华中科技大学江普庆研究员团队 | 基于物理自然坐标的不确定度传播方法，实现热反射测量精度与效率的新突破

论文信息

Tao Chen, Dihui Wang, Puqing Jiang

 Physics-derived natural coordinates for fast uncertainty propagation in multilayer thermoreflectance, International Journal of Heat and Mass Transfer, 273 (2027) 129653. 

DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2026.129653

编者按  在现代材料科学研究中，实验测量得到一个参数只是第一步。当我们说某种材料的热导率为某个数值时，一个更深层的问题是：这个数字到底有多可信？它背后的不确定范围是多少？不同参数之间是否存在关联？对于复杂实验体系而言，测量结果不仅取决于仪器精度，也受到模型假设、参数耦合以及数据反演过程的影响。因此，如何准确描述实验结果的不确定度，一直是科学测量中的核心问题。近日，华中科技大学江普庆研究员团队在《International Journal of Heat and Mass Transfer》发表研究，提出了一种基于“自然坐标”的热反射测量不确定度分析新方法。该方法从热传导物理方程出发，寻找系统真正感知的变量，将复杂参数空间转换到更适合统计分析的自然坐标空间，从而兼具 Monte Carlo 方法的准确性和解析方法的计算效率。这项工作并不是提出一种新的测量技术，而是重新回答一个基础问题：面对复杂实验反演得到的材料参数，我们应该如何理解它的不确定性？

热反射技术（Thermoreflectance），包括时间域热反射（TDTR）和频域热反射（FDTR）等方法，是目前研究微纳尺度热输运的重要实验手段。通过测量激光加热引起的表面温度变化，研究人员可以反推出薄膜热导率、体积热容以及界面热导等关键热物性参数。然而，与直接测量温度、电阻等物理量不同，热反射测量本质上是一个反问题（inverse problem）。实验获得的是光热响应信号，而研究人员需要通过热传导模型反推出隐藏在信号背后的材料参数。问题在于：一个实验信号通常受到多个参数共同影响。例如，在多层薄膜结构中，薄膜热导率、界面热导、热容以及激光光斑尺寸等因素，都可能影响最终测得的热反射响应。因此，不同参数之间存在明显耦合关系。这意味着：一个确定的实验信号，并不一定对应唯一的一组参数。因此，仅仅报告“材料热导率为 X”往往是不完整的。更可靠的科学结果应该同时回答：这个参数可能变化的范围是多少？参数误差是否对称？不同参数之间是否存在相关性？这就是测量不确定度分析需要解决的问题。

目前热反射领域常用的不确定度分析方法主要有两类。一是Monte Carlo（MC）方法。其基本思想是：假设实验参数存在一定误差范围，通过大量随机采样生成可能的数据组合，再重复进行模型拟合，最终获得参数的不确定度分布。它最大的优势是适用范围广。无论参数分布是否符合高斯分布，无论误差是否对称，Monte Carlo 都能够较好地描述真实概率分布。但它的问题同样明显：计算成本极高。原因在于，每一次随机采样，都需要重新求解热传导模型并重新拟合实验数据。二是协方差解析传播方法。该方法通过参数之间的协方差矩阵，利用数学公式快速估计误差范围。它的优势是速度非常快。但它通常依赖一些理想化假设，包括：参数服从高斯分布； 误差上下对称； 参数变化与模型响应近似线性。 然而，对于热反射这类强耦合、强非线性的反问题，这些假设往往并不成立。

面对这一矛盾，江普庆研究员团队提出了一个新的思路：不要直接对最终物理参数进行统计分析，而是寻找更加符合物理规律的变量。换句话说，统计分析之前，先问一个问题：对于这个物理系统，什么变量才是它真正“感知”的变量？研究团队将这些变量称为“自然坐标”（natural coordinates）。

1. 热物性参数的“自然坐标”

传统方法通常直接处理实验最终得到的物理参数，例如热导率、热容以及界面热导，并默认它们具有简单统计性质。但作者发现，在真实热传导过程中，这些直接参数并不一定是最自然的统计变量。相反，通过热扩散方程可以推导出一组更适合描述系统响应的变量：

在这些自然坐标空间中，参数分布更加接近高斯分布，因此可以使用快速解析方法进行误差传播。例如，如下图所示，对于 Al/silica 界面热导，直接观察界面热导G 的分布时，可以发现其呈现明显右偏分布；而转换到倒数形式 1/G 后，其统计分布更加接近高斯分布。

这说明：真实物理系统中的“自然变量”，可能并不是我们习惯报告的那个变量。

2. 从自然坐标空间到真实物理参数空间

找到合适的统计变量只是第一步。接下来的关键问题是：如何利用自然坐标空间中的简单统计规律，最终得到真实物理参数的不确定度？研究团队针对不同类型的参数关系，提出了两种转换策略。

情形一：物理参数可由单一自然坐标直接得到

例如，对于界面热导 G，其对应的自然坐标为 1/G。在自然坐标空间中，由于误差分布更加接近对称的高斯形式，因此可以采用解析方法快速获得其均值和方差。随后，再通过数学变换返回真实物理参数空间。

这里有一个重要的思想：在自然坐标空间中，误差可以是对称的；但经过非线性变换后，最终物理参数的误差可能自然表现为非对称。这也解释了为什么很多实验结果不能简单表示为：G=G₀±ΔG，因为真实的不确定度分布可能存在偏斜。

因此，一个更加真实的报告方式应该反映参数背后的概率分布，而不是强行压缩成一个对称误差棒。

情形二：物理参数由多个自然坐标共同决定

例如，对于 Si 基底热容C_Si，其自然变量是热逸散率e_Si=√(k_Si C_Si)。同时，k_Si也是自然变量。我们在自然坐标下应用协方差解析方法能够得到(k_Si,e_Si) 的联合高斯分布。问题来了：在C=e²/k的关系式中，k 和 e 高度相关且变换非线性。如果简单假设参数 k 和 e都独立变化，然后分别计算误差，再组合起来，往往会忽略参数之间的重要关联。而在实际热反射反演过程中，这些关联可能正是决定最终误差范围的关键因素。

因此，作者提出了一种新的处理方式：在概率空间中进行快速 Monte Carlo。具体步骤如下：

Step 1: 利用自然坐标空间中的解析协方差传播方法，得到自然坐标之间的联合高斯分布。

Step 2: 从该联合高斯分布中进行随机采样。需要特别强调的是，这里的 Monte Carlo 与传统方法不同，它在已经建立的概率空间里直接采样，避免了大量昂贵的物理模型计算。

Step 3: 将采样得到的自然坐标，通过非线性关系转换回真实物理参数。

Step 4: 最终获得物理参数的不确定度分布。

整个过程类似于先通过解析方法建立一个“压缩后的概率模型”，再在这个概率模型中进行快速 Monte Carlo。因此，它既保留了 Monte Carlo 描述复杂分布的能力，又避免了传统 Monte Carlo 的巨大计算成本。

3. 参数间的相关性

这项工作的另一个重要贡献，是强调了参数之间的相关性不能被忽略。

传统实验报告中，人们习惯这样表达：热导率 = 100 ± 10 W·m⁻¹·K⁻¹。这种表达方式看似直观，但实际上隐藏了大量信息。因为对于复杂反问题而言，实验得到的并不是几个互相独立的数字，而是一个多维概率空间。例如，当热导率升高时，界面热阻是否会同时倾向于降低？当某个热容参数变化时，另一个参数是否会出现协同变化？这些信息都包含在参数之间的相关性中。

因此，作者提出：不应该只报告单个参数的不确定度，更应该保留参数之间的协方差信息。

从统计角度看，这相当于从“几个独立误差棒”升级到了“一个完整的概率分布图”。

综合来看，这篇工作的核心逻辑可以概括为：

这意味着未来实验结果的表达方式可能发生改变。过去，我们习惯看到参数值 + 误差棒。未来，更合理的方式可能是参数值 + 概率分布 + 参数相关关系。这不仅能够告诉我们“测到了什么”，也能够告诉我们为什么相信这个结果。

深远意义

这项工作的意义并不仅仅局限于热反射技术本身。任何包含复杂参数耦合和非线性反演的问题，都可能存在类似的“自然坐标”。 例如，材料参数反演、电池模型分析、光谱拟合、物理约束机器学习等。

更重要的是，这项工作提出了一种值得推广的方法学思想：对于复杂物理系统，统计分析不应该脱离物理规律，而应该由物理模型帮助定义最合理的统计变量。热传导系统如此，其他复杂物理系统同样如此。

结语：重新理解科学测量中的“不确定”

科学研究中，人们常常关注实验结果本身。但一个可靠的实验，不仅需要回答“测到了什么”，还需要回答“为什么相信这个结果”。这项工作的真正价值，在于改变了我们理解测量误差的方式。它告诉我们：误差并不是简单附着在实验结果上的一个数字，而是隐藏在物理规律、参数关系以及概率空间中的完整信息。

从热传导方程中寻找自然坐标，是连接物理规律与统计分析的一座桥梁。从“误差棒”到“概率分布图”，未来科学测量的发展方向或许不再只是追求更高精度的单点结果，而是更加真实、完整地描述一个物理系统背后的概率世界。

作者简介

第一作者：陈韬，华中科技大学能源与动力工程学院2026届硕士毕业生，现于美国耶鲁大学攻读博士学位。

硕士阶段主要开展光学热反射技术开发与微纳尺度热输运研究，致力于微尺度热物性测量方法创新及复杂界面热输运机制探索。相关研究成果发表于 PRApplied、ICHMT、IJHMT、ATE 等国际期刊，累计发表 SCI 论文20余篇，其中第一作者身份论文9篇；获授权国家发明专利2项，并多次在国内外学术会议作口头报告。同时担任 PRL、PRB、PRApplied 等国际期刊审稿人。

科研期间曾两次获得研究生国家奖学金，并获评华中科技大学优秀毕业生、优秀硕士学位论文。

个人主页：https://scholar.google.com/citations?user=wLh8cHgAAAAJ&hl=zh-CN

通讯作者：江普庆，华中科技大学能源与动力工程学院研究员、博士生导师。

2004年至2010年就读于清华大学热能工程系，获热能工程及工程热物理专业学士、硕士学位；2010年至2015年赴新加坡国立大学攻读博士学位，获机械工程专业博士学位。2016年至2021年期间，先后在美国科罗拉多大学博尔德分校和匹兹堡大学开展博士后研究工作。2021年加入华中科技大学，入选湖北省高层次引进人才、“武汉英才”产业领军人才。

江普庆长期致力于微纳尺度热输运性质的实验测量与机理研究，研究方向包括：新型微纳尺度热物性测量技术的开发与应用、异质界面热阻与固液界面热阻测量、芯片与微电子器件中界面及微纳结构材料热输运机制研究。

近年来，团队围绕热反射技术开展微尺度热物性测量方法研究，并推动相关技术在高校科研和产业应用中的推广，为科研机构及企业提供基于热反射技术的微尺度热物性测量系统搭建与测试方案支持。

个人主页：http://faculty.hust.edu.cn/jiangpq/

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