学过循环小数之后，很多时候人们都会有一个疑问：看似比1小一点的0.999……为什么等于1？虽然对于0.999……=1这个结论，人们能看到多种版本的论证，但在直觉上似乎难以接受。那么，为什么会产生这样一种现象？对于直觉上难以接受0.999……=1的人，我们只能责怪他们对于这个事实理解不够深刻吗？

本文将简要介绍我针对该问题的一些思考结果，以供商榷，我的主要观点是：

循环小数并非是数字的一个严格表现形式，专业的数学书籍从来都不会出现循环小数这个概念。一些数学课本中不得不引入循环小数，是为了解决分数与小数一一对应的问题，只是一个权益之计，而这个权益之计的副作用就是产生0.999……=1这种与直觉不符的结果。

有理数：

有理数是指能写作p/q的数字，这里的p,q均为整数。如果再要求p, q互素，那么，有理数就有唯一的p/q表现形式。利用这种表现形式，人们可对有理数比较大小，做各种运算。但实际应用中，因为小数比较大小更直观，所以，人们也采用小数作为有理数的另一种表现形式。小数很容易写成p/q的形式，所以，也很自然的溶于有理数的体系中。但是，当人们试图把所有有理数用小数表达的时候，问题就出现了。例如，1/2很容易写成0.5，但1/3却不能用有限小数表达，于是，人们不得不引入循环小数的概念，而且有些课本会告诉我们循环小数是一个有理数。

循环小数：

如前所述，因为循环小数并非是一个数字的严格表现形式。所以，我们之前针对小数所制定的规则， 例如：比较大小、运算等，都不能直接扩展到循环小数上。想一想你是否知道如何计算0.333……+0.888……？

其实，从今天的观点来看，循环小数可以看作是一个序列，或者是一个无穷求和，例如：

0.999……=0.9+0.09+0.009+……

上述求和是一个无穷等比数列求和，根据微积分中的收敛概念，可知上述求和收敛到1. 同样的，如果我们想说清楚一般的循环小数是有理数，也需要用到微积分中epsilon-delta语言，而这个语言一直到维尔斯特拉斯时代才出现，而我们的小学课本，就已经告诉我们这个结论了。

写到这里，我不禁想到一个问题：

什么样的有理数p/q只能用循环小数去表示？

有兴趣的读者可以思考一下。

顺便说一下：如前所述，循环小数是一个只在数学课本，却不会在专业数学书籍中出现的概念。而另一个只在数学课本，却不在（或极少在）专业数学书籍中出现的概念是黎曼积分。而这将是另外一个需要专门探讨的问题。