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走近量子纠缠-7-贝尔不等式 精选

已有 25499 次阅读 2012-2-15 08:38 |系统分类:科普集锦

1963-1964年,在长期供职于欧洲核子中心(CERN)后,约翰·贝尔有机会到美国斯坦福大学访问一年。北加州田园式的风光,四季宜人的气候,附近农庄的葡萄美酒,离得不远的黄金海滩,加之斯坦福大学既宁静深沉,又宽松开放的学术气氛。这美好的一切,孕育了贝尔的灵感,启发了他对EPR佯谬及隐变量理论的深刻思考。

贝尔开始认真考察量子力学能否用局域的隐变量理论来解释。贝尔认为,量子论表面上获得了成功,但其理论基础仍然可能是片面的,如同瞎子摸象,管中窥豹,没有看到更全面、更深层的东西。在量子论的地下深处,可能有一个隐身人在作怪:那就是隐变量。

根据爱因斯坦的想法,在EPR论文中提到的,从一个大粒子分裂成的两个粒子的自旋状态,虽然看起来是随机的,但却可能是在两粒子分离的那一刻(或是之前)就决定好了的。打个比喻说,如同两个同卵双胞胎,他们的基因情况早就决定了,无论后来他(她)们相距多远,总在某些特定的情形下,会作出一些惊人相似的选择,使人误认为他们有第六感,能超距离地心灵相通。但是实际上,是有一串遗传指令隐藏在它们的基因中,暗地里指挥着他们的行动,一旦我们找出了这些指令,双胞胎的‘心灵感应’就不再神秘,不再需要用所谓‘非局域’的超距作用来解释了。

尽管粒子自旋是个很深奥的量子力学概念,并无经典对应物,但粗略地说,我们可以用三维空间的一段矢量来表示粒子的自旋。比如,对EPR中的纠缠粒子对AB来说,它们的自旋矢量总是处于相反的方向,如下图中所示的红色矢量和蓝色矢量。这两个红蓝自旋矢量,在三维空间中可以随机地取各种方向,假设这种随机性是来自于某个未知的隐变量L。为简单起见,我们假设L只有八个离散的数值,L=12345678,如下图所示,分别对应于三维空间直角坐标系的八个卦限。

由于AB的纠缠性,图中的红矢和蓝矢总是应该指向相反的方向,也就是说,红矢方向确定了,蓝矢方向也就确定了。因此,我们只需要考虑A粒子的自旋矢量(红矢)的空间取向就够了。假设红矢出现在八个卦限中的概率分别为n1,n2…n8。由于红矢的位置在8个卦限中必居其一,因此我们有:

n1+n2+n3+n4+n5+n6+n7+n8 = 1

 

现在,我们列出一个表,描述AB的自旋矢量在3维空间可能出现的8种情况。下图中的左半部分列出了在这些可能情况下,自旋矢量在xyz方向的符号:

既然AB二粒子系统形成纠缠态,互为关联,我们便定义几个关联函数,用数学语言来更准确地描述这种关联的程度。比如,我们可以如此来定义Pxx(L):观察x方向红矢的符号,和x方向蓝矢的符号,如果两个符号相同,函数Pxx(L)的值就为+1,否则,函数Pxx(L)的值就为-1。我们从上表左边列出的红矢蓝矢的符号不难看出,Pxx(L)8个数值都是-1。然后,我们使用类似的原则,可以定义其他的关联函数。比如说,Pxz(L),是x方向红矢符号,与z方向蓝矢符号的关联,等等。

在上图中的右半部分,我们列出了Pxx(L),以及Pxz(L)Pzy(L)Pxy(L)的数值。

现在,贝尔继续按照经典的思维方式想下去:我们的小孙悟空AB蹦出石头缝时,它们的两个自旋看起来是随机的,但实际上是按照上面的列表互相关联。然后,他们朝相反方向拼命跑。经过了一段时间之后,两个小孙悟空分别被如来佛和观音菩萨抓住了。如来和观音分别对AB的自旋方向进行测量。因为L是不可知的隐变量,因此,只有关联函数的平均值才有意义。根据上面表中的数值,我们不难预测一下这几个关联函数被测量到的平均值:

Pxx = -n1-n2-n3-n4-n5-n6-n7-n8 = -1

Pxz = -n1+n2+n3-n4+n5-n6-n7+n8

Pzy = -n1-n2+n3+n4+n5+n6-n7-n8

Pxy = -n1+n2-n3+n4-n5+n6-n7+n8

 

让我们直观地理解一下,这几个关联函数是什么意思呢?可以这样来看:Pxx代表的是AB都从x方向观测时,它们的符号的平均相关性。因为纠缠的原因,AB的符号总是相反的,所以同被在x方向观察时,它们的平均相关性是-1,即反相关。类似的,Pxz代表的是从x方向观测A,从z方向观测B时,它们符号的平均相关性。如果自旋在每个方向的概率都一样,即:n1=n2=…n8=1/8的话,我们会得到Pxz0。对PzyPxy,也得到相同的结论。换言之,当概率均等时,如在相同方向测量AB的自旋,应该反相关;而如果在不同方向测量AB的自旋,平均来说应该不相关。

我们可以用一个通俗的比喻来加深对上文的理解:两个双胞胎AB,出生后从未见过面,互相完全不知对方情况。一天,两人分别来到纽约和北京。假设双胞胎诚实不撒谎。当纽约和北京的警察问他们同样的问题:“你是哥哥吗?”,如果A回答“是”,B一定是回答“不是”,反之亦然。对这个问题,他们不需要互通消息,回答一定是反相关的,因为问题的答案是出生时就因出生的顺序而决定了的(这可相仿于Pxx=-1的情况)。但是,如果纽约警察问A:“两人中你更高吗?”,而北京警察问B:“你跑得更快吗?”,按照我们的经典常识,两人出生后互不相识,从未比较过彼此的高度,也从未一起赛跑。所以,他们的回答就应该不会相关了(这可相仿于Pxz=0的情况)。

现在再回到简单的数学:我们在PxzPzyPxy的表达式上,做点小运算。首先,将PxzPzy相减再取绝对值后,可以得到:

|Pxz-Pzy| = 2|n2-n4-n6+n8| = 2|(n2+n8)-(n4+n6)|               7.1

然后,利用有关绝对值的不等式|x-y|<=|x|+|y|,我们有:

2|(n2+n8)-(n4+n6)| <= 2(n2+n4+n6+n8) =

(n1+n2+n3+n4+n5+n6+n7+n8)+(-n1+n2-n3+n4-n5+n6-n7+n8) = 1+Pxy      7.2

 

这样,从(7.1)和(7.2),我们得到一个不等式:

|Pxz-Pzy|<= 1+Pxy                                                 7.3

这就是著名的贝尔不等式。上述不等式是贝尔应用经典概率的思维方法得出的结论。因此,它可以说是在经典的框架下,这三个关联函数之间要满足的约束条件。也就是說,经典的孙悟空不可以胡作非为,它的行动是被师傅唐僧的紧箍咒制约了的,得满足贝尔不等式!

但是,如果是量子世界的量子孙悟空,情况又将如何呢?当然只有两种情形:如果量子孙悟空也遵循贝尔不等式,那就好了,万事大吉!爱因斯坦的预言实现了。量子论应该是满足‘局域实在论’的,量子孙悟空表现诡异一些,只不过是因为有某些我们不知道的隐变量而已,那不着急,将来我们总能挖掘出这些隐变量的。第二种情况:那就是量子孙悟空不遵循贝尔不等式,贝尔用他的‘贝尔定理’来表述这种情形:“任何局域隐变量理论都不可能重现量子力学的全部统计性预言”。如果是这样的话,世界好像有点乱套!

不过没关系,贝尔说,重要的是,这几个关联函数是在实验室中可能测量到的物理量。这样,我的不等式就为判定EPR和量子力学谁对谁错提供了一个实验验证的方法。

那好,理论物理学家们说,我们就暂时停止耍嘴皮,让将来的实验结果来说话吧。

*******************************

参考资料:

E. C. G. Sudatshan and Tony Rothman“A New Interpretation of Bell’s Inequalities” International Journal of Theoretical Physics, Volume 32, Number 7, 1077-1086,


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IP: 113.67.47.*   | 赞 +1 [33]jao   2016-7-1 13:34
  
IP: 219.145.209.*   | 赞 +1 [32]李维纲   2015-6-1 11:08
这篇写得非常好。赞!
IP: 219.145.209.*   | 赞 +1 [31]李维纲   2015-6-1 11:08
这篇写得非常好。赞!
IP: 166.111.188.*   | 赞 +1 [30]古杰   2014-3-4 13:48
Sudarshan(提出弱作用V-A的那位)名字有点小错哦。
回复  哇,火眼金睛。谢谢提醒,r 打成 t 了。
2014-3-5 09:171 楼(回复楼主) 赞 +1 |
IP: 222.36.7.*   | 赞 +1 [29]康娴   2013-12-11 11:40
“著名的贝尔不等式。上述不等式是贝尔应用经典概率的思维方法得出的结论。因此,它可以说是在经典的框架下,这三个关联函数之间要满足的约束条件”
IP: 222.178.10.*   | 赞 +1 [28]JINDUI   2012-9-24 13:18
只能看个的大概,不能明白推导过程
IP: 59.56.194.*   | 赞 +1 [27]魏民道   2012-5-8 16:40
学习
IP: 113.106.101.*   | 赞 +1 [26]moreshake   2012-4-27 20:31
刚才的表述还是有不妥的地方,应该在“A和B自旋独立测量值”前加上一句:“隐变量理论认为”,因为量子力学的结果实际上是显现出了非局域的特征,他们就是想通过隐变量理论,使得量子力学表现的非局域性可以用隐变量局域性理论来解释。不知道我理解错了没有?
IP: 113.106.101.*   | 赞 +1 [25]moreshake   2012-4-27 20:04
   “‘L’适当取值”确实表述不当,应该说是“取适当的‘L’的分布函数”。我起先主要是不知道:在证明的具体过程中,哪里表现出了“局域实在性”。现在基本上懂了:A和B自旋独立测量值具有局域性,隐变量理论想通过适当的“L”的分布函数来让它们的关联函数显出纠缠性。
感谢张老师的指导。我还想问一个比较基本的问题,希望张老师能够回答一下:
什么叫做最大纠缠态啊?想要一个除了“纠缠度为1”(如果这么定义的话)以外的稍微直观些的定义。
IP: 113.106.101.*   | 赞 +1 [24]moreshake   2012-4-26 18:43
我好像是明白了,也就是说,如果存在隐变量,那么由隐变量构成的关联函数就应该等于量子力学的结果,即P=E(E是量子力学已经得到的关于两个方向关联的情况,也就是您文中说的“如在相同方向测量A、B的自旋,应该反相关;而如果在不同方向测量A和B的自旋,平均来说应该不相关”),P是局域函数(即A、B粒子的局域实在测量函数值)的关联函数,局域实在性间接表现在P上。如果存在隐变量,只要“L”适当取值,就可以使P得出量子力学的结果E,这个结果包括纠缠的现象(也就是在同方向反关联),由此得出不等式。可是实际上,不论怎么取“L”的值,P都得不到E,因此得出的不等式与量子力学的实际情况违背。
可是,在您文中的P好像就已经是量子力学的结果,不是局域性相关函数(“L”的函数)了,此时P应该还不一定具有纠缠性关联(只有适当选取“L”值时,才可能有这种关联,但最终表明,这种“L”不存在),会不会有问题呢?
谢谢您的答复,收获不浅。
回复  如果量子力学中存在“局域隐变量”,
1. 量子力学的结果(关联函数)是对隐变量的统计平均值(不是“L”适当取值),
2. 量子力学的结果(关联函数之间的关系)就不应该违背贝尔不等式,因为贝尔不等式是假设隐变量存在时,根据统计规律而推导出来的。经典力学是符合贝尔不等式的。假设量子力学中存在隐变量的意思就是要把量子力学纳入经典的轨道,如果这是行得通的,它的结果就要符合不等式,而量子力学的结论是违背不等式,这就证明它不能用引进隐变量的方式来将它纳入经典的轨道。
2012-4-27 10:051 楼(回复楼主) 赞 +1 |
IP: 122.225.105.*   | 赞 +1 [23]moreshake   2012-4-25 23:46
张老师,我有个问题想不明白,在贝尔证明他的不等式的过程中,究竟哪里涉及到“局域实在性”了?我只看到有纠缠和统计。二粒子“纠缠”时,好像并不要求“局域”。整个过程,好像除了隐变量“L”(您用的“L”表示)需要是连续变量外,别无“实在”的要求,但这是“实在”吗?是个什么实在?您说,是以经典概率为前提的,我理解,可这与“局域实在”有什么关系?故而我没有发现有“局域”和“实在”。很疑惑,睡不着,麻烦您给讲解一下
回复  写下我的理解,不一定正确!
爱因斯坦在EPR文章中提出的所谓“局域性”的意思是说:一个地方发生的事不可能瞬时地影响到另一个距离很远的地方发生的事。
两个纠缠粒子之间看起来,就像是有这种作用:一个被测量,波函数塌缩了,另一个也立即塌缩。
但是,如果这种一致的塌缩并不是因为“远距离作用”而引起的,而是因为纠缠粒子产生出来时的某种“隐变量”而引起的,那就仍然是符合“局域性”的。
贝尔是假设如果存在隐变量的话,就应该符合这个贝尔不等式。
但是,量子力学的理论和实验都违背了不等式,所以,微观世界的隐变量不存在,所以,微观粒子的行为不符合爱因斯坦所要求的局域性。
2012-4-26 09:021 楼(回复楼主) 赞 +1 |
IP: 124.68.0.*   | 赞 +1 [22]ABC1954   2012-2-27 19:46
对于我们非物理专业的外行来讲,这是非常好的科普介绍,谢谢张老师!!!
IP: 122.195.11.*   | 赞 +1 [21]xiqingliu   2012-2-19 15:41
感谢博主的系列文章介绍量子纠缠
对于本文的表格还有一些不明白。
其一:AB纠缠自旋矢量的8种可能性中,+ - 似乎可以理解,似乎表示0 1的可能性,然而,单一竖(第二行)代表什么?是不是用 1   0 代替 + — 更好一些?
其二,在“四个相关函数的值”,列出了Pxx, Pxz, Pzy, Pxy 共计4个函数,还有Pyy, Pzz, Pzx 等5个,是不是Pxx代表了Pyy, Pzz, Pxz又代表了Pzx ……?
回复  一。正负是对应于图中的矢量在坐标轴上投影的符号。
二。Pyy、Pyz等与Pxx类似,没有列出来是因为推导贝尔不等式时不需要用。
2012-2-20 11:451 楼(回复楼主) 赞 +1 |
IP: 211.83.110.*   | 赞 +1 [20]chuizige   2012-2-19 00:20
张老师,看了你的博文,我对量子力学也有了重新的认识,不过我还是有一个问题想问一下,就是你在系列三当中说到,在双缝干涉实验中,若在两个孔旁都各放一个粒子探测器,结果它们都不响,然后我的问题就是电子到底通过孔没有?如果通过,是怎么通过的,如果没通过,那电子去哪了?还有就是此时屏幕上会出现什么现象?非常感谢张老师答疑解惑
回复  两边放上计数器时,不是'都不响',而是'不会同时响'。也许我没有说清楚。谢谢。
2012-2-20 11:211 楼(回复楼主) 赞 +1 |
IP: 14.107.205.*   | 赞 +1 [19]卢爽   2012-2-16 10:31
是啊,做个讲座吧,通俗的,能反映本质就好的!
IP: 125.69.110.*   | 赞 +1 [18]zhudongqing91   2012-2-16 09:33
有启发
IP: 92.50.96.*   | 赞 +1 [17]倪剑光   2012-2-16 06:54
博主请解释下这篇论文:
Experimental violation of a Bell's inequality with efficient detection
Nature 409, 791-794 (15 February 2001)
IP: 121.33.100.*   | 赞 +1 [16]wliming   2012-2-15 22:23
谢谢。还有下文吗?我想看看你怎么解说量子测量。
IP: 89.204.247.*   | 赞 +1 [15]党晓栋   2012-2-15 19:33
这一个系列的博文都值得收藏。感谢博主!
IP: 219.235.230.*   | 赞 +1 [14]汪浩   2012-2-15 18:17
写的很好,顶一个,只是我不知道为什么贝尔怎么想到的,博主有原文吗?发给我一份,3Q!我邮箱:443475680@qq.com,谢谢了
回复  下面link有贝尔原文:
http://cs.physics.sunysb.edu/verbaarschot/html/lectures/phy511/bell.html
2012-2-16 20:401 楼(回复楼主) 赞 +1 |
IP: 222.240.162.*   | 赞 +1 [13]印大中   2012-2-15 18:13
请问科大今年最年轻院士潘建伟的4光子、6光子纠缠是怎么玩的?是不是你说的会说话的“实验结果”?
IP: 117.136.0.*   | 赞 +1 [12]曹宇   2012-2-15 17:57
这是我近期最喜欢的连载了,谢谢博主
IP: 121.33.100.*   | 赞 +1 [11]wliming   2012-2-15 17:51
也就是说,后面的实验检验,即使不违背你这个“贝尔不等式”,仍然存在违背经典隐参量的可能。所以,这个不等式不是经典和量子的分界线。
回复  破坏贝尔不等式只是否定定域隐变量的充份条件,而非必要条件。
2012-2-16 20:511 楼(回复楼主) 赞 +1 |
IP: 59.50.85.*   | 赞 +1 [10]Dopey   2012-2-15 16:01
终于连载完了!
IP: 121.33.100.*   | 赞 +1 [9]wliming   2012-2-15 15:38
|x-y|<=|x|+|y| 中的等号在 x,y可能为负数的时候可以成立。但是,你这里的n1,...n8都是正数,这个等号没有成立的可能。所以,这个不等式的应用把经典的结果大大放宽了,甚至超出了经典的范围。
回复  经典好像可以到达这个上限吧,比如y=0。对应n4=n6=0.
2012-2-15 21:421 楼(回复楼主) 赞 +1 |
IP: 130.34.193.*   | 赞 +1 [8]杜关祥   2012-2-15 15:30
简单的数学能推出普适的物理规律,不能不说,是自然界最不可思议的地方。
IP: 59.64.34.*   | 赞 +1 [7]王那   2012-2-15 14:42
呵呵很通俗易懂!赞一个
IP: 125.76.215.*   | 赞 +1 [6]单博炜   2012-2-15 13:47
写得好,非常的通俗易懂,比直接看bell不等式的原始文献容易多了
IP: 114.235.231.*   | 赞 +1 [5]kokococo   2012-2-15 12:35
学习了
IP: 202.120.52.*   | 赞 +1 [4]马红孺   2012-2-15 12:00
这是我看到的对于贝尔不等式的最直观的说明,俺决定在讲课时用了,当然,一定会给出来源的。
IP: 121.33.100.*   | 赞 +1 [3]wliming   2012-2-15 11:34
我想问一下博主,公式7.1下面利用 |x-y|<=|x|+|y|把 7.1的值放大到7.2,但实际上7.1 不可能接近 7.2,也就是说,7.3这个经典上限事实上已经非经典。这样得到的贝尔不等式,为什么还没有超出量子力学预言的上限?
回复  经典可以到达这个上限,比如y=0.
2012-2-15 21:391 楼(回复楼主) 赞 +1 |
IP: 175.169.2.*   | 赞 +1 [2]wolfgange   2012-2-15 11:29
哈哈哈!才摸到门,却不知往何处走!
IP: 121.33.100.*   | 赞 +1 [1]wliming   2012-2-15 10:58
自旋指向这个简化做得很好,很直观。请继续。

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