代物理学中，对称性已经成为一个重要思想方法，即对称性指引物理学研究.如果说Maxwell是从直接可见的关于电和磁的对称性以及数学形式的对称性方面建立了电磁学理论的话，那么爱因斯坦是通过对深层次的直接经验无法觉察的对称性——规范不变性深刻的理性思考而建立了他的狭义相对论.爱因斯坦的对称性制约物理定律的思想可以说是20世纪物理学研究方法上的一大飞跃.

目前，物理学已经建立了将定域同位旋对称性与对称性自发破缺相结合的弱电统一理论，正在向更进一步的大统一理论目标前进.而从整体对称性到定域对称性的深入，是达到这一目标的最有希望的探索方向.早期的爱奥尼亚哲学家就相信：“不管所有的变化和转化，必然存在某种恒久的东西.”例如古希腊的水（泰勒斯）、气（阿那克希米尼）、火（赫拉克利特）、存在（巴门尼德）、四原素（恩培多克勒）、奴斯（阿那克萨哥拉）或原子（德谟克利特），近代的能（笛卡儿）、物质（培根）、最小作用（费马和莫培督）和光速（爱因斯坦）.尽管本格森断言不变量这样的信念是古代的错误，但是不变性原理（物理学定律的数学形式相对于坐标系的变换保持不变）作为对自然的认识工具在科学中是相当成功的.尤其是爱因斯坦，更是把它运用到炉火纯青的地步，以致杨振宁干脆把不变性原理称为“对称支配相互作用原理”，并认为它已经从被动角色转化为主动角色，在20世纪的物理学中起了举足轻重的作用.杨振宁认为：“今天大家叫规范场，这个名称有错误，应该叫相位因子场.”20世纪50年代以前人们只是把局域规范不变性看成是电磁理论的独有特征，只认为它在检验计算过程等方面有用，但却并无基本意义.这就是局域规范场，这个场可以做两种变换，因而相应的就有两种规范不变性.当一组满足整体对称性的物理定律要使它们满足定域对称性时，就必须引进新的力场，这种新的力场就是规范场.任何一个局域对称性都可以确定一个规范物理理论，其原因有三条：第一，由诺特定理可知，每一个守恒定律都存在一个与它相对应的特有的对称性，反之亦然；第二，任何一个特有的局域对称性，都要求一个特定的规范场相对应，反之亦然；第三，任何规范场都对应于决定那个守恒量的相互作用，反之亦然.它告诉我们：对于每一个守恒定律，一定有一个与之对应的规范理论存在（给定的守恒量，就是该规范场的源）.其唯一的条件是该守恒量应与一个连续对称性相关.这样得到的理论，只有一个自由参数，即相互作用的强度.总之，在每个对应情况下，对称性的数学结构决定了规范场的结构及相互作用的形式.抓住不变量与变换式之间的内在矛盾，并通过不断扩大变换不变性来解决两者的矛盾.在物理学中通过对系统所具有的对称性的分析，可以得到系统相应的守恒量，这些守恒量的存在对于了解系统的物理状态和性质就十分重要.牛顿定律是统帅整个经典力学的基本规律.可见，牛顿定律与时空对称性有一定的内在联系. <<自然哲学的数学原理>> 前言中指出:……哲学的全部责任似乎在于——从运动的现象去研究自然界中的力，然后从这些力去说明其它现象， 可见力的概念是牛顿定律的核心.力的概念是从动量守恒定律引入的，它可用受力物体的动量变化率来量度，即，这是牛顿第二定律的最初形式.不计质量的相对论改变仅用于质点速率远小于光速的情况，则为 这便是牛顿第二定律在通常教科书中的表达式，它是在引入力的概念后动量守恒定律的推理，也可认为空间平移对称性的推理.结果中的不对称性必在原因中有所反映，它符合对称性原理.海森堡认为：“万物的始源是对称性.”