7. 奇妙的旋转（之二）

1986年，著名物理学家费曼在一次纪念狄拉克的演讲（视频）中^【1】，讲到反物质、对称、和自旋时，为了生动地解释电子自旋，身体力行，模拟演示了一段水平放置的杯子在手臂上的旋转过程，如图7-1a所示。费曼当时以风趣的语言及精彩的表演，赢来掌声一片。

图7-1：在三维空间旋转360度，一定能够复原吗？

费曼奇妙的旋转演示，与物理中深奥的自旋概念，有着什么样的联系呢？

上一篇中我们介绍了几种旋转李群。二维复数空间的特殊旋转群SU(2)，与三维实数的特殊旋转群SO(3)，是2：1的同态关系。在物理上，SU(2)中的一个元素，对应于自旋1/2的粒子的波函数在二维表示下的一个转动，它与3维旋转群SO(3)之间2：1的同态关系意味着：如果自旋1/2粒子的一个旋转（U），对应于SO(3)中的某个转动O的话，旋转变换（-U）也将对应于同样的转动O。

事实上，SU(2)变换可以类似于SO(3)，用相应的3个欧拉角[a、b、g]来表示：

上面公式中的后一部分，是当固定转轴（a=0，b=0）简化后的情况。从U(0,0, g)的表达式可知，如果g=2p，也就是3维空间中旋转了360度时，SU(2)中的元素U(0,0, g)只是改变了符号，相当于旋转180度。而如果当g=4p，也就是3维空间中旋转了720度时，U(0,0, g)才变回原来的符号，等效于自旋空间中一个360度的旋转。

所以，自旋空间中的旋转只等于真实3维空间中旋转角的一半。这是自旋为半整数的粒子，或者说，费米子的特性。但自旋是微观粒子的内禀特性，经典世界中并无对应物。那么，在真实世界中是否也存在这种现象，旋转360度不能恢复原来的状态，只有当旋转720度时才能恢复？费曼所作的演示，便给出了这个问题的答案。费曼的演示实验，实际上是来源于狄拉克提出的所谓“Dirac’sbelt”、”Dirac’sscissors”等等实验想法，详情请见图7-1b。

然而，这些真实空间中的旋转演示，毕竟不同于自旋空间中的转动，还是让更为强大的数学武器：李代数来帮助我们，才能对旋转李群有更深的理解。

自从牛顿和莱布尼茨发明了微积分之后，数学家们就喜欢上了“无穷小”。凡事都要“万世不竭”地追究下去。他们将无穷小概念搬上几何，便有了微分几何。本系列一开始介绍的外尔，也是因为热衷于探究“纯粹无穷小”，才走上了创立规范理论之路。

现在，我们将这“无穷小”，用到连续旋转群上试试看，也就是说考虑如何对“群”作微积分。李群这种光滑的群流形，是作无穷小试验的好对象。李群既是群又是无限可微的流形，这一点对研究而言，带来了复杂性，也有其特殊的优越性。

李群既然是群，它作为流形一定有其与众不同之处。群中有一个特殊的幺元，我们就从这个“幺元”开始解剖群流形。一个n阶李群流形中的每一点G，可以用n个参数c_i表示：G(c₁,c₂,.. c_n)。为方便起见，在幺元处将这些参数的值取为0：G(0, 0,..0) = (1)，这儿用(1)来表示幺元。

比如说，上一节中讨论过的旋转李群U(1)，由复数平面上的所有旋转G (q)=e^iq构成，因此U(1)的流形是单位圆（图7-2a）。这儿的G(q)代表群元素，q是连续变化的实参数。当q等于0的时候，G=1，对应于群的幺元。旋转群中幺元的意思就是不旋转。那么，如果q有别于0，但等于一个很小的数值e的话，便将对应于一个无穷小的旋转：

G(e)  = 1+ie，                                                                          （7-1）

图7-2：李群和李代数

从图7-2a可见，公式（7-1）中的无穷小参数e可以用过幺元的切线（图中蓝色直线）上面的点来表示。参数e在实数范围内变化，可以描述幺元附近U(1)群的性质。如果将这些无穷小群乘上U(1)群中的任意一个元素h，便可得到在h群元邻域作无穷小变化的旋转群。所以，幺元切线上参数e的变化也描述了h附近的群的性质。因为h是任意的，所以说，幺元切线上的参数e的变化，描述了U(1)群在任意群元附近的局部性质。

无穷小总是和切空间联系起来，这点并不奇怪，在微积分中就是如此。因为微分本来就是对函数值局部变化的一种线性描述。在微积分中，曲线的线性化得到过该点的切线，平面曲线在给定点的微分便对应于该点切线的斜率。曲面的局部线性化，则得到过该点的切平面。

过微分流形上的每一个点，都可以定义一个切空间，构成流形上的“切丛”。为了在流形上作微积分运算，需要有某种方式将这些切空间互相联系起来。我们在黎曼几何中，曾经介绍过协变导数。协变导数需要引进联络来定义流形上的微分。在具有群结构的李群流形上，更方便的方法是使用“李导数”来定义微分，李导数不需要引进联络的概念，它是一个定义在两个矢量场X,Y上的对易子。

李群具有群结构，所以比一般随意变化的微分流形有更多的特色。这使得研究它时有了一些方便之处：比如，根据刚才U(1)群的例子，我们并不需要研究流形上每一个点的切空间，而只需要研究与群的“幺元”对应的那个点的切空间就可以了。这个结论可以从U(1)推广到一般李群。发明李群概念的挪威数学家索菲斯·李，在李群幺元的切空间上构造出了一个与原来李群结构相对应的代数关系，并且当时将他的这套理论取了一个不是十分确切的名字“无穷小群”。后来，外尔将其正名为“李代数”，见图7-2b。

李群流形上每一个点的切空间都可以和幺元上的切空间关联起来，这个特性表明李群流形的切丛是平凡的，这也就是为什么只用幺元上的切空间（李代数）便能描述整个群的特征。并不是所有的微分流形都能赋予“群”的结构，如果流形的切丛不平凡，便没有群结构与其对应，比如说，一维球面（圆）S¹可以对应于2维空间的旋转，但2维球面S²就不是一个李群流形，因为2维球面的切丛是不平凡的。三维球面S³则与SU(2)同构。不过，切丛平凡不是流形能够被赋予群结构的充要条件，如7维球面有一个平凡的切丛，但却不是李群，没有相应的群结构。

如上所述，李群上的李代数，就是流形上对应于幺元那个点上的切空间^【2】，见图7-2b。不过，要在矢量空间中构成“代数”，还得加上满足一定条件的某种2元运算，这些条件包括：双线性、反对称、雅可比恒等式等。李代数上定义的这种2元运算被称之为“李括号”，用符号[X,Y]表示。换句话说：李代数是用李括号装备起来了的幺元上的切空间。李括号[X,Y]可以用不同的方式定义，比如说：如果流形上定义了李导数，李括号便可以定义为幺元上的李导数。在三维矢量空间中，李括号可以定义为两个矢量的叉乘。对我们这儿所感兴趣的旋转群来说，矩阵是最简单直观的表示方式，因而，李括号可以用其表示空间的矩阵交换乘法运算来定义：

[X,Y] = XY – YX。

为什么要研究李代数？因为比较起李群的流形结构而言，李代数（切空间）是性质更为简单的线性矢量空间。李群可以看作是李代数的指数映射：exp(李代数)=李群，李群中群元之间的“乘法”，在李代数中变成了更容易计算的参数相加。此外，如果李群是连通的，称之为简单李群，（U(1)、SU(2)、SU(3)都是简单李群）。简单李群的任意群元素都可以由无穷小生成元连续作用而生成，李代数便能完全描写简单李群的局部性质。生成元之间李括号的对易性与李群中乘法的对易性密切相关。

每一个李群上都有幺元，幺元上的切空间便能定义李代数。反过来呢？有了李代数，可以通过指数映射得到李群，但是，与同一个李代数对应的李群并不是唯一的。

比如，返回到U(1)群的例子。幺元上的切线，即图7-3a中圆圈右侧的直线，便是U(1)群的李代数。二维实数空间旋转群SO(2)和U(1)群同构，因而它们的无穷小群也类似，具有同样的李代数，即1维实数空间R¹。然而，全体实数R¹的加法也构成一个李群，幺元即为实数0，（图7-3a的左上图），显然，过实数0的切空间就是R¹本身。所以，这个实数加法群的群流形和李代数均为R¹。因此，如图7-3a所示，如果反过来，从R¹找相应李群的话，找到的李群流形将不止一个。至少能找到像“实数加法群”那种1维实数空间，以及对应于SO(2)或U(1)的单位圆这两种不同的结构。

图7-3：（a）实数加法群和SO(2)的李代数相同（b）SU(2)的生成元

同样的李代数可以对应不同的李群流形，这是因为李代数只能描述李群的局部性质，不能描述流形的整体拓扑。比如图7-3a的两个李群流形，从直观的几何图形就能看出来，单位圆的局部特征与R¹是一样的，但整体拓扑结构却不一样。

理论物理中感兴趣的是构成李代数这个线性矢量空间中的基矢量，也叫做李群的生成元。图7-3b显示的是SU(2)的生成元，就是量子力学中的泡利矩阵。李群的生成元与物理中的守恒量密切相关，将在下面一节中叙述。

参考资料：

【1】R. P.Feynman: Elementary Particles and the Laws of Physics (1986 Dirac memoriallecture)

https://www.youtube.com/watch?v=cKzzG5DS6V8

【2】Choquet-Bruhat, Yvonne; Dewitt-Morette, Cécile;Dillard-Bleick, Margaret (1982), Analysis, manifolds and physics. Part I:Basics, North Holland, page150-190.

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