原载《数理人文》公众号2022年8月6日

这几天世界华人数学家大会正在南京举行，丘先生在会议的间隙，还会抽空和同行探讨数学发展大计。美国在世界的霸权是以它强大的科技实力作保证的。数学是科技的重要基础。学习美国的长处，并最终在数学上首先赶上美国，这是丘先生一直在为之努力的。几十年来，丘先生通过创办多所数学中心，世界华人数学家大会，中学数学奖，大学数学竞赛，以及清华求真书院，已经为中国数学人才培养的系统工程打下了扎实的基础。

2022年菲尔兹奖的四位获奖者是：Duminil-Copin（概率论，法国），Maynard（解析数论，英国），许埈珥（组合几何，美国），Viazovska（球堆积，乌克兰）。我相信他们的主要获奖工作，如果请专家做科普报告，大学生、甚至高中生也许都能够理解。

2022年国际数学家大会原本定于7月在俄罗斯圣彼得堡召开。位于俄罗斯西北部的水城圣彼得堡有着悠久的数学传统，伯努利兄弟曾在这里任教，前去追随他们的瑞士大数学家欧拉更是在圣彼得堡度过了成果丰硕的31年，直到去世。圣彼得堡科学院在1957年纪念欧拉诞辰250周年时新修了欧拉墓。如果欧拉还在世，他一定也会很欣赏这届菲尔兹奖得主的工作。切比雪夫开创的近代圣彼得堡学派引领了19世纪俄罗斯数学的崛起，代表人物还有切比雪夫的两位学生——马尔可夫和李雅普诺夫。他们的研究领域和影响很广，特别对概率论有重要的贡献。

数学研究领域的细分，是人类文明发展的必然。幸运的是，人为划分的学科分支并没有割断数学家之间、以及数学和物理之间的相互联系，这是数学永葆创新的根源。在2022年菲尔兹奖获奖人的工作中，我们又看到了这种紧密交织，不禁让人感叹，这是古典数学的回归。与人类的其他活动一样，数学和数学家的故事，也是一部关于传承的历史。

作为美国东北部新英格兰地区的中心城市，波士顿是美国精神的象征。1620年11月21日载着105位英国清教徒的五月花号在位于波士顿东南55公里的普利茅斯海湾登陆。但是直到19世纪，北美大陆上才出现真正意义上的数学家。此后两百年间，美国数学从无到有，直到发展成为当今世界头号数学强国。就像诺贝尔奖是衡量国家科技水平的硬性指标，菲尔兹奖的获奖人数也是数学强国的重要标志。在已经颁发的20届菲尔兹奖中，除了1958年，每届都有在美国工作的数学家获奖。

匹兹堡是美国宾夕法尼亚州仅次于费城的第二大城市，曾经是世界钢铁之都，垄断了美国一半的钢铁产量。不过烧煤炼钢也带来了严重的环境污染。从20世纪80年代起，匹兹堡关闭了几乎所有钢铁厂，向医疗和高科技产业转型。今天的匹兹堡已经是全美最宜居的城市之一，只有随处可见的已经废弃的大烟囱和阿勒格尼河上的几百座桥梁，仿佛在诉说着昔日钢铁之城的辉煌。匹兹堡转型成功的难度不亚于在美国西部大开发中创造一座新城。

我有幸在哈佛大学和匹兹堡大学分别工作生活了四年，对波士顿和匹兹堡都很熟悉。如果说哈佛大学和麻省理工学院代表了美国的精英阶层，那么匹兹堡大学和卡内基-梅隆大学则是美国中坚力量的象征。他们一同构筑起美国强大的科技实力。标题里“双城记”的故事，就从一位与匹兹堡和波士顿都有着不解之缘的数学家开始。

改变数学历史的电子工程师

1947年的一天，一位24岁的年轻人手里拿着帽子，走在匹兹堡的街头。这是他第一次踏上美国的土地，几乎身无分文，一如他悲惨的童年。他刚出生不久，父母就离婚了。母亲在他12岁的时候不幸去世，他只能跟着继父生活，从欧洲辗转来到加拿大。他小时候经常在家里的地下室摆弄电路，之后果然如愿以偿地进入加拿大麦吉尔大学学习电子工程。毕业后，命运女神和他开了一个玩笑。电子工程师的工作不好找，他就去参军。可是几个月后二战就结束了，只能被迫退伍。他想学医，也被劝退。他只得又花一年时间拿了一个电子工程硕士学位，接着做了一个改变自己命运、甚至也是改变数学历史的决定——去卡内基理工学院学数学。因为他的微积分老师告诉他，卡内基理工学院刚刚推出了一个全新的数学博士招生计划。

卡内基理工学院是卡内基-梅隆大学的前身。匹兹堡历史上有两位著名的慈善家，一位是钢铁大王卡内基，另一位是银行家梅隆。他们先后捐资成立了以他们名字命名的卡内基-梅隆大学。

这位24岁的年轻人就是Bott，此刻他正坐在卡内基理工学院Synge教授的办公室里。Synge是几何学家，在黎曼几何里就有著名的Synge定理。窗外不远处的烟囱正往外冒着火苗和黑烟，Synge右眼带着黑色眼罩、鼻子上安着空气过滤器。在这样的场景下，Bott也只能正襟危坐，因为他知道自己的命运正掌握在Synge的手中。幸运女神眷顾了他，数学基础不是太好的Bott顺利通过了Synge的面试。他有两个选择，三年的硕士学位和五年的博士学位，Bott毫不犹豫选择了后者。接下来Bott只用了两年时间，就拿到了博士学位。Bott和导师Duffin一起研究电网络的数学理论，这正是他擅长的领域。他们合作发明了一种在电网络理论中非常有用的计算奇异矩阵广义逆的方法，被称为Bott-Duffin求逆法。

那时的Bott应该还不知道电网络理论与随机游走的关系，这是六七十年代兴起的研究领域。比如可以用电网络证明“醉汉回家，醉鸟不归”。也就是说，二维随机游走总能回到原点，三维的就不一定了。不过50年后的1999年，Bott的一位门生Schramm正是通过研究随机游走和复分析之间的联系，给概率论带来了翻天覆地的变化。

Bott博士论文的工作引起了大数学家Weyl的注意，他邀请Bott到普林斯顿访问。1949年，Bott来到普林斯顿，他才真正见识到了数学的广阔天地。从此他的研究方向转向几何拓扑。Bott的数学生涯从匹兹堡起步，在普林斯顿访问两年，继而在密歇根大学任教9年，从1960年起在哈佛大学任教直到1999年退休，成为一代数学大师。Bott是2000年沃尔夫数学奖得主，他还带出了两位菲尔兹奖得主。Bott的第一个博士生是他在密歇根大学任教时指导的Smale，因为证明五维以上的庞加莱猜想而获得1966年菲尔兹奖。Bott在哈佛大学指导的博士生Quillen由于代数K理论的工作获得了1978年菲尔兹奖。另外，1982年菲尔兹奖得主Thurston也是Bott的门生（Thurston的导师Hirsch是Smale的博士生）。在这项数据上无人能够超越Bott。另一位指导了两位菲尔兹奖得主的数学家是德国马普所的Zagier教授，他的博士生中有分别在1998年和2022年获得菲尔兹奖的Kontsevich和Viazovska。

1980年，Bott来到中国，参加陈省身教授和丘成桐教授在北京组织召开第一届双微会议。在这次会议期间，丘先生给Bott取了一个与Bott Raoul发音很近的中文名字“伯乐”。

我的导师刘克峰教授很早就深受Bott工作的影响，他把Bott看做他的另一位导师。刘老师在中科院的硕士论文，就是把Witten的超对称莫尔斯理论推广到复流形，建立复流形的等变上同调理论。其中关键一步用到Bott留数公式，这个公式把复流形上的积分局部化到全纯向量场的零点。

1988年，Bott与Taubes证明了关于椭圆亏格的Witten刚性定理。刘老师读博士的时候花了很多功夫钻研Bott-Taubes的工作，终于发现可以用模形式给出Witten刚性定理的一个极其简洁的证明，这项工作也是刘老师博士论文的主要内容。Bott很高兴，还到巴黎作报告，向Serre解释刘老师的新证明。1997年，刘老师和丘先生、连文豪合作证明三维卡拉比-丘流形的镜对称猜想，用的主要工具就是Atiyah-Bott局部化公式在Gromov-Witten不变量的应用。

站在卡内基-梅隆大学数学系的Wean Hall大楼前，远眺匹兹堡大学42层高的教学楼Cathedral of Learning，很容易让人想到一个名词towering figure（巨擘），这个英文单词常常被用来形容伟大的数学家。Bott毫无疑问就是一位towering figure。

复分析、傅里叶变换、模形式和球堆积

首届菲尔兹奖颁发于1936年的挪威奥斯陆数学家大会，当年的获奖者是芬兰数学家阿尔福斯和美国数学家道格拉斯。有意思的是，最初的几届菲尔兹奖，评选委员会为了避免争议，有时会有意忽略已经成名的数学家，而在名义上声称奖给富有潜力的数学新星。40岁以下的获奖年龄限制也直到1966年第6届菲尔兹奖颁发时才确定下来。不过这些早期的获奖者也都实至名归。

菲尔兹奖以其严格的评选机制与获奖者的历史地位，一直享有数学诺贝尔奖的美誉。虽然现在数学界已经有了沃尔夫奖、克劳福特奖、阿贝尔奖这些终身成就大奖，但是菲尔兹奖的特殊地位依然明显，它不仅代表了各自领域的最高水平，而且获奖者在获奖时也都仍然活跃在学术前沿。新晋菲尔兹奖得主的研究领域往往会在一段时间内成为热点，吸引青年数学家投身其中。

阿尔福斯从1946年开始在哈佛大学任教直到1977年退休。他在复分析，特别是共形几何、拟共形映照等做出了开创性贡献。他的复分析教材影响了好几代数学家。

2022年菲尔兹奖的得主Duminil-Copin，Maynard和Viazovska的工作，都和复分析有关。Duminil-Copin研究Ising模型用到的是离散复分析。Maynard研究素数分布，这是解析数论的核心问题。Viazovska的工作中用到模形式。而模形式是一种特殊的解析函数，几乎每一本完整的复分析教材都会讲到。接下来讲讲Viazovska的工作。

时间来到1999年，那年Viazovska还在读中学。一位哈佛大学在读博士生Cohn正和导师Elkies在办公室讨论问题。Elkies是数论天才，曾创下26岁成为哈佛大学最年轻正教授的纪录。来哈佛数学系访问的许多人都听过他弹奏钢琴。Cohn和Elkies讨论的是球堆积（sphere packing）的问题。也就是说，在一个固定大小的空间里，如何才能放入尽可能多的同样大小的球。他们考虑的不仅仅限于三维空间，而是一般的n维空间。之前他们注意到一位编码学家Delsarte在70年代的用线性规划控制编码大小的工作，因为球堆积可以看成一种纠错码，于是他们想用类似的方法来研究球堆积的问题。他们首先在n维欧式空间上定义特殊Schwarz函数（满足偏导数多项式衰减、傅里叶变换非负等性质），然后证明，每个特殊Schwarz函数，都对应一个n维球堆积密度的上界。也就是说，只要你有办法构造足够多的特殊Schwarz函数，就有可能得到更小的上界，从而越接近最优球堆积密度。

Cohn和Elkies也发现，在8维和24维的时候，他们用数值模拟的线性规划上界和已知的最优球堆积密度几乎相等（比值分别是1.000001 和1.0007071）。于是他们猜测，在8维和24维情形，存在一个绝妙Schwarz函数，刚好实现最优球堆积密度。但是如何找到这个绝妙Schwarz函数，他们思考了很久，也没有找到答案。他们都同意这个问题是一块硬骨头，目前已经取得的结果可以先发表。这项工作成为了Cohn在2000年毕业时的博士论文，后来发表在2003年的《数学年鉴》（Ann. Math.）上。

时间来到2016年，一位名不见经传的女数学家Viazovska解决了8维球堆积的问题。文章一共20多页，其中导引加上模形式介绍占了将近三分之一的篇幅，对读者非常友好，是一篇数学专业大学生就能读懂的论文。Viazovska的突破就在于以意想不到的方式引入模形式，构造了8维和24维空间的绝妙Schwarz函数，解决了Cohn-Elkies的猜想。Sarnak（2014年沃尔夫数学奖获得者）评价Viazovska的工作，“如同所有伟大的事物那样——惊人的简单”。Cohn评价Viazovska是“构造特殊函数的大师”。

Cohn-Elkies和Viazovska的工作都要用到傅里叶变换。这是19世纪法国数学家Fourier在研究热传导方程时引入的一种数学工具。傅里叶变换被广泛应用在信号处理、CT成像等工程领域。它在数学和物理中的更深刻的含义，还有待发掘。一般认为，Langlands纲领和物理中的各种对偶，都可以看做某种形式的傅里叶变换。

说到球堆积，必须提到的一个人，就是Tom Hales，他现在是匹兹堡大学的Mellon讲席教授。他在1998年解决了3维球堆积的问题，也被称为Kepler猜想。其实在3维，8维和24维，都存在明显的最优球堆积的候选方法。比如Kepler猜测，水果摊叠放桔子的方式就是3维空间中密度最大的球堆积，大概能占满74%的空间。但是要证明它们是最优的却极为困难。Hales在一百多页的长文中，把Kepler猜想细分为有限多种情形，每种情形都可以借助计算机验证，从而证明了Kepler猜想。他的论文直到2005年才被《数学年鉴》接收发表。据说十多位审稿人最后认为99%是正确的，但是他们已经无力再继续验证了。后来Hales领导了一个叫做Flyspeck的项目，在2015年实现了Kepler猜想的完全机器证明。Hales对Viazovska有很高的评价，称她是“Ramanujan再世”。

Hales的博士导师是Langlands。他早期的工作主要集中在算术基本引理，解决了一些重要的特殊情形。他的一些想法后来也被用在越南裔数学家吴宝珠（2010年菲尔兹奖得主）证明算术基本引理的工作中。2015年暑假，Hales访问了清华大学、浙江大学和上海交通大学。我和Hales在上海挤地铁，到南京路和外滩走了一圈。他也对中国的高铁赞不绝口。他自谦说，之所以转而研究Kepler猜想，是因为他觉得要比算术基本引理简单一些。

打个比方，Kepler猜想好比一座大山，一般人遇到了，总会想办法找捷径绕过去。如果没有找到捷径，那就只好放弃。而Hales的办法好似愚公移山，用超出常人的勇气把山一点点地给铲平了。被如此评价的数学家我还听过两位，Harish-Chandra和Faltings（1986年菲尔兹奖得主）。

球堆积在编码理论、量子引力、凝聚态物理中也有应用。Hales证明Kepler猜想的文章已经被引用了一千多次，Viazovska解决8维球堆积的文章也被引用了三百多次。

从离散到连续——圆堆积、SLE和Ising（易辛）模型

2006年菲尔兹得主Werner是第一位主要因为概率论的工作获奖的数学家。他的主要成果之一是在Schramm-Loewner演化方面的工作。此后几乎每届都有概率学家获奖——2010年获奖的Smirnov（他是Duminil-Copin的博士导师），2014年获奖的Hairer和2022年获奖的Duminil-Copin。另外，Villani（2010年获奖）和Figalli（2018年获奖）的获奖工作之一“最优传输”，这是一个概率论的问题，在经济学和机器学习中也有重要应用。还有2006年菲尔兹奖得主Okounkov的获奖工作包括随机曲面，以及概率论与表示论和代数几何的联系。

Duminil-Copin的主要获奖工作是对3维和4维Ising模型理论的重要贡献。那我们就来讲讲Ising模型的历史。

概率论曾经并不属于菲尔兹奖所青睐的“主流数学”。这种观念的转变，要归功于一位英年早逝的数学家Oded Schramm（1961-2008），他发现的Schramm-Loewner演化（SLE），变革了概率论和统计力学。

Schramm是拓扑学家Thurston（1982年菲尔兹奖得主）的学生，也算Bott的门生。但是Schramm早年并不研究概率，也不研究拓扑，他研究的是圆堆积（circle packing）问题。圆堆积就是在二维平面上放入有限或无限多个大小不一的圆，它们可以相切，但是内部不能有交集。一个圆堆积对应一个相切图。这个图的顶点与圆一一对应，它们之间存在一条边相连当且仅当两个圆相切。著名的圆堆积定理说，任何有限平面图都可以实现为某个圆堆积的相切图。Schramm写了几篇文章研究更复杂的无限平面图的圆堆积定理。（圆堆积定理的高维情形也还没有完全解决。）

Thurston在1985年猜测，六边形圆堆积可以用来逼近单连通区域到单位圆盘的黎曼共形映射。Rodin和Sullivan在1987年证明了Thurston的猜想。之后圆堆积成为与复分析紧密联系的热门研究领域。Schramm在圆堆积领域写了大约20篇文章，他的主要合作者贺正需（1986年菲尔兹奖得主Freedman的学生）是一位很传奇的华人数学家。

Rodin-Sullivan证明的Thurston猜想是用离散逼近连续的一个例子。物理学家甚至认为我们的时空也是由离散的格点组成，只不过格点的间距趋向于零。所谓的标度极限（scaling limit），就是研究数学和物理中的格点模型，当格点间距趋向于零时的极限。比如格点上的离散随机游走，它的标度极限是连续的布朗运动。另一个著名的例子就是Ising模型，给空间中每个格点赋一个加号（+）或者减号（-），代表两种自旋状态。所有格点可能的自旋状态，组成一个概率空间。Ising模型由德国物理学家Lenz在1920年发明，用来描述铁磁性。他的学生Ising在1924年的博士论文中推导出一维Ising模型的解析解。Ising在1947年前往美国，一直在伊利诺伊州的布拉德利大学任教直到退休。

Ising模型刚开始并没有受到太多关注。这里要提到一位曾在匹兹堡大学学习和工作过的科学家Montroll，他发明的传递矩阵法（transfer matrix），极大推动了Ising模型早期的发展。1937年，刚刚从匹兹堡大学化学系毕业的本科生Elliott Montroll，申请进入匹大数学系学习。他结识了一位刚来匹大任教的瑞士物理学家Gregory Wannier，后者刚刚在普林斯顿大学跟随Wigner（1963年诺贝尔物理学奖得主）做完一年的博士后。Montroll从Wannier那里学习Ising模型。后来Montroll发明了传递矩阵法，这是研究Ising模型的一种重要方法，被用在Krammer与Wannier在1941年发表的关于Ising模型对偶性的重要文章中。

Montroll博士毕业后曾在耶鲁大学做Onsager的博士后，他把自己发明的传递矩阵法告诉了Onsager。1944年，Onsager用传递矩阵法推导出二维Ising模型的解析解。Krammer-Wannier以及Onsager的工作，揭示了Ising模型中所蕴涵的丰富的数学结构，开启了Ising模型研究的热潮。如今，每年都有几百篇文章研究Ising模型及其应用。三维以上的Ising模型目前只有近似解，还没有找到解析解。挪威裔物理化学家Onsager是一位影响遍及数学、物理、化学的奇才。由于在热力学方面的贡献，Onsager曾获得1968年诺贝尔化学奖。Montroll和Onsager有着深厚的友谊，Onsager在1976年去世时，Montroll在《Physics Today》杂志上为他撰写了讣告。

Montroll的研究涉猎很广，包括数学、化学、流体力学和社会学，还曾参与曼哈顿工程。他1946-1950年期间曾在匹大任教，1969年当选美国科学院院士。

Onsager公式揭示了二维Ising模型具有相变性质。也就是在某个温度以上，铁磁性会突然消失。这意味着二维Ising模型的标度极限，在临界温度时，具有一种标度不变性，也就是不断放大局部，和整体几乎一模一样。类似于分形的自相似性。后来人们又猜测，它不仅满足标度不变性，也满足共形不变性。物理学家受此启发，创立了共形场论。

一般介绍Schramm-Loewner演化（SLE）的课程都从Loewner方程讲起，这个方程是Loewner在1923年为了研究复分析里Bieberbach猜想而引入的。其实1999年的时候，Schramm是在研究消圈随机游走（Loop-erased random walk）时发现SLE的，相当于他独立推导并推广了Loewner方程。这是单复变函数与随机过程的完美结合。为研究共形场论提供了重要的数学工具。Schramm与贺正需在1995年合作发表的一篇文章中，建立了圆堆积和随机游走的联系，这也是Schramm此后的研究方向逐渐转向概率论的开始。

SLE有一个正参数k，不同的k对应不同的随机过程。比如k=0对应Loewner演化，k=3对应Ising模型。Schramm在一系列与Lawler和Werner的工作中，建立了SLE丰富的数学理论。比如他们在2000年证明，二维布朗运动的边界具有分形维数4/3，这是分形创始人Mandelbrot在1982年提出的一个猜想。

布朗运动也被称为Wiener过程。Wiener是著名应用数学家、控制论创始人。他1913年博士毕业于哈佛，大部分学术生涯都在麻省理工度过。

拟阵（Matroid）与离散化

许埈珥的主要获奖工作是创立了组合Hodge理论，并解决了关于拟阵的Heron–Rota–Welsh猜想和关于几何格的Dowling–Wilson猜想等。

许埈珥也和哈佛有诸多的联系。他的导师Mustata是Einsenbud的学生，而Einsenbud是MacLane在芝加哥大学的博士。MacLane曾经于1938-1947年在哈佛大学任教。许埈珥自己说，他研究代数几何，是因为受到广中平佑（1966年菲尔兹奖得主）的影响。广中平佑是Zariski在哈佛大学的博士生，他从1968年开始在哈佛任教，直到1992年退休。

下面我们就来讲讲拟阵。

拟阵与几何格其实是相互伴随的两个概念，他们都与线性代数和图论有密切的关系。最早定义拟阵与几何格的是三位来自哈佛的数学家Whitney、MacLane和Birkhoff在上世纪30年代的工作。其中最后这个Birkhoff是数学大师George Birkhoff的儿子。

这里只举一个拟阵的例子。一个有限图的所有不带圈的子图构成的集合，称为图拟阵。

有不少数学家研究拟阵的目的，是希望找到四色定理的一个简单证明。当然Appel-Haken在1976年已经用完全不同的方法证明了四色定理。

许埈珥把Hodge理论应用到组合数学，取得了巨大的成功。另一个例子是热带几何（tropical geometry），每个代数簇X都对应一个热带簇T(X)，并且T(X)的组合性质能反映出X的代数性质。

离散化的浪潮也发生在微分几何中，比如金芳蓉和丘成桐在图上研究离散格林函数、离散Harnack不等式，Ollivier定义了度量空间的Ricci曲率，林勇、陆临渊和丘成桐定义了图的Ricci曲率，顾险峰、丘成桐和章敏研究离散Ricci流等。

素数

四位获奖者中最年轻的Maynard今年只有35岁，他的获奖工作是解决了素数分布的几个难题。Maynard是Heath-Brown的学生，而Heath-Brown的博士导师Alan Baker是1970年菲尔兹奖得主。Maynard继承了英国的数论传统。Alan Baker还有一位学生Coates，是证明费马大定理的Wiles的导师。

说到菲尔兹奖的师徒传承，现在已经来到了第三代。Schwartz (1950)-Grothendieck (1966)-Deligne (1978)，以及Lions (1994)-Villani (2010)-Figalli (2018)，除了Figalli是意大利数学家，其他都是法国数学家。其中Deligne和Figalli都在美国工作过。

张益唐的传奇故事大家都已经听过了。2013年4月17日，张益唐投稿到《数学年鉴》。丘先生从他的老朋友Iwaniec那里得知张益唐的工作，就邀请张益唐在2013年5月13日在哈佛做了一场报告。这是张益唐的工作第一次被公众所知。

2013年11月，Maynard用比张益唐更简单的方法得到了更强的结果。那时他才刚刚博士毕业。之后Maynard就像开了挂一样，在短短几年里做出了好几项同样高水平的工作，所以能拿菲尔兹奖也就不奇怪了。前有陶哲轩，后有Maynard，似乎解析数论的春天又来了。

当然解析数论最核心的问题是素数，最重要的问题是黎曼猜想。Weil曾经说过，“黎曼猜想不是复分析能够解决的，应该看一下迹公式。”Weil所说的迹公式，也叫Selberg迹公式。在黎曼面的情形，Selberg迹公式把拉普拉斯算子的谱与闭测地线的长度联系起来。如果特征值对应黎曼zeta函数的零点，闭测地线对应素数，那么Selberg迹公式就类似于黎曼zeta函数的零点与素数的关系。Selberg迹公式的推广称为Arthur–Selberg迹公式，在算术几何中有重要应用。哈佛大学多年来一直是国际上算术几何的重镇。

Selberg在1950年哈佛大学召开的国际数学家大会上获得菲尔兹奖，他的获奖工作主要是解析数论，包括筛法、素数定理初等证明。这是第一次在美国召开的国际数学家大会，小Birkhoff是大会组委会的主席。当年的另一位菲尔兹奖得主是法国数学家Schwarz，他因创立广义函数论而获奖。Selberg虽然当时在普林斯顿高等研究所工作，但是他的博士学位是在祖国挪威奥斯陆大学获得的。

前面我们讲过Cohn-Elkies引入的关于球堆积的绝妙Schwarz函数，就是以菲尔兹奖得主Schwarz命名的。而Maynard除了素数分布以外的另一项菲尔兹奖获奖工作——他与合作者在2019年证明的关于丢番图逼近（有理数逼近实数）的Duffin-Schaeffer猜想。其中Duffin就是Bott的博士导师。Schaeffer在1930年大学毕业时学的是土木工程，毕业后当了三年高速公路工程师，然后去MIT读了数学博士。在Viazovska和Maynard的工作中都用到傅里叶变换，这不奇怪，因为本身傅里叶分析就是解析数论里的重要工具，比如黎曼Zeta函数就是一个傅里叶级数。而Tate在1950年的博士论文中，引入了拓扑群和数域上的傅里叶分析，是Langlands纲领的发端。“Tate thesis”也是所有代数数论学家的必读经典。Tate-Gross-Elkies三代师徒都是哈佛教授。许埈珥最重要的获奖工作——证明关于拟阵的Heron–Rota–Welsh猜想，其中Rota是MIT教授，著名组合和概率学家。Welsh是英国数学家，对拟阵和Ising模型都有重要贡献。数学和数学家就这样以意想不到却又自然而然的方式，联系在了一起。

1950年时，二战刚结束没多久，百废待兴。许多数学家在二战时，受政府征召，投身军事科研项目。哈佛会议标志着又一段数学黄金时代的开启，也是美国成为世界数学强国的开始。

后记

本文中提到的数学家，若没有特别说明，大都是美籍或在美工作的数学家。不过大多数学家的族谱如果往上追溯，都能追溯到欧洲的数学家。

2022年4月20日，丘先生正式全职加盟清华。这个消息让中国数学家都感到振奋。丘先生希望培养中国本土的菲尔兹奖得主。所谓的本土，应该是在中国获得博士学位或者主要获奖工作是在中国完成的。前者丘先生可能更加看重一点。

亚裔菲尔兹奖得主一共有11位，占全部64位获奖者的17%，包括小平邦彦（1954），广中平佑（1970），丘成桐（1982），森重文（1990），陶哲轩（2006），吴宝珠（2010），Bhargava（2014），Mirzakhani（2014），Birkar（2018），Venkatesh（2018），许埈珥（2022）。但是可以称得上本土的获奖者只有小平邦彦和森重文，他们虽然都是在日本获得的博士学位，但是主要获奖工作都是在美国完成的。

另外，Okounkov为4位2022年的菲尔兹奖得主都写了很通俗的工作介绍。所以本文获奖者的工作我写的不多，主要介绍相关背景。苏联数学家有给中学生上课的传统，对物理也很重视。Okounkov的研究风格继承了苏联数学的传统。我曾经在MIT听过他的报告。报告由Sheffield主持，他说了Okounkov有两个女儿，太太是华尔街基金经理之类的私事。Okounkov好像也没有不高兴。

刘老师和周坚在一系列文章中证明的Marino-Vafa猜想及其推广，与Okounkov及其合作者的工作有些重合。不过都发了顶尖杂志。我想Okounkov应该也是很欣赏刘老师的工作的。

2018年菲尔兹奖得主Birkar最重要的获奖工作，是证明Fano簇的有界性，也被称为BAB猜想。BAB是三个数学家的名字，Alexeev和A. Borisov、L. Borisov兄弟。其中A. Borisov曾经在匹兹堡大学工作，评tenure的时候，系里很想留他，但是学校说他tenure-track期间文章太少没同意。1990年菲尔兹奖得主Jones在80年代的时候没有拿到宾夕法尼亚大学的tenure。可见美国学术界的残酷。

参考文献

[1] 丘成桐，S. Nadis，哈佛数学150年（1825-1975），高等教育出版社。

[2] 刘克峰，鲍特，一个工程师的传奇。

[3] H. Cohn, The work of Maryna Viazovska.

[4] S. Rohde, Oded Schramm. From Circle Packing to SLE.