从贝叶斯公式看精准医疗中的癌症预防

        最近科学网精选博文中有关概率论悖论给我了一些新鲜的启示，让我明白人们对于临床疾病的发生的真实概率与自我常识有很大背离。比如，现代医学诊断水平可以达到很高的准确性，但是即使某病人某一项指标为阳性，而得出该病人与该指标直接相关的疾病的发生概率却低的多。我们直接从张天蓉博客中引用一个例子：

王宏去医院作验血实验，检查他患上了X疾病的可能性，其结果居然为阳性，把他吓了一大跳，赶忙到网上查询。网上的资料说，实验总是有误差的，这种实验有“百分之一的假阳性率和百分之一的假阴性率”。这句话的意思是说，在得病的人中做实验，有1%的人是假阳性，99％的人是真阳性。而在未得病的人中做实验，有1%的人是假阴性，99％的人是真阴性。于是，王宏根据这种解释，估计他自己得了X疾病的可能性（即概率）为99%。王宏想，既然只有百分之一的假阳性率，那么，百分之九十九都是真阳性，那我已被感染X病的概率便应该是99%。

可是，医生却告诉他，他被感染的概率只有0.09左右。这是怎么回事呢？王宏的思路误区在哪里？

医生说：“百分之九十九？哪有那么大的感染几率啊。99％是测试的准确性，不是你得病的概率。你忘了一件事：这种X疾病的正常比例是不大的，1000个人中只有一个人有X病。”

医生的计算方法是这样的：因为测试的误报率是1%，1000个人将有10个被报为“假阳性”，而根据X病在人口中的比例（1/1000=0.1%），真阳性只有1个。所以，大约11个测试为阳性的人中只有一个是真阳性（有病）的，因此，王宏被感染的几率是大约1/11，即0.09(9%)。

王宏想来想去仍感糊涂，但这件事激发了王宏去重温他之前学过的概率论。经过反复阅读，再思考琢磨医生的算法之后，他明白了自己是犯了那种叫做“基本比率谬误”的错误，即忘记使用“X病在人口中的基本比例（1/1000）这个事实。

有意思的是，大部分人的感觉是这个王宏在检查出指标为阳性后，那么他（或她）得病的概率应该为99%，而不是9%。但是真实的答案就是9%，我认为这个可能被案例中的这句话所误导，即“百分之一的假阳性率和百分之一的假阴性率”。正如张天蓉的原文补充，这句话的意思是说，在得病的人中做实验，有1%的人是假阳性，99％的人是真阳性；而在未得病的人中做实验，有1%的人是假阴性，99％的人是真阴性。案例中的王宏其实并不知道自己得病还是没得病，比如没有任何症状，也没有任何其他后验证据，这时的概率和在得病的人中做实验，真阳性的概率99%是不同的。

在数学上这个概率的计算就是使用了贝叶斯公式（直接引用张天蓉的计算）：

这个概率问题在临床诊断中特别常见，也特别容易误导医生和病人，显然很有必要把这个概率问题认识清楚，这或许能够显著改善现有疾病预防模式。

与以上的概率悖论特别有关系的就是目前精准医疗中的疾病预防领域，该领域依然充斥着违背概率论的常识看法或做法。特别在癌症预防上，因为已有流行的癌症理论就是基因突变论，该理论把癌症的本质或原因归结为某一些基因的突变，而相应的癌症早预防思路也就近发展出被认为是精准医疗的一部分（我们把精准医疗分为预防和治疗两部分来分析）。比如，已有研究可能得出某一种癌症是由某一个或有限的几个基因突变导致的，那么为了早期预防，在人群中筛查这几个基因，如果发现某人该几个基因突变（或是易突变的类型），那么可以预期该病人有很高的比例在比正常人来的快的时期患上癌症。结果就是对这些阳性候选人进行预防干预。在这里如果我们不学习以上的概率悖论例子，也许觉得这样的干预很有必要，因为阳性候选人患上癌症的概率是相当高的，但是学习了以上的概率悖论，我们其实知道这种概率是很低的，远比人们预想的要低。

我们举一个现实的例子来说明这个问题：

我们之前听说，好莱坞影星安吉丽娜朱莉通过《纽约时报》向大家揭露了她惨痛的经历。因携带有BRCA1/2致癌基因，她有87%的机会患上乳腺癌（我们假设5年）。为了防患于未然，她决定切除双乳(确切说是切除双侧乳腺)。美国乳腺癌的发病率为246,680/104,442,302=0.236%（每年每1000成年妇女中有2.36个人患上癌症。我们把预防癌症定位为5年不得癌症。

A:普通妇女5年癌症得病；

B：BRCA1/2致癌基因阳性；

P(A):普通妇女人群5年患癌概率1.18%；

P(B｜A):乳腺癌病人中BRCA1/2致癌基因阳性检测率87%；

P(A｜B):有阳性结果的条件下，安吉丽娜朱莉5年内患癌概率；

P(B)：结果为阳性的总可能性=检查阳性中的真阳性+检查阴性中的真阳性。

通过贝叶斯公式，P(A｜B)= P(B｜A)×P(A)/ P(B)=87%×1.18%/（87%×1.18%+13%×98.2%）=7.4%。

安吉丽娜朱莉认为自己有87%的概率罹患癌症（我们假定为5年内），但是实际上她5年患上癌症的概率只有7.4%，这个概率高不高？显然相对于普通人群是高很多，但是我们要知道，如果人或的足够长，患癌的概率高达40-50%。因此安吉丽娜朱莉的患癌特别是乳腺癌的几率并没有她的医生认为的那么高（87%）。

精准医疗中的癌症预防都会涉及这个概率悖论，流行的看法是癌症就是基因突变导致的，那些检测高频出现的基因靶点就成了精准医疗的治疗目标，同样也是预防目标。我们的看法是癌症是一个复杂性疾病，不可能依靠还原论的思维，比如将癌症归咎于基因突变所能解释的，其治疗思维在逻辑上就站不住脚，更别说再通过这个概率悖论的数学规律来反驳。

相关专题：概率问题与贝叶斯定理
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