7. 费曼的路径积分（一）    

已故的著名物理学家理查德·费曼（RichardPhillips Feynman，1918-1988）将最小作用量原理应用到量子力学，提出了对量子论一种完全崭新的理解，那就是费曼路径积分。

高中时代的费曼第一次听他的老师巴德给他讲到最小作用量原理，便为它的新颖和美妙所震撼。我想，这种感受一直潜藏在费曼脑海深处，之后才能转化成如同一支“神来之笔”，使他在量子理论中勾画出路径积分以及费曼图这种天才的神思妙想。

作为一个大学本科生，费曼在MIT了解到量子电动力学面临着无穷大的困难。费曼是一个勇于挑战、充满创造力的科学家，他不被当时物理学的困境和前辈们的一筹莫展所吓倒，而是将此视作一个机会，并由此而立下雄心大志：首先要解决经典电动力学的发散困难，然后将它量子化，从而获得一个令人满意的量子电动力学理论。费曼说^【1】：“既然他们对我想要解决的这一问題都没有给出一个令人满意的答案，我就不必理睬他们的工作。”费曼凭直觉把这个无穷大的原因归结为两点：一是因为电子不能自己对自己产生作用，二是来源于场的无穷多个自由度。当费曼到达普林斯顿大学成为约翰·惠勒的学生之后，他将自己的想法告诉惠勒。惠勒比费曼大7岁，与波尔和爱因斯坦均有交往，两位名师手下的高徒，对物理学的理解显然比当时的费曼更胜一筹。惠勒当即指出费曼想法中几个错误所在，但也保留了这个年轻人想法中的某些精华部分。在惠勒的指导和帮助下，费曼兴致勃勃地开始了他的博士研究课题。不久之后，两人首先合作解决了经典电动力学中的无穷大问题^【2】。

费曼始终没有忘记中学时听到最小作用量原理时给他带来的震撼，总想由此而导出电动力学。因而，他对经典电动力学构造了一个作用量的表达式（不喜欢公式的读者请忽略以下几个表达式，只读上下文也能很好地理解其中的内容）^【3】：

                                                                                                                                            （7.1）

由此作用量之表达式，在一定条件下，费曼可以推导出麦克斯韦方程。

费曼自认为比较满意地解决了经典电动力学的问题之后，便想将上述作用量量子化，以建立量子电动力学的新理论。尽管费曼为此努力了好几年却一直未能成功，他却始终不渝地坚信问题的关键是要寻找适当的作用量的表达式。

在一次酒店聚会上，费曼偶遇一个到普林斯顿访问的欧洲学者Herbert  Jehle。费曼问他是否知道有谁在量子力学中引进过作用量的概念？Jehle说：“有啊，狄拉克就做过！”

这时，费曼才知道狄拉克在1933年（距当时好几年前）^【4】的一篇文章中就已经将拉格朗日函数引入了量子力学。于是，费曼急不可耐地去图书馆找来了那篇文章，并在Jehle的帮助下，理解并发展了狄拉克的想法，几年来的冥思苦想终于在狄拉克文章的启发下得到了答案。之后，在此基础上，费曼进而提出了与最小作用量原理相关的量子力学路径积分法。

对应于牛顿定律，量子力学中粒子运动的规律由薛定谔方程描述。量子力学与经典力学不同的是，牛顿方程描述的是粒子运动的轨迹，是一条线。而薛定谔方程的解却是一个全空间的波函数y。波函数的平方被解释为粒子在空间出现的几率。既然是一种波，它最好的类比物当然是光波。从前面几节的叙述中我们已经了解到：几何光学中的最小作用量原理就是费马原理，那儿的作用量指的是“光程”。而光程又是什么呢？光程被定义为相应时间内光在真空中走过的距离，但它从本质上来说，所对应的是光波的相位。因为随着光的传播，光程增加，其相位便随之而周期性地变化。如图1中左图所示。

图1：光程、相位、和惠更斯原理

狄拉克认为，量子力学中几率波的传播方式可以类比于光学中的惠更斯原理（图1右）。惠更斯将行进中的波阵面上任一点都看作是一个新的次波源，这些次波源发出的所有次波下一时刻所形成的包络面，就是原波面在一定时间内所传播到的新波面。如果用数学语言来描述，惠更斯原理可以用下列积分来表示：

                                                           （7.2）

公式中的G(x,y)，是时刻t₁的波动到时刻t₂的波动的转换函数，或称之为“核Kernel”，或传播子。狄拉克还指出，传播子在量子力学中应该对应于：exp(i(t₂- t₁)* L/h)，其中的h 是表征量子效应的普朗克常数，而L则是经典力学中的拉格朗日量。

 狄拉克的这个将量子力学与经典力学中拉格朗日量联系起来的提议，立即在费曼脑海中产生了巨大反响。“这个想法太妙了！”费曼大受启发，也就是说，经典力学中的作用量应该体现在波函数的相位因子中！并且，费曼进一步大胆猜测：狄拉克的意思可能还不仅仅是说“对应于”，狄拉克难道是说量子力学中传播子就等于exp(i(t₂- t₁)* L /h)？不管怎么样，如果我让它们相等，能得到什么结果呢？

 于是，费曼开始了他的近似计算“游戏”！首先，费曼令e = (t₂- t₁)。首先只考虑当e比较小的时候的情形，这样有可能便于作近似。然后，他将经典的拉格朗日量采取动能减去势能那种最简单的形式：L=T-V=(1/2)m((y-x)/e)²-V。如此而来，费曼得到短时间内波函数传播子的表达式为：

                                                                （7.3）

因为G(x,y)是时刻t₁到时刻t₂的波函数之间的转换函数，这儿考虑的是粒子出现的几率波，没有了“速度”的概念，因而，拉格朗日量L不应该像经典拉格朗日量那样被看成是坐标和速度的函数，而应该被看作是时刻t₁、t₂以及对应的坐标x和y的函数，其中的动能也不能写成速度的函数的形式。动能的表达式成为：(1/2)m(x-y)²/e²。

 正因为对速度概念的上述考虑，狄拉克的假设只当(t₂-t₁)=e为极小量的时候才能成立。然后，费曼将（7.3）中的指数函数按照e 的泰勒级数展开。展开指数项之后，费曼首先发现他原来认为传播子就等于exp(i(t₂- t₁)* L /h)的猜想不是很准确的，至少应该还需要一个因子！所以，费曼兴高采烈地对介绍狄拉克文章给他看的Jehle说：“啊，狄拉克的意思不是说‘等于’，而是‘正比于’！”。加了这个因子之后，费曼将传播子重新表示为：

                                                                                             （7.4）

费曼又对公式（7.4）作了一些近似考虑和泰勒展开之类的代数运算后，得到：

                                                                 （7.5）

这个结果让Jehle既兴奋又吃惊，因为左手边的表达式中写在ih后面的，正是波函数对时间的偏导数表达式。所以，费曼用传播子（7.4）代人（7.2），最后导出的方程（7.5），实际上就是含时的薛定谔方程！

 （未完待续）

【1】TheDevelopment of the Space-Time View of Quantum Electrodynamics，NobelLecture by Richard P. Feynman, December 11, 1965。

http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1965/feynman-lecture.html

【2】R. P.Feynman and J. A. Wheeler. Reaction of the absorber as the

mechanism of radiative damping. Physical Review (2), 59(8):683,

April 1941.

【3】Interactionwith the absorber as the mechanism of radiation

Wheeler, John Archibald and Feynman, Richard Phillips (1945)Interaction with the absorber as the mechanism of radiation. Reviews of ModernPhysics, 17 (2-3). pp. 157-181.

【4】Dirac,Paul A. M. (1933). "The Lagrangian in Quantum Mechanics".Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion 3: 64–72.;  also see Van Vleck, John H(1928).  "The correspondence principle in the statistical interpretation ofquantum mechanics". Proceedings of the National Academy of Sciences of theUnited States of America (National Academy of Sciences) 14 (2): 178188.

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