跨越时空的求和 .pdf

 (因为有较多的数学公式，上面的pdf 文件可能更适合阅读)

1777年出生的高斯，7岁进入小学开始学习。很快，他的数学天赋吸引了老师的注意。一个广为流传的故事是年少的高斯曾经计算出$1+2+\cdots+100=5050.$  我们知道，高斯的做法是注意$1+100=2+99=\cdots=50+51=101$。那么，从1加到100就为${(100\times 101)}/{2}=5050$。

虽然人们对高斯求和故事的真实性存疑, 但这个故事仍然广为流传，甚至于被编入教科书中，激励了无数青年学子。用与高斯求和类似的方法, 我们也很容易得到$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$今天我们知道,上述公式只是等差数列求和公式的特例。而将其推广，就容易得到平方和公$G_n:=1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$

   高斯的故事发生在他7岁的时候，也就是1783年。就在那一年，一位令后人无限景仰的数学家，结束了他勤奋工作的一生，这个人就是欧拉。欧拉一生著作浩如烟海,因为工作过于勤奋, 晚年眼睛失明。然而，即使失明之后，欧拉依然保持着惊人的多产。数学是无限的，而人的生命是有限的，勤奋且多产的欧拉向世人展示了如何把有限的生命投入到无限的数学中去。欧拉工作专注力极好，经常孩子在他身边喧闹，他却专注的书写论文。却也真正回答了这个两难问题：“世间安得两全法，不负数学不负娃？”。

欧拉出生于1707年， 小时候就展现出过人的天赋，但真正令他成名的却是一个求和问题的解决。我们简要介绍这个问题。令$\zeta(2)=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots.$ 计算$\zeta(2)$的值被称为Basel问题。多个著名的数学家为之努力，但均未获得成功，其中包括伯努利三兄弟、莱布尼兹、斯特林等。1735年，年仅28岁的欧拉证明了$\zeta(2)=\pi^2/6$。这一工作使年轻的欧拉颇负盛名。

对于等差数列的求和, 令年幼的高斯展现出过人的天赋，以至今天演变为脍炙人口的故事。而对$\zeta(2)$的求和，则是一个高水准的数学研究工作，令年少的欧拉名声大振。今天，高斯和欧拉都是大名鼎鼎的数学大师。如同这两个发生于不同年代的故事一样，$G_n$和$\zeta(2)$表面上看没有任何关联。然而,我们将看到，这两个求和其实是一个硬币的两面。而连接这两个公式的则是泊松求和公式。

就在欧拉证明了$\zeta(2)=\pi^2/6$之后46年，高斯上小学的前两年，也就是1781年，泊松出生了。很多人都是在中学物理教科书里第一次看到泊松的名字。19世纪初期，人们对光的波动性与粒子性争论不休。泊松以数学家的严谨证明了，倘若光的波动说正确，那么, 当把一个小圆盘放在特定的光束中时，就会在小圆盘后面屏幕上盘影的中心出现亮斑，而这和我们生活经验是违背的。泊松的本意是为驳倒光的波动说而构造一个“反例”。然而，随后人们在实验中观测到了这个亮斑，这反倒成为波动说成立的强力证据。我们今天也称这种亮斑为“泊松亮斑”。

泊松对数学的贡献颇多，其中最为著名的当属 泊松 求和公式。而一些数学家甚至认为， 泊松求和公式

是数学中最漂亮的公式。我们下面简要介绍这个公式。对于函数$f$，若表示其Fourier变换为$\hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\exp(-2\pi i\omega x)dx.$

泊松求和公式说$\sum_{k\in {\mathbb Z}} f(k)\,\,=\,\, \sum_{k\in {\mathbb Z}}\hat{f}(k).$

这个公式连接了时域与频域的求和，如同连接着两个不同世界的桥梁。

当然，为保证这个公式严格成立，我们需要加一定的条件。一组充分条件是$f\in L^1(\R)\cap L^2(\R),$

且$\hat{f}(\omega)=O({1}/{(1+|\omega|^2)}).$

我们现在看一下如何用泊松求和公式计算$\zeta(2)$,这能让人对 泊松 和产生直接的感觉。我们需要借助来源于高阶等差数列求和公式的如下公式：$G_n:=1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$我们首先构造如下的函数$f(x)= \begin{cases}(n-|x|)^2&  \hbox{ $|x|\leq n$, } \\0  &  \hbox{$|x| \geq n$}.\end{cases}$ 那么，一个简单的计算显示，$\hat{f}(\omega)=-\frac{\sin(2\pi n\omega)-2\pi n \omega{2\pi^3\omega^3}.$ 根据 泊松  求和公式， 我们有$G_n+G_{n-1}=\sum_{k\in {\mathbb Z}} f(k)=\sum_{k\in {\mathbb Z}}\hat{f}(k)=4n^3+\frac{2}{\pi^2}\sum_{k\geq 1}\frac{1}{k^2}.$

 将 $G_n$ 的表达形式带入，我们可得 $\zeta(2)=\pi^2/6$。在这里，我们可看到 泊松求和公式连接了一个初等和一个高等的求和。我们还可以尝试构造不同的函数， 可以发现 泊松 求和公式会$1^3+2^3+\cdots+n^3$ 和另外一个求和相连接，那也是欧拉在他的名著《无穷小分析》里详细讨论的一类求和...