为位上之数补充一个符号?

摘要：?是位上十个格子里都装了digit、digital的这样一种存放格局和状态；?进位后，digit在上位占1个格子（为1）、本位没占据任何一个格子（为0）这样一种存放格局和状态,它们的数值都是10。              

           
  自然数无论用二进制、十进制还是几进制表示出来，本质上都是从0开始+1的次数。本文只讨论十进制的自然数，它是一个从左向右排列的位上之数的序列。这个序列短至1位，长至10位乃至100位，並无限制。而每个位都用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个阿拉伯数字显示其本位之数。所以习惯上，数字又称为阿拉伯数字，这大体上是对的。但是本文要说的是：在计算和处理数字的过程中，如果只会用这十个阿拉伯数字，是有很大的缺憾和不足的。
  众所周知，在每个位中，都还隐藏着一个数：它在(上下位之间)进位、借位时，是必不可少的。进位前，这个数藏在这里；借位后，这个数也藏在这里。而上下位之间传递的数，正是它！上下位之间的进位和借位，是所有数位之间数字传送的唯一通道。数值上这个数在上位为1，在本位的10，它们都直接被存放在本位之中，而且只占据一位之地。或曰，它是位上除0、1、2、3、4、5、6、7、8、9之外的一个一位数。注意，10若用阿拉伯数字表示出来，它是一个两位数：因此，它无法在位中存放。反过来讲，在位上，我们也不可能用阿拉伯数字的形式储存这些数。而事实上，我们的数位已经做到了这一点！为此，我们拟订了一个符号，它是在汉字十外面加了个圆：?，读十，是一位数，但在数值上，?=10。?与10两者的数值虽然相等，但是它们在本位与上位数字的存放格局与状态却不同。?属于本位，是本位之10；10则属于上位，是上位之1。所以，?它与0、1、2、3、4、5、6、7、8、9一样都是位上之数，都是一位数。
  位上之数的模型是十个存放本位数的单位digit的格子。我们用一个红点代表一个digit，哪个空格点了红点，表示那个格子里填入了一个digit。或曰，本位+1了。当位上所有十个格子里都没有装digit时，本位读数为0:

本位+1，1个digit填入1格，本位读数为1:

本位再+1，又一个digit填入1格，本位读数为2:

本位再+1，又一个digit填入1格，本位读数为3:

本位再+1，又一个digit填入1格，本位读数为4:

本位再+1，又一个digit填入1格，本位读数为5:

本位再+1，又一个digit填入1格，本位读数为6：

本位再+1，又一个digit填入1格，本位读数为7：

本位再+1，又一个digit.填入1格，本位读数为8：



本位再+1，又一个digit填入1格，本位读数为9：

本位再+1，又一个digit填入1格，十格全部填滿了digit，本位读数为十，其数值用阿拉伯数字写出是10，却不能说它就是10，我们只能而且必须将它记作?：

 之所以不能说它就是10，乃是因为这个阿拉伯数字10，其实，它所表示的是?进位之后的情况：上位上为1、本位上为0这种情况：

N+1位：

N位：

10没有、也无法表达进位前的情况，即上图十个格子里全部装了digit的这个情况。这种进位前的情况，历来就没有得到表示、或者没有得到正確表示。
  为此，我们在研究过程中，专门设计了这个记号?，就是为了表示位上之数这样的一种存放格局和状态。
  至?时，由于本位十格已满，欲再+1、即欲填入新数已不可能。唯一办法是将十格之数送进上位：?→0L+1：本位之数被清空回到0，方才可继续存放新的digit，而上位+1，这样做之后，数值上保持不变，仍然是10，但是位上之数的存放格局和状态却变化了，如上图所示。这个过程就是进位。进位改变的是位上之数的存放格局和状态，却没有改变数值，进位前后都是10。
  与?有关的操作规则,除了进位，还有借位。故共有两个，一曰C，一曰B。C是进位，是Carry的缩写；B是借位，是Borrow的缩写。还要用一个大写字母L表示上位。L是left-place即左位的缩写。这是因为，上位位于本位(this-place)的左侧。这两个规则写出来是这样的：

C:?→0L+1;
B:0→?L-1;

  已如上述，进位是将本位的?传到上位而本位变为0令上位+1；
  借位是从上位借个1来即上位-1，将本位的0变为?。
  没有这个位上之十的符号?，单凭阿拉伯数字1和10，几乎不可能将进位和借位说清楚。因为，1、10都只是数值，而且只涉及位上之数的最终存放格局和状态。而进位、借位恰恰不涉及数值变化、而只涉及位上之数的存放格局和状态。不用符号?，位上之数的彼此传递过程就说不清楚，十进制也很难讲清楚，更谈不上学明白。
  我们平常接受十进制，就是在没有记号?的情况下学习的。事实上，我们只能在做加、减时才讲到了进位和借位。它被写成如下形式：

C:9+1→0L+1;
B:0-1→9L-1;

它告诉你，当位上之数等于9时，做+1必须将本位置0而上位+1；当位上之数为0时，做-1，将本位置9而上位-1。至于没有+1、-1的需要呢？对不起，干不了。因为阿拉伯数字里没这个东西。阿拉伯数字里最大的一位数只能是9，值等于10的就是10自已，而它却是两位数。这就直接导致了一个悖论：位上之数，在理论上，它应该都是一位数。可是10却是个两位数，一位数居然是两位数，显然讲不通，所以大家就都不讲了。
  当遇到9+1-1时，使用这个规则的后果就特别显得没事找事和尴尬。因为，9+1后，你必须进位，进位后，本位变为0，而在你刚刚因9+1而进位、本位变0之后，又不得不因要面对0-1、而必须再去借位，于是又将刚刚进位的数借回来:

9+1→0L+1;
0-1→9L-1;

为了这+1和-1，居然惊动上位两次，最后是空忙一阵，这是100%的折腾（toss about）。
  若有?，我们就允许直接做这个9+1计算而达到满十这种状态?，在出现?状态情况下，因为没有做加需求，所以无须进位而保留现状，然后面对-1自然无须借位，直接-1：

9+1→?;

?-1→9。

轻轻松松在本位上操作，无须惊动上位。
  其实位上这0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、?这11个一位数，它本来就在我们的两只手上：

两只手全缩回来是0，
伸出1根手指就是1，
伸出2根手指就是2，
伸出3根手指就是3，
伸出4根手指就是4，
伸出5根手指就是5，
伸出6根手指就是6，
伸出7根手指就是7，
伸出8根手指就是8，
伸出9根手指就是9，
伸出10根手指就是?，它的意思是本位已经满十了、可以进位但是还没进位的状态；若进位后：本位回0，就空了，上位为1，这才是10。虽然数一样，但是却是完全不同的状态。

  可是遗憾的是，由于只有两只手，没有上位的概念可以提出来，所以许多人不这样讲述这一双手上的数，不用?的概念讲它的位上之数的意义，而用阿拉伯数字10来讲，结果，这个10，就被理解为了两位数。

 十进制的核心意义在进位、借位时巳经体现得十分清楚了。而我们人类之所以用十进制，就是因为我们两只手有、且只有十根手指。

所以?这个符号，是有重要意义的，它是早就应该有的符号。而把它明確地写出来并用起来，我们才会使算术更加简明。这部分的内容，我们将另文阐述。
 ?这个符号表明了位上满十的状态。在这个状态下，我们可以很容易搞清楚十个数之间的关系：对十个digit任意加以划分，就可以得出如下关系：9=?-1，8=?-2，7=?-3，6=?-4，5=?-5，还比如0+5=5，1+5=6，2+5=7，3+5=8，4+5=9，5+5=?，搞不清时数一数手指头就全部搞清楚了。

  写到这里，我们还应该理解，为什么至今美国仍然把双手表十这个计数方法作为STANDARD  AMERICAN COUNTING。你说它笨，表面上看似乎是，但其实不尽然。没有这一双手，谁能这么方便就告诉你为什么会有十进制以及搞清楚十以内这些数之间的关系呢？我们的珠算指型或其他一些利用手指弯曲与伸直做到了单手表9的指型，虽然有很強的一百以內的计算能力，可是难道我们没注意到，这些指型一只手却是表示不了?的，它们都只能表示到9！它们无一例外地都用十位手的1表示10。这与本文要说的事情毫无关系。这种基本功的缺失，有时其影响是根深蒂固的。我们因此而增強了的计算能力是非本质性的，我们在基本概念上的缺失，有时才是致命的。
 本文拟订的符号?的最主要价值是就是它的一位数身份和它在阿拉伯数字里的两位数的数值。?弥补了阿拉伯数字这方面的不足，所以用它可以说清楚十进数里面最重要的三个概念：位、进位、借位。
  由于我们人类只有十根手指，数到?后再也数不了了，这才迫使我们想出了把十个数或者一双手的十根手指作为一个计数单位(包)，然后还是用十根手指来数这个比原来大了十倍的计数单位包的办法。这时，一根手指(digit)的值是ten，于是创造了tens-place即十位，然后又将十个tens包再打成包，再創造个hundreds-place即百位，………
 在没有?这个符号的情况下，我们只好9+1进位，此间只有解决方案而並无十个一包的概念。这是必须这样、而没有办法不这样做，因为阿拉伯数字本身只有数值，没有位上之数的存放格局和状态信息。所以，阿拉伯数字不可能有这样的一位数。由于没有?，所以也就写不出?→0L+1这样的公式，自然只好写成9+1→0L+1。在常人心目中，9+1=10，自然是0L+1。不做?→0L+1而直接在9+1就往左位上+1将本位写成0，似乎不影响结果。

可是忽略了?→0L+1，恰恰把十进制最核心机制忽略掉了。要知道，在用阿拉伯数字写出来的这几个数之外，百分之九十以上的数是隐藏在位中的。?→0L+1所隱含的每一次进位，正是把这些1隱藏到上位中去了。十进制正是这样逐位往上传送的。位越高，显露的数越少，隐藏的数越大。
  熙圆指型里有这个?，事实上，这个符号?正是我们研究熙圆指型时首先被发现、被重视、被设计出来、然后我们才发现了它的价值的。

熙圆指型与双手自然数十的方法都能告诉我们数位上的那个?。只可惜，双手自然数十的方法，一来是能力太弱，连5+6都算不了，二来是常常没有被我们正确地加以重视和使用；但熙圆指型就可以。因为熙圆指型一只手就数到了十，做出来一位数?，两只手不仅算得了5+6，9+9，连9*9、?*?都算得了，在用左手作为上位手协助之下，本位手上所有一位数的+-*/都不成问题。所以，学习熙圆指型，不仅能学好数数，揭示一位数的+-*/关系，简化计算，还可以澈底搞清楚位上的这十个数的关系。

(LYT20171112于哈德森)