一元五次方程，即形如 （其中 ）的方程，在数学史上占据了一个特殊的位置。自16世纪三次和四次方程的根式解被发现以来，数学家们自然地将注意力转向了五次方程。然而，经过几个世纪的尝试，最终在19世纪，尼尔斯·亨利克·阿贝尔和埃瓦里斯特·伽罗瓦独立证明了对于一般形式的五次方程，不存在根式解（即无法通过有限次加、减、乘、除和开方运算来表示其根）。这一结论不仅解决了长期悬而未决的问题，更催生了现代代数学的重要分支——群论和域论。

本论文旨在详细总结一元五次方程没有根式解的证明，重点基于伽罗瓦理论。我们将从基本概念出发，逐步深入，最终给出完整的证明。同时，我们将通过具体例题来阐释相关理论，并提供解答。全文结构如下：首先介绍预备知识，包括群、域和可解群的概念；然后概述伽罗瓦理论的核心思想；接着详细证明一元五次方程没有根式解；之后提供例题和解答；最后给出结论。

群是代数学中的基本结构，定义如下：

定义 2.1（群）：一个群  是一个集合  配上一个二元运算 ，满足以下条件：

1. 封闭性：对于任意 ，有 。
2. 结合律：对于任意 ，有 。
3. 单位元：存在一个元素 ，使得对于任意 ，有 。
4. 逆元：对于任意 ，存在一个元素 ，使得 ，其中  是单位元。

如果群运算满足交换律（即对于任意 ，有 ），则称该群为阿贝尔群。

例子 2.1：整数集合  配以加法运算构成一个群，单位元为 ，每个元素  的逆元为 。这是一个阿贝尔群。

定义 2.2（子群）：如果  是群  的一个子集，并且在  的运算下也构成一个群，则称  是  的子群，记作 。

定义 2.3（正规子群）：如果  是群  的子群，并且对于任意  和 ，有 ，则称  是  的正规子群，记作 。

定义 2.4（商群）：如果  是群  的正规子群，则定义商群  为  中  的陪集集合，配以自然的群运算。

定义 2.5（群的同态和同构）：如果  是一个映射，满足对于任意 ，有 ，则称  是一个群同态。如果  是双射，则称它为群同构。

定义 2.6（对称群）：集合  上所有置换构成的群称为对称群，记作 。对称群  的阶为 。

定义 2.7（交错群）：对称群  中所有偶置换构成的子群称为交错群，记作 。交错群  的阶为 。

域是另一种重要的代数结构。

定义 2.8（域）：一个域  是一个集合  配以两个二元运算  和 ，满足以下条件：

1.  是一个阿贝尔群，单位元记为 。
2.  是一个阿贝尔群，单位元记为 。
3. 分配律：对于任意 ，有 。

例子 2.2：有理数集合 、实数集合  和复数集合  在通常的加法和乘法下都是域。

定义 2.9（域扩张）：如果  和  是域，且 ，则称  是  的域扩张，记作 。

定义 2.10（代数扩张）：如果  是一个域扩张，且对于每个 ，存在一个非零多项式  使得 ，则称  是代数扩张。

定义 2.11（最小多项式）：如果  是  上的代数元，则  上以  为根的首一不可约多项式称为  在  上的最小多项式。

定义 2.12（分裂域）：如果  是一个多项式，则  的分裂域是  的一个最小扩张域，使得  在该域上可以分解为线性因式的乘积。

定义 2.13（根式扩张）：一个域扩张  称为根式扩张，如果存在一个塔 of 子域 ，使得对于每个 ，有 ，其中  对于某个正整数 。这意味着每个步骤都是通过添加一个根（即开方）得到的。

可解群的概念在伽罗瓦理论中至关重要。

定义 2.14（可解群）：一个群  称为可解群，如果存在一个子群序列 ，使得每个商群  是阿贝尔群。

例子 2.3：对称群 、 和  是可解群，但  不是可解群。具体地， 的交错群  是单群（即没有非平凡正规子群），且  不是阿贝尔群，因此  不可解。

伽罗瓦理论建立了域扩张和群之间的对应关系。具体来说，它关联了一个域扩张的伽罗瓦群，并利用这个群的性质来研究方程的可解性。

定义 3.1（伽罗瓦扩张）：一个有限域扩张  称为伽罗瓦扩张，如果它是正规且可分的。正规性意味着  是  上某个多项式的分裂域，可分性意味着该多项式的根都是单根（在特征零的域中，所有多项式都是可分的）。

定义 3.2（伽罗瓦群）：如果  是伽罗瓦扩张，则  的 -自同构群称为伽罗瓦群，记作 。即， 是保持  元素固定的  的自同构构成的群。

定理 3.1（伽罗瓦对应）：如果  是伽罗瓦扩张，则存在一个一一对应 between 中间域 （即 ）和  的子群 。具体地，子群  对应到固定域 ，而中间域  对应到子群 。

定理 3.2（方程可解性的伽罗瓦判别法）：一个多项式  有根式解当且仅当它的伽罗瓦群是可解群。

这个定理是证明一元五次方程没有根式解的核心。我们将在一元五次方程的情况下应用这个定理。

现在，我们详细证明一元五次方程没有根式解。证明分为几个步骤：首先，我们考虑一般五次方程的伽罗瓦群；然后证明这个群不可解；最后，根据伽罗瓦判别法，得出结论。

考虑一般五次方程：

通过适当的变换（例如，令 ），我们可以将其化为缺项形式：

但为了讨论一般性，我们考虑带有独立参数的五次方程。实际上，一般五次方程的分裂域是参数域（如有理函数域 ）的扩张。其伽罗瓦群与对称群  同构。

定理 4.1：一般五次方程的伽罗瓦群同构于对称群 。

证明：设  是有理函数域，其中  是独立变量。考虑多项式：

令  是  在  上的分裂域。由于  的根在代数闭包中是对称的，任何置换根的自同构都是  的 -自同构。因此， 同构于 。更精确地说，因为参数是独立的， 的伽罗瓦群是满的对称群 。

接下来，我们证明  不是可解群。

定理 4.2：对称群  不是可解群。

证明：回忆可解群的定义：群  可解如果存在子群序列 ，使得每个商群  是阿贝尔群。

考虑  的交错群 。我们知道  是单群，即它没有非平凡正规子群。此外， 不是阿贝尔群。现在，假设  是可解群。则存在序列：

其中每个商群  是阿贝尔群。

由于  是  的正规子群，且  是阿贝尔群，如果  可解，则  也必须是可解群（因为可解群的子群和商群可解）。但  是单群且非阿贝尔，因此它不可解。矛盾。所以  不可解。

更详细地，我们可以写出  的导出群序列。群  的导出子群  是由所有交换子  生成的子群。可解群等价于导出序列最终达到单位元。

对于 ，我们有：

• ，因为对称群的导出子群是交错群。
• ，因为  是单群且非阿贝尔，所以其导出子群是自身。

因此，导出序列为 ，永远不会达到单位元。故  不可解。

根据伽罗瓦判别法（定理 3.2），一个多项式有根式解当且仅当其伽罗瓦群是可解群。对于一般五次方程，伽罗瓦群是 ，而  不可解，因此一般五次方程没有根式解。

定理 4.3：一般一元五次方程没有根式解。

证明：由定理 4.1，一般五次方程的伽罗瓦群是 。由定理 4.2， 不是可解群。因此，根据伽罗瓦判别法，一般五次方程没有根式解。

需要注意的是，这个结论适用于“一般”五次方程，即系数是独立参数的情况。对于某些特殊五次方程（如可分解方程或具有特殊对称性的方程），伽罗瓦群可能是可解群，从而有根式解。但总的来说，大多数五次方程没有根式解。

为了加深理解，我们提供一些具体例题和解答。这些例题将展示如何计算伽罗瓦群，并判断方程是否有根式解。

考虑方程：

这是一个循环方程，其根是单位根。

解答： 方程  的根为 ，其中 ，。显然，这个方程有根式解，因为单位根可以用根式表示。

现在，计算其伽罗瓦群。分裂域为 。这是一个循环扩张，伽罗瓦群  同构于乘法群 ，这是一个阿贝尔群（事实上是循环群）。阿贝尔群是可解群，因此根据伽罗瓦判别法，方程有根式解。

具体地，，因为  是阶为 4 的循环群。因此，伽罗瓦群是可解群。

考虑方程：

这是一个不可约五次方程，我们证明其伽罗瓦群是 ，因此没有根式解。

解答： 首先，证明  在  上不可约。通过爱森斯坦判别法或模  约化，可以验证其不可约性。例如，模 ，多项式为  在  上不可约（通过检查它没有根且在  上不能分解为低次因式）。因此，原多项式在  上不可约。

接下来，计算伽罗瓦群。设 。其分裂域为 ，伽罗瓦群  是  的一个子群。由于  不可约， 传递地作用在根上，因此它是一个传递子群 of 。

现在，通过计算  的判别式或检查根的置换性质，可以证明  包含一个 5-循环和一个 2-循环，从而生成整个 。具体地，考虑  的导数 ，通过分析实数根，可知  有三个实根和两个复根。复根是共轭的，因此复共轭置换是一个 2-循环。另外，由于不可约且次数为素数，伽罗瓦群包含一个 5-循环。由群论知识， 中任何包含一个 5-循环和一个 2-循环的子群就是  本身。因此，。

由于  不可解，方程  没有根式解。

考虑方程：

我们证明这个方程的伽罗瓦群是可解群。

解答： 首先，验证  在  上不可约。通过模  约化，例如模 ，多项式为 ，在  上检查可知它不可约。

其伽罗瓦群同构于二面体群 ，即 10 阶群。 是可解群，因为它是有限群且阶为 ，所有有限群阶为 （ 素数）的群都是可解群。

具体地， 有子群序列 ，其中  是循环群，商群  是阿贝尔群， 是阿贝尔群。因此  可解。

所以，方程  有根式解。实际上，其根可以用根式表示，但表达式非常复杂。

考虑一般五次方程：

其中  是代数独立的 over 。

解答： 如前所述，这个方程的伽罗瓦群是 ，因此没有根式解。这意味着不存在一个通用的根式公式来解决所有五次方程。

相比之下，对于二次、三次和四次方程，存在这样的公式。例如，二次方程  的根为 ；三次和四次方程也有类似的公式，但更复杂。

虽然一般五次方程没有根式解，但我们可以用数值方法求近似解。例如，考虑方程：

解答： 我们使用牛顿法来求实根。令 ，则 。

选择初始值 ：

• ，，所以 。
• ，，所以 。
• 继续迭代，得到近似根 。

这个方程有三个实根和两个复根，但牛顿法只收敛到一个实根。其他根需要用其他方法求解。

计算多项式  的伽罗瓦群。

解答： 方程  的根为 ，其中 ，。

分裂域为 。这是一个根式扩张，因此方程有根式解。

伽罗瓦群  同构于半直积 ，其中 。具体地，群元素可以表示为 ，其中 ，，作用为 。

这个群是可解群，因为它是有限群且阶为 ，所有有限群都是可解群。实际上，它有子群序列 ，商群是阿贝尔群。

考虑方程：

解答： 这个方程在  上不可约。其伽罗瓦群同构于 ，即 20 阶 Frobenius 群。 是可解群，因为它有子群序列 ，商群  是阿贝尔群。

因此，方程有根式解。实际上，这个方程是著名的可解五次方程例子之一。

有时，通过变量变换，可以将五次方程化为可解形式。例如，Bring–Jerrard 形式：

解答： 一般五次方程可以通过 Tschirnhaus 变换化为 Bring–Jerrard 形式。然而，即使在这种形式下，方程也不一定有根式解。只有当伽罗瓦群可解时，才有根式解。

例如，方程  是 Bring–Jerrard 形式，但不可解。而方程  也是 Bring–Jerrard 形式，但可解。

计算多项式  的伽罗瓦群。

解答： 首先， 在  上不可约（通过爱森斯坦判别法）。其导数为 ，通过分析可知  有三个实根和两个复根。

因此，伽罗瓦群包含一个 2-循环（复共轭）和一个 5-循环（因为不可约且次数为素数）。所以伽罗瓦群是 ，不可解。

假设一个五次方程的伽罗瓦群是 。判断它是否有根式解。

解答： 是交错群，它是单群且非阿贝尔，因此不可解。根据伽罗瓦判别法，方程没有根式解。

我们详细总结了一元五次方程没有根式解的证明。核心在于伽罗瓦理论，它建立了方程可解性与伽罗瓦群可解性之间的等价关系。对于一般五次方程，伽罗瓦群是对称群 ，而  不可解，因此一般五次方程没有根式解。

通过例题，我们展示了如何计算具体方程的伽罗瓦群，并判断其可解性。虽然一般五次方程没有根式解，但某些特殊五次方程（如循环方程或二面体方程）有根式解，因为它们的伽罗瓦群是可解群。

伽罗瓦理论不仅解决了五次方程的问题，更开辟了代数学的新纪元。它强调了群的结构在方程求解中的重要性，并促进了现代代数学的发展。

1. Galois, É. (1846). Œuvres mathématiques d'Évariste Galois. Journal de mathématiques pures et appliquées, 11, 381-444.
2. Abel, N. H. (1824). Mémoire sur les équations algébriques, où on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré. Christiania: Grøndahl.
3. Artin, E. (1944). Galois Theory. Notre Dame Mathematical Lectures.
4. Stewart, I. (2015). Galois Theory (4th ed.). Chapman and Hall/CRC.
5. van der Waerden, B. L. (1991). Algebra (7th ed.). Springer.