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对实变函数(实分析)的切身体会——给本科生(附刘敏思老师的对话)

已有 37301 次阅读 2014-9-27 14:00 |系统分类:科研笔记

   实变函数,也叫做实分析,也戏称十遍函数,它始于1901年Lebesgue的博士论文《积分,长度与面积》,这个博士论文就是Lebesgue考虑实际生活中怎么量面积体积建立的数学模型,提炼出的抽象数学表达,也可以叫做测度论。更多的介绍这段历史见Lebesgue积分的产生及其影响by Jean Pierre Kahane(范爱华教授译),特别的,这篇文章提到了Lebesgue1926年在哥本哈根的一次演讲中,介绍商人数钱形象的例子,这个例子是说Lebesgue积分Riemann积分的区别。


   我在这里举René Schilling在实分析教材Measures, Integrals and Martingales第1章, 提到对测度可数可加性的一个形象的例子(也就是古代中国数学家刘徽割圆法计算圆的例子,以前看到这个例子是利用极限计算圆周率



Levin的Markov Chains and Mixing Times书中,给出了两个概率测度全变差和两个概率测度之差的L1范数的关系


这样的1/2的关系可以用下图形象的表示



一个Hilbert介绍可数性的著名例子,见 世界上最大的旅馆——希尔伯特旅馆

还有形象的解释康托定理的证明的短文康托定理与理发师悖论_文兰.pdf

在管理学中还有无限猴子定理哲学道理的短文 从_无限猴子定理_谈企业管理_常浩.pdf,这是 Borel–Cantelli引理的一个例子。



   在此之前数学家都是和牛顿、黎曼等人的微积分打交道,经过几十年后人的发展形成实变函数。

   十遍函数是现代数学的基础,也是数学考博的必考课程。十遍函数披上概率论的外衣后,在现代统计的大样本理论中也常常使用。就像那些高中不认真花时间学数学的人觉得高考数学很难一样。中学数学是进入微积分的门槛。实变函数是进入现代数学做研究的门槛,研究生博士阶段经常用到,当了大学老师之后教课也重复几遍了,这加起来估计老师也学了至少十遍了。
   本科觉得实变难学,那时因为学的时间太少。一般人都是上课学一遍,期末复习学一遍,学不好很正常。

聪明的人学一两遍就搞定(我身边就有这样的人),笨的人得学十遍总可以学好。

   如果大学毕业不读研,实变函数是完全没有用的。就像学了高中数学,不上大学学微积分,一样中学数学也几乎没有用。一般人生活用小学数学就足够了。
   如果没有现代数学在二十世纪的发展,我们平时所玩的电脑、上的网络、听的mp3、用的手机都不可能存在。当然,一般的普通大众是没必要了结这些艰深抽象的东西,但是它们的存在和发展却是必需的,总要有一些人去研究这些。所以在选拔人才的时候需要先让大家学习这些数学课,然后再选出厉害的继续研究这些数学。
   数学是从具体到抽象,再抽象的过程。从自然数到集合,从集合到群,从群到拓扑,从拓扑到流形。从点到线,从线到面积,从面积到积分,从积分到实变函数和泛函分析。长的人脑能想到的东西也就这点了。只要你有时间,努力去学,学很多遍,都能看懂,必竟数学家也是人,人脑是肉长的。数学家们拥有的天赋是他们的脑袋能快速深刻理解这些概念,并能够基于这些做出开创性的工作。


推荐阅读:

对实变函数的几点认识.pdf



附录:我与刘老师的对话


Res∫f(Einstein,z)dz 17:06:12

谢谢,读了研究生,学了高等概率,高等统计才对实变了解深刻了,也知道了很多应用,本科的时候,都是糊涂的学

刘敏思 17:07:44

是的,它是应用很广,很有用的工具

刘敏思 17:09:51

尤其在现代数学中,以前不深刻,主要限于知识背景(古典的多,现代的少)。

Res∫f(Einstein,z)dz 17:12:09

我觉得实变教学要是结合一些概率的背景就能让学生容易理解,上次听了范老师讲勒贝格和实变故事,影响深刻,

刘敏思 17:12:14

不过本科虽然理解不深,但打好了基础,对后面的学习是很有益的

Res∫f(Einstein,z)dz 17:12:22

嗯嗯

Res∫f(Einstein,z)dz 17:13:21

好多博士资格考试有实分析

刘敏思 17:14:43

实际上,你们本科的概率,涉及实函的知识很有限,主要涉及数分的知识

Res∫f(Einstein,z)dz 17:16:19

那也是,很难兼得

刘敏思 17:23:02

在知识的学习过程中,并不是所有知识都要讲背景,尤其现代数学,它离实际背景相去很远,等你追溯到他的根源,你可能又不认识现代数学的东西了。现代数学很多是部分的背景,加上人的智慧。可能更强调人的智慧

Res∫f(Einstein,z)dz 17:28:28

嗯嗯,那是智商高的人,很聪明的人可以那样。但是在我接触学这门课的同学们中,都大多数同学都不能智慧的理解,也得照顾照顾。



刘敏思 17:41:20

实变函数就是启迪智慧,锻炼智慧的一门课,可能当时很多同学学这门课时,不太注意这一点,还是停留在惯性思维上,总要找根,而这里的根就是集合,集合实际上本身就是抽象的,它是现代数学的出发点。很多文章实际上都是在对实函有了一定的基础再看,可能觉得有意思,很好。但对一位初学者,思想一片空白,你能对他有认识吗?学习实函有点像,小孩识数,初学的时候,强行要求的多,需模仿的多

Res∫f(Einstein,z)dz 17:46:02

哦哦,那也是个筛选人才的工具了 。就像高考数学,笨的不能理解就被淘汰,不能进一步到研究生水平。

刘敏思 17:52:56

实变函数在某种意义上就是这样一门课,上去了现代数学的学习一片光明,否则只能停留在古典数学的阶段,这也可能是为什么真正成为数学上很有造诣的人不多的原因。

Res∫f(Einstein,z)dz 17:58:57

理解你的意思了

刘敏思 18:06:13

集合起点低,接触早,但它的水深不可测,它既是启迪现代数学的钥匙,更是促使它发展的宝剑,需要不断地发掘和磨砺,才能使现代数学充满活力




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