本篇笔记主要内容来自《音乐是怎样算成的》一书，也参考网上的内容做了补充。介绍五度相生律，纯律和十二平均律的来历，以及五度音圈的用途。附录还对常见乐器的音律原理做了介绍。

音律

弦乐、管乐以及键盘乐器发的乐音本质都是物理学里的机械波的叠加，乐音的音高对应着不同的振动波长(或频率)，乐音的强弱对应振幅。乐音振动频率的变化是连续的，我们知道的七个音符1234567​就是在连续的频率中做离散采样。古希腊哲学家毕达哥拉斯生活的时代(约2600年前)，音乐和算术几何天文都是基本的学科，称为四艺。从这点上讲，可以说音乐是数学的一个分支。

历史上出现过的音乐律制，包括毕达哥拉斯发明的五度相生律（中国称三分损益律）、纯律以及现在通用的十二平均律。

五度相生律

弦乐乐音的音高是由波长决定，而波长又由弦长决定。拨动吉他的一根琴弦，发出的声音是基波和谐波的叠加。不同乐器的乐音是不同的频率声波叠加的效果，通过傅里叶变换把乐音转换到频率域就能比较容易理解这一点。

假设吉他空弦弹拨时的频率为1，按住中间​1/2的位置拨弦，相当于弦长缩短一半，则声音频率为​2（后面会提到这两个音是八度音程Octave），按在​2/3处的频率则为3/2=1.5​(称为五度音程)。分别计算3/2的[-1,0,1,2,3,4,5]次方，即向上生长5次并向下生长1次，得到等比数列[2/3,1,3/2,9/8,27/8,81/16,243/32]，并通过多次乘以2或者除以2把他们变到[1,2]周期间得到​[4/3,1,3/2,9/4,27/16,81/64,243/32]。最后，把这个数列按从小到大排列，得到七声音阶中每个音和频率比例：

上边序列中，相邻两个音之间的频率比例为:

​

两种不同的比例关系中较大的9/8​代表一个全音，较小的256/243​代表一个半音。两个八度间按照"全全半全全全半”排列，具体说来E-F之间和B-C之间是半音关系，其它的音阶之间是全音关系，这种音阶排列称为自然大调音阶，音名标记为CDEFGABC‘，两个C音之间音程是八度，C和G之间音程是纯五度（包含7个半音）。CDEFGAB的音高是绝对的，而唱名为1234567​(DoReMiFaSolLaSi)的音高则是相对的。也就是说Do可以从任何位置开始，但音阶必须服从上边的音程关系。

国际标准音：钢琴中央c上方的a的频率是440Hz。

音阶产生的方法虽如此，但之所以听起来好听，审美背后的原理是频率比例简单的谐波(harmonics)比较和谐悦耳。比如，C调大三和弦135(DoMiSol)，同时发声(柱式和弦)或者依次发声(分解和弦)都好听。

三分损益法

中国古代原创的五音音阶系统，根据百度百科：

在《国语》中，在《管子·地员篇》里，在《吕氏春秋·音律篇》中，分别记述了“三分损益法”的一些内容。按三分损益法生律的次序 ， 求上方五度音之律 ， 古代称为“下生”；求下方四度之律，古代称为“上生”。从一律出发，下生5次，上生6次，便可得出十二律。三分损益，包含“三分损一”、“三分益一”两层含义。三分损一是指将原有长度作3等分而减去其1份，即：原有长度×(3-1)/3=生得长度；而三分益一则是指将原有长度作3等分而增添其1份，即：原有长度×(3+1)/3=生得长度。两种方法可以交替运用、连续运用，各音律就得以辗转相生。

具体说来，把琴弦长度按照2/3和4/3的交替连乘，得到波长的数列

​[1,2/3,8/9,16/27,64/81,128/243,512/729,1024/2187]，

重新从大到小排序，并且取倒数得到7个音的频率排列：

​这就和上面毕达哥拉斯的音阶对应起来了。古代把其中CDEGA对应的五音起了“宫商角徵羽”的名字。注意上面最后一个宫音不是2的整数倍，导致八度间音阶比例变化的不连续。

纯律

纯律与五度相生律不同的是，除了规定纯五度音程（如C和G）频率比为2:3以外，同时规定构成大三度(如C和E)比为4:5，这样制定出各个音高。纯律的最大优点是各音的频率比都是简单的分数，因而声音最为纯和，提琴族无品弦乐器使用纯律调音。 欧洲在16-17世纪时钢琴用的也是纯律。

五度相生律和纯律的问题：五度相生律中两个半音连乘1.0535²=1.1099​并不等于全音关系9/8=​1.125 。三分损益律也不能使两个宫音之间是2倍频率关系。纯律按照2/3和4/3的简单比例关系变换的到的，好听是好听，也存在明显的缺陷：无法转调 ，转为远关系调时容易失准。十二平均律可以克服转调不便的问题。

十二平均律

八度音的频率比例是1:2，把8度音之间离散化为12个数的等比数列，半音频率比值为2的1/12次方即2^(1/12)≈1.059​。由明朝律学家朱载堉(据说是明太祖八世孙)所提出，早于西方五十年出现。在没有计算器的时代，古人应该是用算盘计算开方的。这样完整的十二个平均音阶就可以让十二个调性圆满转换，钢琴是十二平均律的典型乐器。钢琴上每个半音具有同等地位，因此这种音律在转调频繁的作品中很有优势。十二平均律演奏旋律与人歌唱的音高不同。和声也不协和，当时有很多音乐家反对，后来由于巴赫的提倡，才逐渐普及。

经过计算频率和五度相生的频率近似相等。平均律的出现虽然解决了转调问题，却也产生另一个和音不够完美的问题，毕竟五度音的比例2^(7/12)只近似等于3/2。

五度相生律（中国五声音阶）、纯律和十二平均律的音阶频率总结如下表：

自然大调音阶：

半音音阶由八度的所有12个半音组成：

用全全半全全全半的规律在这个序列中“重新取样“，音调总是按照最低那个乐音来命名的，就会得的12种大调音调(Major scale)的音阶排列。比如G大调音阶的排列是，G A B C D E ​#F G’  。1=G表示其中G的唱名是Do，这叫首调唱名法；如果唱Sol，就是固定唱名法。

自然小调音阶：

如果把大调音阶种的第三和第六个音降低半音，就得到自然小调音阶(Minor scale)，相邻音之间的音程为全半全全半全全，a小调就是正好是C大调降低3个半音得到的，和C大调音阶相同，但主音不同。C大调主音是Do，a小调主音是La。自然大调音阶听起来明亮、轻快，自然小调音阶听起来温柔，略带悲伤。两种调性听起来有不同的听觉感受。C大调和a小调称为关系大小调(平行大小调)。下面五度音圈中的外圈大调对应的内圈位置上就是他们的关系小调。关系大小调中包含的七个音是完全一样的，调号不变，只是排列顺序不同。

五度音圈：

五度音程简单说就是Do与Sol之间的关系，它是如此重要以至于人们搞出一个五度音圈。如果把上面的音程按照3:2的递增关系即每次升纯五度(7个半音)，顺时针画在钟表表盘上，逆时针方向是一次降纯五度，得到如下五度音圈。把大调对应的关系小调写在内圈。

按照五度音圈的以C为中心按顺时针顺序把大调音阶排列出来：

其实一共有15个调，三个是重合的。五度圈从C开始：顺时针方向，升调号​#依次出现的顺序是FCGDAEB；逆时针方向，降调号b​出现的顺序是BEADGCF。五线谱的曲谱开头的升降号出现的次序和位置，就是从五度圈来的。

五度圈上靠的越近的调，关系越近；离的越远的调关系越远，这也包括外圈大调和内圈小调在内，比如C和Am以及F，G挨得很近，它在编配和弦以及即兴伴奏的时候有用，比如常用的和弦进行4536251，就是指F-G-Em-Am-Dm-G-C，它们在五度圈上紧挨在一起。实际上C-G是升五度，而G-C‘是升四度，所以五度圈按照逆时针看是升四度关系，所以也叫四度圈。

参考和注释：

【1】《音乐是怎样算成的》Music By The Numbers [以色列] 阿里·马奥尔, Eli Maor 译者: 张岭， 后浪丨北京联合出版公司，2020-12

这本科普书除了介绍音律的历史，也试图讲音乐和科学的关系。历史上的科学家都试图设计新的音律系统，比如牛顿。热衷于平均律的巴赫创作了《平均律钢琴曲集》(Well-Tempered Clavier)，而勋伯格却像爱因斯坦创立相对论一样不走寻常路，创作了不少所谓无调性的音列音乐，在作者听来像是“旋律碎片”的堆砌。我也在网上找来听了，确实无法像常听的古典名曲那样跟着哼出调来。

【2】《基本乐理通用教材》 李重光编著，北京：高等教育出版社，2004.8

其中第六讲介绍音程

乐音体系中，两个音之间的高低关系叫音程。音程的两个音，高的音叫冠音，低的叫根音。音程两个音先后发声的叫旋律音程，同时发生的叫和声音程。音程的名称是由音程度数和音数决定的。音程的大小衡量单位是度，音程中两个音之间包含的在五线谱上线与间的数目叫度数，比如Do和​高音Do​是八度音程。而音程中的两个音所包含的全音的数目，叫音数，用分数整数和带分数表示，比如3-4之间是半音关系，音数是1/2。

音程性质表：

识别音程必须从音数和度数两个方面去考虑。增四度和减五度，都包括三个全音，音数相同但度数不同。

尽管​E和F是等音，但C和 ​E是三度，而C和F是四度。顺口溜：一四五八没大小，二三六七没有纯。

【3】关于中国五声音阶

在五声音阶基础上，每处音的区间可以插入不同的附加音（偏音）。偏音比正音低半音时叫“变”，如变徵、变宫；偏音比正音高半音时叫“清”，如清角、清商、清羽。常用的偏音有四个，除了表中列出的唱名​4和​7对应的清角和变宫， 另外​#4(升Fa)和​b7(降Si)两个偏音的名称分别是变徵和清羽。《史记·刺客列传》：“高渐离击筑，荆柯和而歌，为变徵之声，士皆垂泪涕泣。”

关于闰：闰就是双，是再变之意，宫音降两个变音就是闰宫。因为那时没有等程律的概念，也就是说两个相距大二度音程的音，低音升半音与高音降半音是分别的两个音，音高并不相同。在这个意义上讲，清羽和闰宫是有区别的。同理，角、徵之间的清角和变徵，羽宫之间是清羽和变宫，一个是靠近低音，一个是靠近高音。

五声音阶民歌如 《茉莉花》《康定情歌》《小河淌水》。许多著名的作曲家都以五声音阶谱曲。早期的如贺绿汀为电影《马路天使》谱写的《四季歌》等插曲，解放前后的许多创作歌曲如《团结就是力量》、《中国人民志愿军战歌》、《草原上升起不落的红太阳》等不胜枚举。冼星海有所不同，他是在法国接受音乐教育的，他创作的如《在太行山上》等就不是五声音阶的。当他奔赴延安后，受到民歌的影响，创作的《黄河大合唱》中的《黄水谣》、《黄河颂》等虽然还带有西洋音乐的所谓学院派的影响，但五声音阶的曲谱显现了强烈的民族特色。

附录：

像科技行业产品经理做市场分析一样对常见乐器进行了调研。

口琴

二十四孔复音口琴：最容易入门的乐器之一（依笔者经验，难度仅比吹口哨略高一些）。每个音孔的上下两个发声簧片音高相同，但是振动时振幅和频率有微小的差别，混合起来产生优美的音色。所有的135音一定是用吹，其它2467音用吸，所以在除了中音区意外的排列有些乱。只有自然音阶，无法吹出半音。转调需要12把口琴。下图是C调24孔复音口琴的音孔排列：

十孔口琴：每个孔吹和吸对应的音不同，就是说每个孔有两种音。因为可以通过压音（Bending，类似吉他演奏中的推弦）的方法吹或吸出半音，方便转调，比如G调。源自于美国南方黑人音乐的布鲁斯音阶（Blues Scale）由6个音组成：[1,b3,4,b5,5,b7]，其中包含半音。十孔口琴在第二把位和其他把位上通过压音技巧获得的音色十分独特，很适合演奏blues音乐，所以又称布鲁斯口琴或蓝调口琴。

C调口琴的音孔排列如下图，所谓第一把位：

其中低音区没有4和6，需要通过特殊的压音技巧在上下两个音高之间"插值"得到想要的音。另有爱尔兰音阶十孔口琴把三孔吹的5替换成6，称为Paddy音阶，而且三孔一起吹会得到除了135和弦之外的新和弦(136或者361)。

C调口琴转调为G调时的音孔排列如下图，所谓第二把位（因为五度圈上G紧挨着C）：

原本用吹的音135变成了461排列，本来的G音变成了1(Do)。布鲁斯音阶[1,b3,4,b5,5,b7]在低音区很容易找到，在中和高音区则需要使用压音技巧得到。

还有一种半音阶口琴，包含了一个机械结构，可以通过按钮切换成另一排发出半音的簧片。

吉他

标准的十二平均律乐器。同一根弦上相邻品格(Fret)间是半音关系。六根弦的空弦音从低到高的音高是EADGBE‘，是纯四度和大三度(G-B)关系，这样有很多品格处的音高是相同的。可以从任何一个品格开始，按照全全半全全全半的规律弹出12345671的音，手指不必上下移来移去，只要前后移动到其它弦上就能找到同样的音。见下面的吉他琴颈的指板图。

空弦音和第12品格是八度音程，而第12品格的位置正好在弦的中点处，7品和空弦是五度音程大约在弦的2/3处，假设空弦音是1，那么7品和12品就是5和​高音1。音高和弦长的关系表明古人早已发现的音乐和几何的联系，不禁想到毕达哥拉斯诚不我欺啊。

钢琴

八度黑白键一共12个键。自然大调音阶CDEFGABC​，钢琴相邻琴键间(包括黑和白键)是半音关系。

C调和变调后的键盘位置，下图分别以C调，D调，F调和G调为例：

有趣的是#F调时黑键对应12356，恰好是中国音乐的五声音阶：宫商角徵羽。可以用来弹奏茉莉花、梁祝和沧海一声笑等。