零、先思考一个问题

      我们经常说地震数据的主频是多少。那么什么是主频呢？

一、ricker子波简介

      ricker子波是地震勘探中常用的子波类型，那么ricker子波是怎么来的呢？ricker子波是基于波动方程严格推导得到的，ricker子波最常用的表达式（式1）为

式中，t为时间(s)， $f_{0}$ 为主频(Hz)。Yanghua Wang教授（英国帝国理工大学）对ricker子波进行了详细分析，他用的ricker子波表达式（式2）为

式中， $\tau$ 为时间(s)， $\omega _{p}$ 为最大能量频率(弧度/s)。式1与式2是等价的， $\omega _{p}=2\pi f_{0}$ 。

       形式上ricker子波是高斯函数的二阶导数，高斯函数可以表示为

式中，c为标准差。取

可得

可以看出，f(t)的二阶导数就是ricker子波。

二、时间域宽度

      王教授基于式2对ricker子波进行了解析分析，在时间域定义了子波的宽度。

      ricker子波表达式的最大值为1，取r=1/2可以得到对应的 $\tau$ 值。推导我们不管，结论（式3）是

对30Hz的ricker子波而言， $\omega _{p}=2\pi *30$ ， $2\tau _{b}\approx 9.4ms$ ，如图1所示。

图1

三、频带与中心频率

       对式2进行傅立叶变换可以得到ricker子波的频率域表达式。

       1、可以证明的是，峰值频率 $\omega$ 等于最大能量频率 $\omega _{p}$ 。

       2、同样利用ricker子波频率域最大振幅的一半，可以求出子波频带为

。

            频带的中心频率为 $\omega _{c}\approx 1.059095\omega _{p}$ ，可以看出中心频率是大于最大能量频率的（峰值频率）的。

            频带的半宽度为 $\omega _{b}\approx 0.577472\omega _{p}$ 。

        对于30Hz（ $\omega _{p}=2\pi *30$ ）的ricker子波而言，频带宽度为34.67Hz（217.7rad/s）。需要注意的是，上述分析结果都是理论推导得到的，也就是说频带与中心频率都是理论参数。

四、参考文献

1. Yanghua Wang. Frequencies of the Ricker wavelet[J]. Geophysics, 2015.