博文

OpenAI“解决” Navier–Stokes 千禧年问题的完整来龙去脉：从前人思想、技术突破到 credit 争议

已有 217 次阅读 2026-9-18 10:16 |个人分类:科技论文写作、搜索经验集锦|系统分类:观点评述

2026 年 9 月，OpenAI 公布了一份关于三维不可压缩 Navier–Stokes 方程的长篇证明，并同时给出了 Lean 形式化验证。消息一出，很快被概括成一句极具冲击力的话：

“OpenAI 用 AI 解决了 Navier–Stokes 千禧年难题。”

这句话并不能说完全错，但如果不加解释，很容易造成两个误解：

1. OpenAI 并没有证明通常最常被讨论的“无外力三维 Navier–Stokes 会发生有限时间爆破”；
2. 这套证明也不是 AI 从零开始凭空发明出来的，它与过去几年 Córdoba、Martínez-Zoroa 等数学家发展起来的 forced blow-up（带外力爆破）路线有非常直接的思想联系。

笔者在查阅近期关于这一事件的中文报道和网络讨论时发现，目前真正系统梳理其来龙去脉的介绍并不多。许多讨论只抓住了其中某一个环节，例如“OpenAI 解决了 Navier–Stokes 千禧年问题”“AI 是否使用了数学家的已有工作”或“Buckmaster 与 OpenAI 之间的争议”，却没有把这些事件放回完整的时间线和数学背景中理解；甚至还有一些说法存在断章取义、混淆概念或过度简化的问题。

为此，笔者尝试尽可能依据公开的一手资料，将相关工作的学术背景、时间线、技术脉络以及争议本身完整地梳理出来，希望帮助读者更准确地理解。

一、OpenAI 到底证明了什么？

考虑三维不可压缩 Navier–Stokes 方程

大众最熟悉的问题通常是：

如果初始 u_0 足够光滑，而且 没有外力 f=0，解是否永远保持光滑？即 Navier–Stokes 方程千禧年问题的 A/B 版本。

这确实是三维 Navier–Stokes 最核心、最自然的问题之一。

但 Clay Mathematics Institute 在 Charles Fefferman 撰写的官方问题说明中，实际上给出了多个可以解决千禧年问题的版本。除了证明无外力情形的 global regularity 外，还允许证明：

存在足够光滑的初值和足够光滑的外力，使三维 Navier–Stokes 的光滑有限能量解在有限时间发生奇性。

这就是官方表述中的 C/D 版本。

因此比较准确的说法是：

如果 OpenAI 的证明最终经数学界审查确认无误，那么它确实解决了 Clay 原始 Navier–Stokes 千禧年问题允许的 C/D 版本。

更具体地说，它构造了非常光滑的外力以及从静止状态出发的解，使得在有限时间内速度变得无界，而总能量仍保持有限。

但与此同时：

无外力的三维 Navier–Stokes 是否会爆破（即A/B版本），仍然没有解决。

截至 2026 年 9 月中旬，Clay Mathematics Institute 的官方措辞是：Navier–Stokes 问题“apparently been settled”，即“看起来已经得到解决”，但正式审查和 credit 认定过程仍会谨慎进行。

Today, CMI shares in the excitement of the global mathematicalcommunity as we contemplate the announcement that the Navier-Stokes problem has apparently been settled. We hope to see waves ofnew human understanding unleashed as the innovations behind thiswork are analysed and interrogated.

二、这条路线并不是从 OpenAI 开始的

如果只看新闻标题，很容易产生一种印象：

AI 读了一遍 Navier–Stokes 方程，然后突然独立发明了一套此前无人想到的爆破解法。

实际情况并不是这样。

OpenAI 自己的论文明确承认，它的构造与近年来一条非常重要的 forced blow-up program 有直接联系，而这条路线的重要源头之一，是 Diego Córdoba 和 Luis Martínez-Zoroa 的工作。

理解 OpenAI 的结果，最好先回到 2023 年。

三、2023：Córdoba–Martínez-Zoroa 的 forced Euler blow-up

2023 年，Diego Córdoba 和 Luis Martínez-Zoroa 构造了三维不可压缩 Euler 方程的有限时间爆破解。

他们考虑

其中允许加入一个外力 f。

关键不是“随便找一个奇异外力把解炸掉”，而是让外力保持相当高的正则性，同时通过流体自身的非线性动力学形成越来越强的尺度放大。

他们发展出的核心机制可以粗略概括为：

大尺度应变-->放大小尺度涡量-->更小尺度结构继续被放大

也就是说，爆破来自一个精心设计的 multiscale amplification（多尺度放大）机制。

外力主要负责维持这个构造，而真正的奇性增长由 Euler 非线性本身完成。

这一步非常重要，因为它提供了一条新的思路：

与其直接攻克完全无外力的 Euler/NS 爆破，不如先问：能不能构造一个极其光滑的外力，让方程自身的非线性产生奇性？

这个思想后来不断被推进。

四、从 Euler 走向带耗散模型

Navier–Stokes 与 Euler 的根本区别在于多了黏性：$\nu\triangle u$

在高频尺度 $|k|\gg1$上，黏性耗散大约具有$\nu|k|^{2}$的强度。

因此，一切依赖“不断制造更高频、更小尺度”的 blow-up 机制都会遇到一个非常直接的问题：

尺度越小，黏性越强。你还没有把扰动放大，它可能已经被 $\triangle u$抹掉了。

这也是为什么从 Euler forced blow-up 到真正的 Navier–Stokes，并不是简单“把 $\nu\triangle u$加进去”就可以。

2026 年，Córdoba、Martínez-Zoroa 和 Fan Zheng 又证明了 hypodissipative Navier–Stokes 的 forced finite-time blow-up。

他们研究大致形如

这里的耗散远弱于标准 Navier–Stokes 的$\alpha=2$ 。

他们能够处理的 $\alpha$ 仍然远小于 2 （大约在0.09附近）。

因此，到这一步为止已经知道：

forced blow-up 的多尺度机制可以在“弱黏性”下存活。

但从很弱的 fractional dissipation 一口气走到真正的$\triangle u$仍然是一个巨大障碍。

五、Buckmaster–Alpöge 的工作

与此同时，Tristan Buckmaster 和 Levent Alpöge 也在沿着相关方向研究。

Buckmaster 后来公开表示，他们工作的基本思想并非自己首创，而是明确把这条 program 的主要思想 credit 给 Córdoba 和 Martínez-Zoroa。

他们借助 Claude、Codex 等大模型，尝试把已有 forced blow-up 构造进一步推进到更光滑的 forcing，并对证明进行形式化验证。

根据 Buckmaster 后来的公开说明，他们在 2026 年 8 月中旬已经取得了 smooth-forced Euler/Boussinesq 方向的重要进展，并随后完成了 Lean verification。

这件事之所以后来引发巨大争议，是因为他们当时的工作尚未公开。

六、2026 年 9 月 1 日：OpenAI 启动大规模数学搜索

根据 OpenAI 自己后来公布的过程：

2026 年 9 月 1 日，OpenAI 听到了一个传闻——

“有两个 Millennium Prize Problems 可能已经被解决。”

OpenAI 当时正在测试一个能力很强的内部模型，于是开始让大规模 agents 尝试多个千禧年问题。

Navier–Stokes 只是其中之一。

OpenAI 把不同版本的问题分别交给大量 agents，并让系统同时尝试 Euler、Navier–Stokes 等相关模型。

Navier–Stokes group 一度约有 10,000 个并发 agents；他们明确把 A/B/C/D 四个版本分别交给不同组，同时让 agents 先尝试 Euler 等“较容易问题”。随后系统得到一个 unforced Euler blowup solution，于是 OpenAI 把大量资源集中到 NS。

根据 OpenAI 的公开数据，这个过程规模非常大：

• 大量并行 agents；
• 数百万条 agent messages；
• 数千亿量级输出 token；
• agents 不断读取和利用彼此的中间结果。

最终，Navier–Stokes 方向被识别为最有希望的一条路线。

OpenAI 称，系统在大约 88 小时后，于 9 月 5 日得到了解决方案，随后又使用 Lean 完成形式化验证。

9 月 8 日，结果正式公开。

OpenAI 后来表示，9 月 1 日促使其启动大规模数学搜索的那则传闻，实际上与 Buckmaster–Alpöge 当时尚未公开的工作有关。

而 Buckmaster 的疑虑主要来自“研究路线的高度重合”：他们秘密选择的正是 Córdoba–Martínez-Zoroa 所开辟的 smooth-forced blow-up 路线，即 smooth forcing => Fefferman C/D

按照 Buckmaster 的说法，当时几乎没有其他人沿着这条方向工作。

因此，当他在 9 月 6 日得知 OpenAI 的内部模型同样得到了一个 forced Navier–Stokes finite-time blow-up 结果时，他认为这种重合非常引人警觉，并写道：“When I heard ‘forced,’ it was a bright red flag.”

七、从 hypodissipative Navier–Stokes 到标准 Navier–Stokes

OpenAI 并不是简单重复 Córdoba–Martínez-Zoroa 的 multiscale amplification。

真正标准的 Navier–Stokes 中，太强，因此必须解决：

如何既利用高频产生非线性效应，又不让高频立即被黏性杀死？

OpenAI 的构造大致围绕一个 不断塌缩的各向异性涡旋结构展开。

设爆破时间为t=1 ，记$\tau =1-t$

核心涡旋的空间尺度随着$\tau \to 0$ 不断缩小，同时速度不断增大。

但构造被设计成：

速度 $.to .infty$ , 支撑区域体积 $.to$ 0,

从而仍然能够保持总动能有限。

单独这个 collapsing vortex 并不是 Navier–Stokes 的精确解。代入方程以后，会产生一个很大的 residual。

最直接的办法似乎是：

用外力 f 抵消这个 residual。

但这样一来，外力本身就可能在爆破时变得奇异，从而无法满足 Clay 问题要求的 smooth forcing。

OpenAI 的关键设计是：

不直接让外力去抵消主要奇异 residual，而是额外构造许多 oscillatory velocity pulses，让它们自己的非线性相互作用产生需要的平均动量通量。

八、OpenAI 是否借鉴已有数学家的 idea？

答案其实应该分成两个完全不同的问题。

第一层：有没有借鉴公开的数学思想？

有，而且非常明确。

OpenAI 自己的论文就明确讨论和引用了：

• Córdoba–Martínez-Zoroa 的 forced blow-up / multiscale amplification；
• Córdoba–Martínez-Zoroa–Zheng 的 hypodissipative Navier–Stokes；
• Lifschitz–Hameiri、Friedlander–Vishik 等关于短波 instability 的思想；
• Craik–Criminale、Singh–Sridhar 等 shearing-wave 结构；
• Daneri–Székelyhidi 等用 oscillations 实现 stress 的思想；
• Albritton–Brué–Colombo 等关于 similarity / unstable fluid structures 的工作。

因此，OpenAI 明显站在现有 mathematical fluid mechanics 发展的肩膀上。

但这本身并不是问题。数学研究本来就是如此。

Perelman 的 Ricci flow 建立在 Hamilton 的理论上；Wiles 的 Fermat 证明建立在几十年的 modular forms、elliptic curves 和 Galois representations 上。

真正应该问的是：

在继承这些已有思想以后，OpenAI 有没有补上一个此前不存在的关键 bridge？

从目前公开的 proof structure 看，如果证明最终成立，答案很可能是肯定的。

九、 OpenAI 的贡献

在此前的 forced blow-up program 中，一个最大的障碍始终是：

weak dissipation --> full Laplacian dissipation

也就是如何真正处理 $-\triangle u$

OpenAI 的构造把几个原本属于不同方向的 idea 组合起来：

multiscale amplification 加上collapsing anisotropic vortex 加上 shear-amplified oscillatory pulses 加上mean quadratic stress cancellation再加上viscous damping after the pulse has done its job

如果最终数学审查确认这一整套 argument 没有漏洞，那么真正的新意不在于“发明了 multiscale blow-up”本身，而在于：

第一次让这套思想在 full Navier–Stokes viscosity 下闭合。

这一点与简单“把以前的 proof 拼起来”还是有明显区别的。

十、关于Buckmaster–Alpöge 的 credit 争议

Buckmaster 和 Alpöge 当时正在秘密研究非常接近的 smooth-forced blow-up 路线。

OpenAI 又恰好是在听到“有人解决 Millennium Problem”的传闻以后开始大规模 agent search，并最终也走向了 forced Navier–Stokes blow-up。

因此 Buckmaster 对 coincidence 提出了质疑。

根据目前公开的信息，笔者整理如下：

已经可以确认的事情

OpenAI 明确继承并使用了公开文献中的 forced blow-up 思想。

这没有争议，而且 OpenAI 的文章也公开引用了这些工作。

目前不能确认的事情

是否有 Buckmaster–Alpöge 尚未公开的具体证明、private prompts 或私人研究数据影响了 OpenAI 的系统。

Buckmaster 本人的措辞其实非常谨慎。他在公开声明中明确写道：

“I have not seen OpenAI's proof... I do not know whether our data was used.”

同时，他也明确表示，自己并不是在直接指控 OpenAI 使用了他们的私人数据或未公开工作。

另一方面，OpenAI 在 9 月 10 日的更新中表示，他们在进行内部调查后认为，Buckmaster 在公告前两个月中的 Codex prompts 不可能通过训练或其他方式影响到此次用于数学研究的内部系统。

十一、如何评价这件事？

笔者认为比较准确的评价应该是：

人类数学家在过去几年已经把 forced fluid blow-up 推进到了一个相当接近临界点的位置；OpenAI 的大规模数学 agent 系统读取并组合了这些已有数学思想，并提出了一套新的机制，把它们推进到了标准三维 Navier–Stokes 的 full viscosity 情形。

如果证明最终成立，那么说明

AI 已经开始有能力在非常前沿的数学文献网络中识别尚未闭合的技术缺口，并把来自不同研究方向的 idea 组合成新的证明架构。

十二、关于无外力 Navier–Stokes的爆破问题

目前网络上有一种相当乐观的看法：既然 OpenAI 已经构造出了标准三维 Navier–Stokes 方程在光滑外力作用下的有限时间爆破，那么下一步是不是只需要“把外力去掉”，就能够解决人们最熟悉的无外力问题

笔者认为，这种判断目前仍然需要相当谨慎。至少截至本文写作时，无外力三维 Navier–Stokes 的 global regularity / finite-time blow-up 问题仍然是开放的。OpenAI 自己公布的结果中也明确保留了 smooth external force。

真正的问题在于：OpenAI 构造中的外力并不是一个无关紧要、最后可以轻易删掉的附加项。

OpenAI 的构造依赖经过精心设计的外力和精细的 collapsing geometry。

无外力问题的构造会失去整个 construction 中一个重要的自由度。

因此不能简单地认为：forced blow-up ==> unforced blow-up 马上就能做.

两者在数学上仍然存在实质性差距。

事实上，无外力 Navier–Stokes 的真正困难依旧与我们长期熟悉的问题有关：

• nonlinear energy transfer；
• vortex stretching；
• critical scaling；
• dissipation 与 concentration 的竞争；
• 如何让奇性机制在没有任何外部调控的情况下自行形成。

所以这次结果即使完全正确，也并不意味着经典问题已经顺手解决。

结语

把整件事情压缩成一句话，大概可以这样说：

OpenAI 并不是从零发明了 Navier–Stokes 爆破的所有思想。它明显继承了 Córdoba、Martínez-Zoroa 等数学家近年来建立的 forced blow-up program，也使用了流体稳定性、shearing waves、oscillatory stress 等大量已有思想；但如果公开证明最终成立，它又确实完成了一个过去没有完成的重要跨越——把这些机制真正推进到了 full three-dimensional Navier–Stokes viscosity，并保持外力光滑。

关于这件事，笔者觉得下面这个问题，可能比一百万美元奖金本身更值得关注：

当 AI 可以吸收一个领域几十年的技术积累，并在海量并行搜索中重新组合这些思想时，未来数学发现中的“原创性”“credit”和“研究者”的含义，会发生怎样的变化？

参考资料

1. OpenAI, On the Navier–Stokes Millennium Prize Problem, 2026-09-08https://openai.com/index/navier-stokes-solution/
2. OpenAI, Navier–Stokes proof manuscripthttps://cdn.openai.com/pdf/32d9f210-8b73-45e0-91bc-82a30aef8a9a/navier-stokes.pdf
3. Clay Mathematics Institute, Navier-Stokes Announcement, 2026-09-10https://www.claymath.org/news/navier-stokes-announcement/
4. Charles L. Fefferman, Existence and Smoothness of the Navier–Stokes Equation, official Millennium Prize problem descriptionhttps://www.claymath.org/wp-content/uploads/2022/02/MPPc.pdf
5. Diego Córdoba and Luis Martínez-Zoroa,Blow-up for the incompressible 3D-Euler equations with uniform force, 2023https://arxiv.org/abs/2309.08495
6. Diego Córdoba, Luis Martínez-Zoroa and Fan Zheng,Finite Time Blow-Up for the Hypodissipative Navier Stokes Equations with a Force in ,Archive for Rational Mechanics and Analysis 250 (2026), Article 38https://link.springer.com/article/10.1007/s00205-026-02198-0
7. Tristan Buckmaster, public statement concerning the OpenAI / Alpöge–Buckmaster timelinehttps://cims.nyu.edu/~tristanb/statement.pdf