Zmn-1154 薛问天: 相关文章不下几十万字，但反响寥寥。为什么？因为全是错误。评沈卫国《1153》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对沈卫国先生的《Zmn-1153》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

相关文章不下几十万字，但反响寥寥。为什么？

因为全是错误。评沈卫国《1153》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

沈卫国先生在《1153》中对康托尔关于实数集不可数的证明，提出了两点质疑，以及他提供的所谓对实数可数的证明，一共三点都是错误的。主要是逻辑的错误，现在分别评述如下。

一，对反证法证明的原理缺乏认识。

沈卫国先生对康托尔证明的质疑的第一点是对反证法的质疑，是由于他缺乏对反证法证明的认识。

反证法的第一步，是要有一个反证法的假定。沈知道这点，所以他说【康托对角线法证明实数集合不可数的的反证法的第一句，就是“假设实数可数，它的全部就可以排成一列”。】

这点说得很对。反证法首先要给一个假定。但是他接着说【既然是只是个假设，就是“全部实数可以排成一列”这个命题是可真可假的。】就漏出了马脚。假定命题当然不能是【可真可假的】。反证法就是要证明此假定的命题可引出矛盾，证明此命题是假的。从而证明【实数不可数】是真的，使定理得证。怎么能说【这个命题是可真可假的】？显然是错误的。

沈卫国先生说【一旦实数是不可数的，就意味着不可能排出全部实数，也就是任何一次具体的排列，只能是排出一列非全部的、只是实数一部分的实数集合的一个真子集。】这点没说错。但沈先生接着说【但既然每次排列都只能排出一个实数的真子集，也就是部分实数，人们又怎么可能通过这具体的一次排不出全部实数，就来断定永远也排不出呢？而实数不可数的定义，可绝对不是一次排不出就是不可数，而是任何一次、任何对应方式下都排不出。难道可以通过一次（数学中不是用“∃”表示的吗？）得到的结论，就可以证明所有（数学中用“∀”表示，特别还是无穷次）的结论？在逻辑上，这是不是“以偏概全”的逻辑错误？】

沈先生用这样的话语来质疑康托定理的证明，说是【怎么可能通过这具体的一次排不出全部实数，就来断定永远也排不出呢？】这就说明沈先生根本没看懂证明。我们知道康托尔的证明是用反证法由【实数可数】的假定推出矛盾，从而证明了【这个命题是假的】，是这样证明了【实数是不可数的】，请问对这样的证明还要说这样的评论有何意义？我们的证明根本不是【通过这具体的一次排不出全部实数，就来断定永远也排不出。】何来【以偏盖全】？

说明沈先生根本没弄懂什么是反证法的证明，反证法的证明是由反证法的假定推出矛盾，证明这个假定为假，是这样证明实数不可数的。并不是具体的去排列实数，通过这具体的一次排不出全部实数，就来断定永远也排不出。沈先生说什么【因此我们可以说，实数不可数这个结论，按不可数的定义，是原则不可能被证明的。具体说，就是不可能被有限步内证明，或在有限步内被证明。因为实数与自然数的对应方式（函数关系，映射方式）可以有无限种，根本就无法一一穷尽。无法穷尽，如何证明？】这一再说明沈不懂反证法，实数不可数这个结论，完全可以证明。如何证明？用反证法证明。假定可数，推出矛盾，就可证明不可数。

另外，沈先生又说【另一方面，就算退一步，实数不可数是可以证明的，对角线法的假设“全部实数排成一列”，其否定命题也包含两层意思，一是根本不可能排出，二是可以排出，但此次没有排出。因此由康托对角线法得到的否定命题“全部实数此次没有能排成一列”，也并没有证明全体实数根本就不可能排成一列。它没有证明用其它方式、对应原则等是不是可以排出全部实数的问题。】

沈先生的说法当然是错的。对角线法的反证法假设是“全部实数可数”即“全部实数能排成一列”，其否定当然是实数不可数，只能是【根本不可能排出】，不能是【是可以排出，但此次没有排出。】因为否定的是【可数】【能排出】，并不是否定的【某次排出】。更何况，康托尔的证明，是对【任何】可数的序列都证明能推出矛盾，并不是仅对某种特殊的【此次序列】推出矛盾。因而没有必要再【证明用其它方式、对应原则等】是不是可以推出矛盾的问题。这是非常明确的逻辑推理。对【任何】可数的序列都证明能推出矛盾，显然对【其它方式】排成可数序列都能推出矛盾。

由此可見，沈卫国先生对康托尔证明的质疑的第一点，即对反证法的质疑，是不成立的。是逻辑的错误，是由于他缺乏对反证法证明的认识而引起的。

二，沈卫国先生对康托尔证明的质疑的第二点是他错误地认为在证明中用了他所谓的【隐含假定】。

他说【对角线法的证明过程中无意中引入了“所列单值的全部实数，与每位多值的位数一一对应”这样的隐含假设。】

这里说的有错误，任何实数表示成无穷小数，它的位数都是单值的，而不是多值的。所以应说是“所列单值的全部实数，与每个实数的每位单值的位数一一对应”，而不是与【每位多值的位数一一对应】。

沈先生说【而实数不可数、可数的定义中，从来也没有这样的前提条件。】这说的不对。实数可数的定义当然可以推出【所列单值的全部实数】同自然数集一一对应。另一方面我们知道【每个实数的每位单值的位数】也同自然数集一一对应。根据一一对应关系的传递性，因为它们都与自然数集合一一对应，所以【所列单值的全部实数】同【每个实数的每位单值的位数】有一一对应。这完全是由【实数可数】的假定推出的。所以根本不存在什么【隐含假定】。

因而沈卫国先生所说的【在逻辑上，这属于“运用选言判断中的逻辑错误”，具体说就是“遗漏选言支造成的谬误”。从假言判断的角度看，康托对角线法的“证明过程”和“结论”，充其量只是一个“必要条件假判断”，而不是所真正需要的一个“充分条件假言判断”。更不是“充分必要假言判断”了。】全部是错误的质疑。

沈先生最后所说【也就是说，实数如果不可数，当然不可能在任何一次排列中排出，也自然包括康托对角线法证明过程这一次，但这并没有充分的根据说就此实数就不可数了。它说的或所谓的，仅仅是按康托对角线法的隐含假设，全部实数并没有被全部列出而已。但这可不是不可数。】

当然是错误的。说明沈先生没有看懂康托尔的证明，证明是根据【实数可数】的假定，对【任意】的排列，推出了矛盾。并不是仅对【这一次】排列得出的矛盾。当然否定了【实数可数】的假定，就证明了【实数不可数】。

三，每个实数的每个小数位当然都是确定的单值，而不是【多值】。正如沈先生所述【位数如果单值，就等价于一个实数一旦列出，就不能再变化改动其任何一位的数值而成其它实数，也就是该实数的每一位的数值都是确定的。】康托尔证明的实数的列表就是如此。此列表一但【任意】列出，就不再改变。正因为是确定的，才知第n个实数的第n个小数位数是确定的ann。ann是确定的单值而不是【多值】。

沈卫国先生说【这等价于不再允许康托对角线法的那个沿着对角线的逐位求异操作存在，这当然就不会再有康托对角线法的预期结论。】

沈说的这句话说明他没看懂康托尔的证明【逐位求异操作】在做什么。要知道康托尔证明的【预期结论】，并不是改变这实数数列的内容。而是根据这实数数列各位数的确定值来建立一个新的实数，b=0.b1b2...bn...，使bn≠ann，(n=1,2,3,...)。并证明此b不在数列中。要知道，所有这些实数，实数数列和新建的实数b，它们的各个位数都有确定的单值，哪有什么【多值】。实数数列是根据【实数可数】的假定确定的【任意数列】，一旦任意给定，就不能随你人为改变。证明就在于对【任意数列】都产生矛盾，从而否定了【实数可数】的假定。

这都说明沈先生说他【证明了老的康托对角线法究竟为什么没有如其所愿地证明实数不可数】，是完全错误的。

有趣的是沈先生把【逐位求异的操作】错误地理解为对实数数列的自行给定。並独出心裁地设计一种方法来【来重新构造我们的实数表】。他错误地说【完全仿照康托对角线法的做法】，当然全是错的。康托尔的对角线法的实数表是由【实数可数】的假定，是【任意给定】的，根本不是人为构造的。这是沈先生认识的重要错误。

我们要看看沈先生是如何构造实数表的 。沈先生从有穷位小数来构造实数表。

因为所有的有穷n位小数共有2^n个，都是有穷的。先构造一位小教，共2个，再构造2位小数，共4个，......，再构造n位小数，共2^个，余此类推，......。

对此构造的实数表，沈先生做出如下推论。沈说【而按康托对角线法在对角线上逐位求异得到的那个所谓的“新的”实数，必在此表中，一点也不再“新”了。如此，与其说在这里康托对角线法证明是实数不可数，还不如说这个新的康托对角线法证明了所有实数都在此可数表中，也就是证明了实数可数。】

【所有实数都在此表中，得证。总之，康托对角线法在对角线上通过逐位求异得到的那个实数，必然不在纵向所列的n 个实数中，但却必在纵向所列的与位置 n 对应的 2^n 个实数中。】

显然沈的断言是错的。不知大家看出沈先生错误没有。沈先生的错误在于他构造的并不是全部实数的数列表。而只是有穷位小数的实数的列表。尽菅n可以任意大，但任意大的n位数还是n位有穷小数而不是无穷小数。全体实数不仅包括有穷小数还要包括无穷小数。而所有无穷位小数都不在沈的列表之中 。

对于沈先生所构造的有穷小数的列表，当然可以是全部有穷小数的列表，任何用有穷对角线法枸造的n位有穷小数b=0.b1b2...bn，无论n有多大，都存在于所构造的数列之中。但是你并没有证明任何用无穷对角线法构造的无穷小数b=0.b1b2...，都存在于所构造的数列之中。这才是关键。

也就是说沈先生的这个列表所证明的并不是全部实数可数，而是所有有穷位小数的集合是可数的。从集合论知所有的有穷小数都属于有理数，它本来早己证明是可数的，还用你来证明吗。这说明他提供的所谓对实数可数的证明完全是错误的。

沈卫国先生说【笔者在上世纪 80 年代，就得到康托对角线法并没有证明实数不可数的结论，1998 年的《论自然科学的若干基本问题》一书中有详细的讨论，并给出了实数可数的一个证明（与此文给出的本质一样，但略有不同）。】

但沈先生终于悲叹地说【其后，正式发表与未正式发表（发表在预印本中或网上）的相关文章不下几十万字。但反响寥寥。为什么？】

沈先生对此不解，其实原因很简单，那就是发表的这些烂文全是错误的。所以【反响寥寥】。期刊不发表你的文章，是因为文章有误。观众和期刊在等待着你对错误的纠正！

最后我还想提醒下沈先生：不要拿外国人和国内人来说事。专业不分国界，外国人和国内人都可能提出正确的理论，也都可能犯这样或那样的错误。拿出点自信来，不可肓从！

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