时空如何成为量子纠错码

                                                                          Natalie Wolchover

1994，AT&T研究部，数学家Peter Shor发现，量子计算机这样的假想的设备可以快速地把很大的数做因子化，从而破解了很多现代的密码学机制。但是还有一个基本的问题，阻碍着量子计算机的建立，那就是其物理组分——量子比特固有的脆弱性。

不像普通计算机中的记录信息的双比特，量子比特是有叠加性质的，同时可以有概率在两个态上。当量子比特之间发生相互作用，这两个可能的态之间会相互依赖。这种情形在量子比特的纠缠越来越多的时候就越能体现出来。保持并且操控这些指数增长的纠缠的复杂性，正是量子计算机理论上如此强大的根源。

但是量子比特是极其容易出错的。极弱的磁场或微波脉冲导致它们发生比特翻转，改变它们相对其它态成为|0>和|1>的几率；或者相位翻转，改变两个态之间的数学关系。为了使量子计算机工作，科学家们必须找到保护信息的方法，即使单个的比特遭到干扰而损坏。而且，这些方法必须在不测量量子比特的前提下，能探测并纠正错误，因为测量操作会使的量子比特的共存几率塌缩到某个特定的态上，即平凡的0或者1，不能再用来做量子计算。

1995年，Shor在提出他的素因子分解算法之后，和另一位科学家，证明了量子纠错码的存在性。计算机科学家Dorit Aharonov和Michael Ben-Or一年后证明了这些纠错码理论上可以使得出错率接近0.“这是90年代的核心发现，也使得人们相信现实级别的量子计算是完全有可能的。”Scott Aaronson，德州大学一位顶级量子计算机学家，如是说，“这仅仅是一个比较复杂的工程上的问题。”

现如今，虽然小尺度的量子计算机在世界各地的实验室里已经开始被制造出来，但是真正能超越普通的经典计算机的，还需要很多年的努力。现实中量子比特巨大的出错率，迫使人们需要远比现如今更加有效的量子纠错码。设计更好的纠错码是“这个领域主要攻关难题之一”，Aaronson说，当然还有随之需要提升的硬件设备。

在过去25年里，人们一直在不懈追求这样的纠错码。一件有趣的事情终于在2014年发生了，物理学家们发现量子纠错和时空引力的本质有深刻的联系。在爱因斯坦的广义相对论里，引力定义为时间和空间的“编织”结构（fabric）——或者称之为“时空”——在大质量物体周围发生弯曲。（一个球投掷到空气中沿着一条直线在时空中运动，而轨迹最终会弯回地球。）但虽然有这样强大的理论，物理学家们仍然相信引力一定有更深层次的、量子的起源，告诉我们时空结构是如何从量子的本质涌现（emergence）出来的。

2014年，三位年轻的量子引力领域研究者得到一个令人吃惊的发现。他们的思考基于理论物理中的一个时空背景——反德西塔时空（Anti-de Sitter space），一种（有边界的）宇宙的玩具模型，该模型具有全息的特征。在这样的模型下，宇宙内部的时空结构是一个从其边界上的纠缠量子态出发得到的投影。Ahmed Almheiri，董希和Daniel Harlow做了相关的计算，表明这种全息“涌现”的机制就和一种量子纠错码十分相似。在Journal of High Energy Physics杂志上的文章里，他们猜想，时空本身就是一种纠错码——至少在反德西塔宇宙中如此。该文章引发了量子引力领域的一阵浪潮，随后揭示时空性质的新的量子纠错码亦相继被发现。

John Preskill，加州理工学院的理论物理学家，说量子纠错解释了时空是如何达到其固有的鲁棒性（intrinsic robustness），尽管是从量子的情形中编织出来的。“我们并不是谨小慎微以保证时空几何不散架，”Preskill说道，“我认为这种时空几何与量子纠错的联系是我们拥有现在这样的宇宙的最深刻的解释。”

量子纠错的语言也开始使得研究者探索黑洞的神秘之处：黑洞的球形区域里时空发生巨大弯曲，即使是光也无法逃脱。“一切问题都归结到黑洞，”现为普林斯顿高等研究院的Almheiri说道。这些充满佯谬的地方正是引力起至关重要而爱因斯坦的广义相对论失效的地方。他说：“有一些迹象表明，如果你理解了时空实现的是何种量子纠错码，那么或许能帮助我们理解黑洞内部。”

顺带的一个好处是，研究者也期望全息的时空观或许能指点通向现实级别的量子计算，完成Shor等人很久以前的远见。“时空比我们聪明的多，”Almheiri说，“在时空构建机制中的量子纠错码是极其有效的。”

那么，量子纠错码如何工作呢？保护信息的关键，在于不再把信息存在独立的量子比特里面，而是存储在许许多多量子比特的纠缠模式当中。

举一个简单的例子，考虑一个三比特的编码：使用三个物理的量子比特来保护一个单独的逻辑比特，以防止比特翻转。（该编码对量子纠错并非十分有用，因为它不能防止相位翻转，但这个例子十分便于阐明。）逻辑量子比特的|0>对应于三个物理的量子比特都出于各自的|0>态上，同理|1>对应于三个量子比特都处于|1>态上。此时这个系统是这样的两种状态的叠加，写作|000>+|111>.但是如果其中一个量子比特发生了比特翻转，我们如何能探测并纠正这个错误而不必直接测量任意一个量子比特呢？

这些量子比特可以通过量子电路中的两个门连通起来。一个门检查第一和第二个物理比特的“宇称”（译者注：这里的宇称指两个比特是否在同一个态，如00，11，则宇称相同，01、10则为不同）——相同或者不同——另一个门检查第一个和第三个物理比特的“宇称”。没有错误发生的时候（即量子比特处于叠加态|000>+|111>），测量宇称的门可以告知我们一二和一三比特的宇称均为相同。但如果第一个物理比特不小心翻转了，导致系统态变成|100>+|011>，这两个门会探测到两对量子比特的宇称均不相同。如果是第二个量子比特发生了翻转，导致系统态成为|010>+|101>，宇称测量的门会发现，一二宇称不同，但一三宇称相同。类似，如果第三个量子比特反转，则探测结果为一二相同，一三不同。这样唯一的结果告诉我们，如果需要的话应该采用怎样的纠正手段，使第一第二或者第三个量子比特翻转回去，而整个逻辑量子比特不发生塌缩。“量子纠错对我而言是一个魔术！”Almheiri如是说道。

最好的纠错码可以从略微多于一半物理比特当中恢复所有的信息即使其余的比特都被破坏。这个事实提示了Almheiri，董希和Harlow，在2014年的工作（简称ADH）中提出量子纠错可能与反德西塔时空从量子纠缠中涌现出来的方式有关。

反德西塔时空的几何和我们现实中的宇宙——“德西塔”宇宙是不同的。我们的宇宙充满了正的真空能量，使得宇宙膨胀，而反德西塔时空有负的真空能量，使得该模型里面的双曲几何达到一个形象上类似艺术家M.C.埃舍尔的“圆极限”的木刻设计的情形。埃舍尔的镶嵌的鱼形象在远离圆的中心的时候变得越来越小，最终消失在边界圆周上；类似的，空间维度从反德西塔空间的中心放射出来，最终消失在宇宙外边界上。自从1997年著名物理学家Juan Maldacena发现反德西塔时空内部可以全息对偶到低维无引力的边界，反德西塔时空就开始在量子引力学界备受关注。

在过去的二十年里，许多物理学家探索这样的对偶性质如何运行。Almheiri和同事注意到任意一个反德西塔时空内部的点都可从略大于半个的边界上出发构建出来——正如一个优化的量子纠错码从略大于一半的物理量子比特中重建出所有信息一样。

在ADH中，全息时空和量子纠错是被猜想是完全相同的。文中描述即使是一个简单的编码也可以被理解成两维的全息图。它有三个“量子三态比特（qutrits）”组成——每个三态比特可以处于三个态中的一个——三个三态比特位于圆周上的等距的三个点上。三态比特的纠缠三重奏编码了一个逻辑三态比特，对应于圆心的单个时空点。这个编码保护了该点，避免其因任何一个三态比特的破坏而破坏。

当然，单个点对整个宇宙而言并非全部。2015年，Harlow，Preskill，Fernando Pastawski和Beni Yoshida发现了另一套全息编码，昵称“HaPPY code”，这套编码抓住了反德西塔时空的更多特性。编码用五边形的砖块填充空间，“就像小小万能工匠（little Tinkertoys）”，斯坦福大学的领域著名学者Patrick Hayden说道，“每个小块表示一个时空点，这些砖块扮演着埃舍尔镶嵌图中鱼的角色。”

在HaPPY码和其它已被发现的全息纠错策略中，所有处于一个被称之为“纠缠楔”的时空区域的内部的点都可以从相邻的边界区域的量子比特中重建出来。交叠的边界区域会有交叠的纠缠楔，正如量子计算机中的一个逻辑比特可以从很多不同的物理比特子集中重建出来。Hayden说，“这正是纠错性质的来源。”

“量子纠错给我们一个更普遍的方式，用编码的语言来思考几何，”Preskill说，“同样的语言，应当能被用在更普遍的情境中去。”——特别的，像我们现实中的德西塔宇宙。但是德西塔时空，缺乏空间上的边界，目前来看想从全息的角度理解是十分困难的。

现在，研究者如Almheiri，Harlow和Hayden还在反德西塔空间中探索，因为其蕴含许多和德西塔空间相同的性质但是更加易于研究。两种几何都存在于广义相对论中，不同之处在于弯曲的方向不一样。或许最重要的是，这两种宇宙都包含黑洞。“引力最基本的性质在于黑洞的存在，”Harlow说，目前他是MIT的助理教授，“这正是引力不同于其余所用相互作用的地方，也是为什么量子引力十分困难的原因。”

量子纠错的语言提供了一种描述黑洞的新方式。“黑洞的存在被定义为纠错性质的破坏。”Hayden说，“当发生太多错误的时候，你就不再能追踪在时空区域的内部到底发生了什么，于是你得到了黑洞。这有点像我们无法知晓的信息的一个汇聚点。”

涉及到黑洞内部的时候，到处都是不可知。Stephen Hawking1974年关于黑洞辐射从而导致黑洞蒸发的发现，引发了所谓的“黑洞信息悖论”。物理学家需要一个量子的引力理论来理解掉到黑洞里面的东西如何又跑出来。这个争议可能于宇宙学和宇宙诞生有关，因为宇宙从奇点开始的大爆炸像极了物质引力塌缩成黑洞的逆过程。

反德西塔空间简化了信息问题。既然反德西塔宇宙的边界是全息对偶到内部的一切，包括黑洞，掉入黑洞的信息就已经被保证不会丢失；信息总是全息地编码在边界上。计算表明为了从边界上的量子比特重建关于黑洞内部的信息，需要已知大概整个边界的3/4以上的纠缠比特。“此时简简单单略大于一半是不再足够的，”Almheiri说道。他补充说，3/4以上的需求似是暗藏一些量子引力的玄机，但这个分数为什么会出现“仍然是个开放问题。”

Almheiri成名于2012年，这位高高瘦瘦的酋长国的物理学家和三个合作者加剧了信息悖论的严重性。他们的论证暗示了信息可能会被挡在黑洞视界之外，即所谓的“火墙”。和大多数物理学家一样，Almheiri自己也并不真的相信黑洞火墙的存在，但是找到证明这一点的办法却很难。现在，他认为量子纠错是阻止火墙形成的要素，因其保护信息，即使信息通过黑洞视界。在他个人的最近的工作中，他阐述了对于“两口”黑洞，也即虫洞（wormhole），量子纠错是“保持时空在视界处平滑的关键”。他猜测，除了防止火墙出现，量子纠错也是量子比特在掉进黑洞后，通过黑洞内部和外部纠缠再逃离黑洞的关键。这可能能解决霍金的悖论。

从物理的一端，我们现实的德西塔宇宙能否被带有量子比特和编码的全息图像来描述还是有待解决的问题。在2018年夏天的一篇文章里，现于加州大学圣芭芭拉的董希和合作者Eva Silverstein，Gonzalo Torroba在德西塔时空里尝试做简单的全息描述。研究者仍然在研究这个特别的提议，但是Preskill认为量子纠错的语言会最终应用于对现实的时空的研究。

“纠缠是使空间紧密不可分的的关键，”他说，“如果你想从小的碎片编织出时空，你必须以正确的方式把它们纠缠到一起。正确的方式就是建立一套（正确的）量子纠错码。”

本文翻译自Quantum Magazine 2019年1月3日文章：Natalie Wolchover：How space and time could be a quantum error-correcting code. 其中略微有所删改。