Zmn-1377-r 薛问天: 这是一个典型的多动脑筋，注重思考的数学问题。评师教民《1376》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生的《Zmn-1376》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

这是一个典型的多动脑筋，注重思考

的数学问题。评师教民《1376》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

师教民在《1376》中实际上就说了一句话。【同济大学数学教研室主编、高等教育出版社 1996 年 12 月 第 4 版的极限理论的中国名著《高等数学》上册，在第 72 页中定义了高阶无穷小变量，这个定义的原文如下：“α 及 β 都是在同 一个自变量的变化过程中的无穷小，且 α≠0，而 lim(β/α)也是 在这个变化过程中的极限．定义：如果 lim(β/α)=0，就说 β 是 比α 高阶的无穷小，记作 β=o(α)”． 上述定义规定 α≠0 时就否定了 α=0．请问薛问天先生，我说的对不对？若对，就请只回答一个字对！若不对，请只回答一 个字错并说明错误的理由！不要掺和其他了，不要答非所问了． 】

我真搞不清楚，为什么师教民先生总是在歪曲我们讨论的质质内容。我们讨论的问题是对定义中的要求【α≠0】如何理解？从来都没有质疑过定义中规定了α≠0的要求。

我在《1269》中说得如此清楚。我说:

〖问题是对定义中的要求【α≠0】如何理解？如果无穷小α及β的自变量是Δx，极限lim(β/α)= 0是Δx→0时的极限。这个【α≠0】的要求是要求:

①对所有的Δx的值都要求有α(Δx)≠0，还是

②只要求对于Δx≠0的值使α(Δx)≠0即可，允许α(0)=0。〗

而且明确表达了我个人的意见。

 〖我认为应是②。理由是，之所以要求α≠0是要求α不在分母中出现，但因Δx→0时β/α的极限，同Δx=0时α及β的函数值无关。因而求当Δx→0时lim(β/α)= 0的极限时，如果α(0)=0，对求此极限毫无影响。所以可以允许α(0)=0。例如求函数y=x^2的导数时，就承认β(Δx)=ΔxΔx是α(Δx)=Δx的高阶无穷小，而对此α就有α(0)=0。〗

师先生在《1274》中作出反驳，说【定义式 β=o(α)里的α≠0 是死的，是不可改变的．你薛问天先生企图通过给这两条蛇 β，α 添上足(Δx) 并令Δx=0 的方法使【允许α(0)=0】，这就真正违背了上述《高等数学》教材中的定义式 β=o(α)里的α≠0 的规定】。

师先生说【薛问天先生在他的文章 Zmn-1371 中，由于答不上我在我的论文 Zmn-1370 里的提问，只好又搬出他与我过去的讨论，并用大量的篇幅来掩盖自己由于答不上我的提问而犯的错误．】

我们来看他在《1370》中说了什么？师教民说【在定义中【规定 α≠0】 时，无穷小变量α 的自变量及自变量的数值都未写出来，也就是说，不论 α 的自变量用什么字母、自变量的数值是多少，都规定了α≠0，也就是说，不论α 的自变量用不用字母Δx，Δx=0 还是Δx≠0，都必须规定α≠0．薛问天先生在他的文章 Zmn-1269 的开头的第 2 段里选择了字母Δx 为α 的自变量，所以α 写全后就成为α(Δx)．因为不论是Δx=0 还是Δx≠0，都必须规定α≠0，所以必须有 α(Δx)≠0 (Δx≠0)；α(Δx)≠0 (Δx=0) 即α(0)≠0．所以，薛问天先生在他的文章Zmn-1269的开头的第4段里说：【允许α(0)=0】就违背了上述极限理论的中国名著《高等数学》规定 的α≠0 即α(0)≠0．】

也就是说我们讨论的问题是对定义中的要求α≠0，应如何的正确理解，师先生认为定义中的要求α≠0，是①对所有的Δx的值都要求有α(Δx)≠0，我认为定义中的要求α≠0，是②只要求对于Δx≠0的值使α(Δx)≠0。我不明白为什么师先生要把它歪曲为这次所说的【规定 α≠0 时就否定了 α=0．请问薛问天先生，我说的对不对？】

我上次己经说过〖这都是对α≠0这个要求的正确理解有关的问题。如果你认为α≠0的要求是【当Δx≠0时α(Δx)≠0】，那么它否定的就是【当Δx≠0时α(Δx)=0】，否定不了在Δx=0 时α(Δx)=0 即 α(0)=0。〗

也就是说我们讨论和争论的问题，並不是定义中有没有规定α≠0的要求。当然有此要求，问题是对定义中的α≠0的要求的含义，应如何正确理解的问题。关于这个问题，对定义中的α≠0的要求的理解，对与不对，谁对谁错，我早已作了回答。说什么【用大量的篇幅来掩盖自己由于答不上我的提问】，全是不符合实际的胡言乱语。

我在讨论中已讲明白，这是一个典型的多动脑筋，注重思考的数学问题。要知道，单纯从字面上是搞不清α≠0的含义的。对α≠0可以有各种各样的解释和理解。我们提出了①和②两种不同的解释。余月半先生还提出另一种第③种解释。他说α是无穷小，因而α≠0的意思是α不是常数0这个无穷小。当然这也是一种不同与①和②的对字面上【α≠0】的合理的解释。我们讨论和争论的问题，是对定义中的α≠0的要求，应如何正确理解的问题。要弄明白在定义中α≠0的理解，就要考虑为什么在定义中要作出α≠0的要求。我在《1269》和《1284》文后跟帖评论中己说清楚。

〖说来说去怎么还没有改掉不懂脑子的坏习惯。既然你想通了定义中要求α≠0，是由于当Δx→0时β(Δx)/α(Δx)→0，要求除数不等于0。就应再想一想，在极限理论中说得很清楚，当x→x0时求f(x)的极限，同函数f(x)在x0点的值f(x0)是无关的，根本不涉及x=x0时的情况。也就是说当Δx→0时β(Δx)/α(Δx)→0，根本同这个函数在Δx=0时的情况无关。所以说这里要求的α≠0根本同Δx=0无关，只要要求在Δx≠0时α(Δx)≠0就完全满足定义中当Δx→0时，β(Δx)/α(Δx)→0，对求极限时除数不为0的要求。也就是说对定义中的α≠0要求的正确理解是，要求的α≠0根本同Δx=0无关，只要要求在Δx≠0时α(Δx)≠0就可以了。不能把α≠0错误地理解为，不论是Δx≠0 还是Δx=0，都必须有 α(Δx)≠0。〗

也就是说要弄清定义中α≠0含义的正确理解，必须多动脑筋注重思考。要弄清为什么在此定义中要提出α≠0的要求。这样才能对α≠0作出正确的理解。不能采取师先生的那种歪曲问题的本质，並用【死记硬背，不动脑子】的【问一句答一句】的方法【我说的对不对？若对，就请只回答一个字对！若不对，请只回答一 个字错】要知道用这样的方法，解决不了讨论的数学问题。

我们讨论的问题不是定义中是否【规定α≠0】和【否定α=0】的问题。而是对定义中的【规定α≠0】的这个要求和否定的含义应如何理解的问题。在讨论中我已非常仔细地说明了我的观点。我认为定义中的α≠0的含义是〖只要求对于Δx≠0的值使α(Δx)≠0即可，不能把α≠0错误地理解为，不论是Δx≠0 还是Δx=0，都必须有 α(Δx)≠0。〗而且讲清楚了理由。那就是〖理由是，之所以要求α≠0是要求α不在分母中出现，但因Δx→0时β/α的极限，同Δx=0时α及β的函数值无关。〗你师先生的观点也是很清楚的。你认为【不论是Δx=0 还是Δx≠0，都必须规定α≠0，所以必须有 α(Δx)≠0 (Δx≠0)；α(Δx)≠0 (Δx=0) 即α(0)≠0．】所以现在的问题不是由我来说【对不对】的问题，对定义中的α≠0的要求的理解，对与不对，谁对谁错，我早已作了回答。而是要求由你来讲清楚你的道理。看你能否讲清楚Δx=0时α的函数值，会在Δx→0时求β/α的极限时在分母中出现。师先生怎么连这都搞不明白。

对高阶无穷小定义中的【规定α≠0】的要求如何正确理解，这是一个有趣的典型的要动脑筋注重思考的数学问题。我在《1269》中还告了大家我询问对话的结果。

对话的水平不低，他回答得非常正确。我最欣赏的是他对理解①错误性质的评说，非常准确。认为①的错误是必要性不足和实用性受限。他说

〖为何不要求①（所有Δx均α≠0）？

· 必要性不足：极限仅依赖于趋近过程中的局部行为，全局要求（如α(0)=0是否成立）对极限无影响。

· 实用性受限：若要求所有Δx（包括Δx=0）均满足α≠0，会导致许多常见的高阶无穷小（如α=Δx）被排除，破坏定义的普适性。〗

这些说得都非常恰如其分，相当准确。请问师先生，你能对此提出你认为①正确的辩驳理由吗？

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