这几年在厦门大学数学科学学院为优秀本科生讲授最后一学期的“数学分析”，即多元微积分。颇有一些收获：

1. 重积分换元公式的证明一般来说比较麻烦，传统的证法一般涉及估计小方块被换元映射变换后的体积，比较枯燥抽象。do Carmo 的名著“Differential Geometry of Curves and Surfaces”中有一道习题运用 Green 公式直接证明二重积分的换元公式。受其启发，我们利用 (m - 1) 重积分换元公式定义 m 维欧氏空间中的曲面积分，进而建立 m 维的散度定理，并用它证明 m 重积分换元公式。这样证明换元公式的同时把曲面积分的理论也建立起来了，此外我们还顺便得到 m 维的 Brouwer 不动点定理。按照我们的方法，可以在“数学分析”的教学中给低年级本科生讲授 m 维 Brouwer 不动点定理及其完整的证明，这在全世界恐怕都没有先例。

   我们的文章刚刚发表，见http://www.global-sci.org/v1/jms/freedownload/v50n3/pdf/503-268.pdf 。

   过去两年，我在厦门大学教“数学分析”都是用我们的方法来证明重积分换元公式。我们对多元微积分的其他部分也有一些自己独到的考虑，目前正在撰写一本“多元微积分”的讲义。

2. 代数基本定理在 200 多年前就被证明了，但至今还不断有各种新的证明出现。一些貌似只用微积分的证法，还是用到复平面的子集作为复平面的拓扑子空间的连通性。为此，我们致力于构造完全只用数学分析知识的证明方法。我们把经典结论“设 R^n 到自身的映射 f 的 Jacobi 行列式处处非零，并且 |x| 趋于无穷时 |f(x)| 趋于无穷，则 f 是满射”推广到更一般的情形，然后轻松地证明代数基本定理。把我们的方法搬到微分流形上，我们还得到这样的结论：紧流形上的向量值函数一定有无穷多个临界点。

   这篇文章已经被《美国数学月刊》接受，其 preprint 见附件。（algb.pdf ）

很高兴在此与大家交流，请大家批评指正。