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博文

空间群的Hall符号

已有 706 次阅读 2026-5-8 19:25 |系统分类:科研笔记

空间群的Hall符号

空间群的元素是对称操作，这些操作用数学语言描述就是一些矩阵。对于任何一个空间群，都可以从有限数目个操作出发，通过群的乘法而得到空间群的所有元素。对于某个空间群来说，能生成其所有元素的有限数目的元素称为该空间群的生成元。晶体学空间群的生成元只需要旋转操作R、平移操作T及它们的复合。旋转操作的矩阵是3×3矩阵，而平移则是向量。旋转操作R和平移操作T复合后形成的是一个4×4矩阵。该矩阵由旋转操作矩阵R和平移向量T组成，形式为

1778246473818.png。

这种形式的矩阵称为Seitz矩阵，可以表示晶体学空间群中的任意操作。为了统一，把旋转和平移操作也用一个4×4矩阵来表示。对于纯旋转操作，其矩阵中平移部分为0；对于纯平移操作，其旋转部分是3×3单位矩阵，对应于1次旋转或不动。

Hall于1981 年提出的空间群表示法就基于定义空间群所需的最少生成元。这种符号的简洁性和明确性使其非常适合处理计算和数据库应用程序中的对称性。

        对于所有的晶体学空间群，其生成元只有如下几种：

1. 纯粹平移，即晶体学格子所对应的操作。在Hall符号中，用符号P、A、B、C、I、R、S、T和F表示不同的平移操作。各符号具体对应的操作见表1。因为这些都是纯粹平移操作，其旋转操作部分为单位矩阵，故这里只给出了平移部分。

表1 格子符号 L

1778225710338.png

如果空间群具有中心对称，则在其晶格符号上加一横线表示。具有中心对称的空间群的原点总是在对称中心。在实际应用中，因为横线上标在编程时并不方便，因此一般将横线放在晶格符号前，即在晶格符号前加上减号“-”。非中心对称晶格的旋转矩阵为 1（见表 3），其组元全部取负号就得到相应中心对称晶格的旋转矩阵。对于中心对称空间群，每个符号隐含的生成矩阵总数是隐含晶格平移数的两倍。

在Hall表示法中，出现了S和T两种晶格符号。这是对于取六方复格子的菱方格子，为了使3次轴取a、b或c的任一方向时都可以进行正向和反向设定，而采用的非常规格子符号。表 2总结了关系。

表   2

格子符号L

三次轴方向

R

S

T

c

obverse

-

reverse

b

reverse

obverse

-

a

-

reverse

obverse

 

2. 不同方向的纯旋转

有沿主轴，即a、b或c方向的1、2、3、4、6(称为正当旋转，proper rotations)和1-、2-、3-、4-、6- (称为不正当旋转，improper rotations)，各正当旋转符号对应的旋转部分矩阵见表3。不正当旋转的矩阵与正当旋转相同，只是符号相反。纯旋转操作的Seitz矩阵中平移部分为0。在实际应用中，因为横线上标在输入时并不方便，因此一般将横线放在旋转符号前，即在旋转符号前加上减号“-”。

 

表3 沿三个主要晶胞方向进行的正当旋转的符号及其对应的旋转部分矩阵。

旋转符号N

1

2           

3

4

6

轴

A

a

x

( 1  0  0)

( 0  1  0)

( 0  0  1)

( 1  0  0)

( 0  -1  0)

( 0  0  -1)

( 1  0  0)

( 0  0  -1)

( 0  1  -1)

(1  0  0)

( 0  0  -1)

( 0  1  0)

(1  0  0)

( 0  1  -1)

( 0  1  0)

b

y

( 1  0  0)

( 0  1  0)

( 0  0  1)

( -1  0  0)

( 0  1  0)

( 0  0  -1)

( -1  0  1)

( 0  1  0)

( -1  0  0)

( 0  0  1)

( 0  1  0)

( -1  0  0)

( 0  0  1)

( 0  1  0)

( -1  0  1)

c

z

( 1  0  0)

( 0  1  0)

( 0  0  1)

( -1  0  0)

( 0  -1  0)

( 0  0  1)

( 0  -1  0)

( 1  -1  0)

( 0  0  1)

( 0  -1  0)

( 1  0  0)

( 0  0  1)

( 1  -1  0)

( 1  0  0)

( 0  0  1)

表中N、A的解释见后。

沿面对角线的2次旋转。不同面对角线方向的2次旋转部分矩阵见表4。

表4 不同面对角线方向的2次旋转部分矩阵

2次操作之前的操作

Nx

Ny

Nz

面对角线

b-c

b+c

a-c

a+c

a-b

a+b

A

'

"

'

"

'

"

2次旋转部分矩阵

(-1  0  0)

( 0  0  -1)

( 0  -1    0)

(-1  0  0)

( 0  0  1)

( 0  1  0)

( 0  0  -1)

( 0  -1  0)

(-1  0  0)

( 0  0  1)

( 0  -1  0)

( 1  0  0)

( 0  -1  0)

(-1  0  0)

( 0  0  -1)

( 0  1  0)

( 1  0  0)

( 0  0  -1)

 

        沿体对角线a+b+c方向的3次旋转。体对角线方向的3次旋转部分矩阵见表5。

表5 体对角线方向的3次旋转部分矩阵

 

体对角线

a+b+c

A

*

3次旋转部分矩阵

(0  0  1)    

(1  0  1)  

(0  1  0)

 

3. 螺旋和滑移。螺旋和滑移是由旋转与平移组成的复合动作，即旋转和平移是一个动作的两个组成部分。因为其包含的旋转部分与前面相同，所以这里只给出平移部分。在Hall符号中，表示平移部分的符号有a、b、c、n、u、v、w、d等字母和1、2、3、4、5等数字。其中，字母符号指定沿固定方向的平移向量，数字符号表示沿螺旋轴方向的平移距离，而且数字1、2、3在不同的螺旋中所代表的平移距离并不相同。详见表6。

表6 Hall符号中代表滑移和螺旋的符号及其平移向量和距离

1778225548431.png

1778225587248.png

空间群的Hall符号就是用上面所述的平移、旋转和螺旋等组成的一组符号。首先，写出一个纯平移，即格子符号L(见表1、2)；然后是若干(1~3)个旋转和/或螺旋、滑移，用1778225164159.png表示，是表示生成元的 4x4 Seitz 矩阵（见表 2、3、4 和 5）。其中：

N 是表示旋转矩阵的1、2、3、4、6等符号。 A 是表示旋转轴方向的上标符号。x、y、z 分别表示绕轴 a、b、c 的旋转（见表 3）。符号''和'表示围绕面对角线向量 a+b（或 b+c 或 c+a）和 a-b（或 b-c 或 c-a）的旋转（见表 4）。轴符号 * 始终是指沿 a+b+c 的3 重旋转（见表 5）。 T 是表示平移向量的下标符号（见表 6）。对于纯旋转，T为0时，没有下标符号。这些平移是加和性的，即如果同时有几个T下标，则这几个下标代表的向量要加和（例如，ad 表示(3/4,1/4,1/4)平移）。

最后，对于少数三方和六方空间群，需要写上一个通过晶胞长度 a、b 和 c 的分数来移动生成元矩阵原点的平移向量V。原点平移变换向量 V 具有结构 （va vb vc），其中 va、vb 和 vc 分别表示平行于晶胞边 a、b 和 c 的1/12位移。 v_a/12、v_b/12和   v_c/12是未平移原点在平移后坐标系中的坐标。平移的 Seitz 矩阵 Sn' 由未平移矩阵 Sn 推导出来，具有变换

           1778225074966.png

因此，Hall符号的一般形式是：

1778225025667.png

          

在很多情况下，A并不需要写出：

1. 对于第一位旋转，若其轴方向为c，则不必标出z；

2. 如果第一位的N 为 2 或 4，则N 为 2的第二位旋转的轴方向为a，不必标出x；

如果第一位的N 为 3 或 6，则N 为 2的第二位旋转的轴方向为a-b，也不必标出'；

3. N为3的第三位旋转，其轴方向为a+b+c，符号*不必标出。

 

表 7 列出了几种格式的空间群表示法。Hall符号的计算机输入表示列在第 3 栏中。计算机输入格式是通用表示法，表示为不区分大小写的 ASCII 字符，上划线符号替换为减号。表 7 的第 1 列包含带有附加代码的空间群编号，用于标识非标准设定。第 2 列包含计算机输入格式的完整 Hermann-Mauguin 符号，并附加了标识原点和晶胞选择的代码。

Hall符号的计算机输入格式包含旋转阶次符号 N ，正整数 1、2、3、4 或 6表示正当旋转，负整数 -1、-2、-3、-4 或 -6 表示不正当旋转。表 2 描述了 T 平移符号 1、2、3、4、5、a、b、c、n、u、v、w、d。

 以下是几个如何从1778225164159.png符号扩展到 Seitz 矩阵的简单示例。

1. 符号 -2xc 表示沿 a的不正当 2重旋转和 c/2平移：

                1778225325258.png

2. 符号 3* 表示沿 a+b+c 的一个3重旋转：

                            ( 0  0  1   0 )

                  3* =       ( 1  0  0   0 )

                            ( 0  1  0   0 )

                            ( 0  0  0   1 )

3. 符号 4vw 表示沿 c（隐含）的一个4重旋转，以及b/4和c/4的平移：

                       1778225370113.png

4. 符号 61 2 （0 0 -1） 表示沿 c 的 61 螺旋和沿 a-b 的 2重旋转，而且它们要经过坐标原点平移变换。对于61旋转，原点平移-c/12并不改变其操作，而对于2次旋转，原点平移-c/12后其操作的平移部分只改变-c/6，即其矩阵的平移分量变为5/6：

                    1778238744311.png

Table 6. Concise space-group symbols

表7第1列中列出的空间群编号所附的代码标识了对称元素与晶体晶胞的关系。附加的代码与空间群编号用冒号分隔。当省略代码时，将应用列出的第一个选项。

  Monoclinic                  code  =  <unique axis><cell choice>

       Unique axis choices(+          b  -b  c  -c  a  -a

       Cell choices(+                 1  2  3

 

  Orthorhombic                code  =  <origin choice><setting>

       Origin choices                 1  2

       Setting choices(+              abc  ba-c  cab  -cba  bca  a-cb

 

  Tetragonal, Cubic           code  =  <origin choice>

       Origin choices                 1  2

 

  Trigonal                    code  =  <cell choice>

       Cell choices                   H (hex)   R (rhomb)

空间群编号

Hermann-Mauguin符号

Hall符号

1

P 1

P 1

2

P -1

-P 1

3:b

P 1 2 1

P 2y

3:c

P 1 1 2

P 2

3:a

P 2 1 1

P 2x

4:b

P 1 21 1

 P 2yb

4:c

P 1 1 21

 P 2c

4:a

P 21 1 1

 P 2xa

5:b1

C 1 2 1

C 2y

5:b2

A 1 2 1

A 2y

5:b3

I 1 2 1

I 2y

5:c1

A 1 1 2

A 2

5:c2

B 1 1 2

B 2

5:c3

I 1 1 2

I 2

5:a1

B 2 1 1

B 2x

5:a2

C 2 1 1

C 2x

5:a3

I 2 1 1

I 2x

6:b

P 1 m 1

P -2y

6:c

P 1 1 m

P -2

6:a

P m 1 1

P -2x

7:b1

P 1 c 1

P -2yc

7:b2

P 1 n 1

P -2yac

7:b3

P 1 a 1

P -2ya

7:c1

P 1 1 a

P -2a

7:c2

P 1 1 n

P -2ab

7:c3

P 1 1 b

P -2b

7:a1

P b 1 1

P -2xb

7:a2

P n 1 1

P -2xbc

7:a3

P c 1 1

P -2xc

8:b1

C 1 m 1

C -2y

8:b2

A 1 m 1

A -2y

8:b3

I 1 m 1

I -2y

8:c1

A 1 1 m

A -2

8:c2

B 1 1 m

B -2

8:c3

I 1 1 m

I -2

8:a1

B m 1 1

B -2x

8:a2

C m 1 1

C -2x

8:a3

I m 1 1

I -2x

9:b1

C 1 c 1

C -2yc

9:b2

A 1 n 1

A -2yac

9:b3

I 1 a 1

I -2ya

9:-b1

A 1 a 1

A -2ya

9:-b2

C 1 n 1

C -2ybc

9:-b3

I 1 c 1

I -2yc

9:c1

A 1 1 a

A -2a

9:c2

B 1 1 n

B -2bc

9:c3

I 1 1 b

I -2b

9:-c1

B 1 1 b

B -2b

9:-c2

A 1 1 n

A -2ac

9:-c3

I 1 1 a

I -2a

9:a1

B b 1 1

B -2xb

9:a2

C n 1 1

C -2xbc

9:a3

I c 1 1

I -2xc

9:-a1

C c 1 1

C -2xc

9:-a2

B n 1 1

B -2xbc

9:-a3

I b 1 1

I -2xb

10:b

P 1 2/m 1

-P 2y

10:c

P 1 1 2/m

-P 2

10:a

P 2/m 1 1

-P 2x

11:b

P 1 21/m 1

-P 2yb

11:c

P 1 1 21/m

-P 2c

11:a

P 21/m 1 1

-P 2xa

12:b1

C 1 2/m 1

-C 2y

12:b2

A 1 2/m 1

-A 2y

12:b3

I 1 2/m 1

-I 2y

12:c1

A 1 1 2/m

-A 2

12:c2

B 1 1 2/m

-B 2

12:c3

I 1 1 2/m

-I 2

12:a1

B 2/m 1 1

-B 2x

12:a2

C 2/m 1 1

-C 2x

12:a3

I 2/m 1 1

-I 2x

13:b1

P 1 2/c 1

-P 2yc

13:b2

P 1 2/n 1

-P 2yac

13:b3

P 1 2/a 1

-P 2ya

13:c1

P 1 1 2/a

-P 2a

13:c2

P 1 1 2/n

-P 2ab

13:c3

P 1 1 2/b

-P 2b

13:a1

P 2/b 1 1

-P 2xb

13:a2

P 2/n 1 1

-P 2xbc

13:a3

P 2/c 1 1

-P 2xc

14:b1

P 1 21/c 1

-P 2ybc

14:b2

P 1 21/n 1

-P 2yn

14:b3

P 1 21/a 1

-P 2yab

14:c1

P 1 1 21/a

-P 2ac

14:c2

P 1 1 21/n

-P 2n

14:c3

P 1 1 21/b

-P 2bc

14:a1

P 21/b 1 1

-P 2xab

14:a2

P 21/n 1 1

-P 2xn

14:a3

P 21/c 1 1

-P 2xac

15:b1

C 1 2/c 1

-C 2yc

15:b2

A 1 2/n 1

-A 2yac

15:b3

I 1 2/a 1

-I 2ya

15:-b1

A 1 2/a 1

-A 2ya

15:-b2

C 1 2/n 1

-C 2ybc

15:-b3

I 1 2/c 1

-I 2yc

15:c1

A 1 1 2/a

-A 2a

15:c2

B 1 1 2/n

-B 2bc

15:c3

I 1 1 2/b

-I 2b

15:-c1

B 1 1 2/b

-B 2b

15:-c2

A 1 1 2/n

-A 2ac

15:-c3

I 1 1 2/a

-I 2a

15:a1

B 2/b 1 1

-B 2xb

15:a2

C 2/n 1 1

-C 2xbc

15:a3

I 2/c 1 1

-I 2xc

15:-a1

C 2/c 1 1

-C 2xc

15:-a2

B 2/n 1 1

-B 2xbc

15:-a3

I 2/b 1 1

-I 2xb

16

P 2 2 2

P 2 2

17

P 2 2 21

 P 2c 2

17:cab

P 21 2 2

 P 2a 2a

17:bca

P 2 21 2

 P 2 2b

18

P 21 21 2

P 2 2ab

18:cab

P 2 21 21

P 2bc 2

18:bca

P 21 2 21

P 2ac 2ac

19

P 21 21 21

P 2ac 2ab

20

C 2 2 21

 C 2c 2

20:cab

A 21 2 2

 A 2a 2a

20:bca

B 2 21 2

 B 2 2b

21

C 2 2 2

C 2 2

21:cab

A 2 2 2

A 2 2

21:bca

B 2 2 2

B 2 2

22

F 2 2 2

F 2 2

23

I 2 2 2

I 2 2

24

I 21 21 21

I 2b 2c

25

P m m 2

P 2 -2

25:cab

P 2 m m

P -2 2

25:bca

P m 2 m

P -2 -2

26

P m c 21

 P 2c -2

26:ba-c

P c m 21

 P 2c -2c

26:cab

P 21 m a

 P -2a 2a

26:-cba

P 21 a m

 P -2 2a

26:bca

P b 21 m

 P -2 -2b

26:a-cb

P m 21 b

 P -2b -2

27

P c c 2

P 2 -2c

27:cab

P 2 a a

P -2a 2

27:bca

P b 2 b

P -2b -2b

28

P m a 2

P 2 -2a

28:ba-c

P b m 2

P 2 -2b

28:cab

P 2 m b

P -2b 2

28:-cba

P 2 c m

P -2c 2

28:bca

P c 2 m

P -2c -2c

28:a-cb

P m 2 a

P -2a -2a

29

P c a 21

 P 2c -2ac

29:ba-c

P b c 21

 P 2c -2b

29:cab

P 21 a b

 P -2b 2a

29:-cba

P 21 c a

 P -2ac 2a

29:bca

P c 21 b

 P -2bc -2c

29:a-cb

P b 21 a

 P -2a -2ab

30

P n c 2

P 2 -2bc

30:ba-c

P c n 2

P 2 -2ac

30:cab

P 2 n a

P -2ac 2

30:-cba

P 2 a n

P -2ab 2

30:bca

P b 2 n

P -2ab -2ab

30:a-cb

P n 2 b

P -2bc -2bc

31

P m n 21

 P 2ac -2

31:ba-c

P n m 21

 P 2bc -2bc

31:cab

P 21 m n

 P -2ab 2ab

31:-cba

P 21 n m

 P -2 2ac

31:bca

P n 21 m

 P -2 -2bc

31:a-cb

P m 21 n

 P -2ab -2

32

P b a 2

P 2 -2ab

32:cab

P 2 c b

P -2bc 2

32:bca

P c 2 a

P -2ac -2ac

33

P n a 21

 P 2c -2n

33:ba-c

P b n 21

 P 2c -2ab

33:cab

P 21 n b

 P -2bc 2a

33:-cba

P 21 c n

 P -2n 2a

33:bca

P c 21 n

 P -2n -2ac

33:a-cb

P n 21 a

 P -2ac -2n

34

P n n 2

P 2 -2n

34:cab

P 2 n n

P -2n 2

34:bca

P n 2 n

P -2n -2n

35

C m m 2

C 2 -2

35:cab

A 2 m m

A -2 2

35:bca

B m 2 m

B -2 -2

36

C m c 21

 C 2c -2

36:ba-c

C c m 21

 C 2c -2c

36:cab

A 21 m a

 A -2a 2a

36:-cba

A 21 a m

 A -2 2a

36:bca

B b 21 m

 B -2 -2b

36:a-cb

B m 21 b

 B -2b -2

37

C c c 2

C 2 -2c

37:cab

A 2 a a

A -2a 2

37:bca

B b 2 b

B -2b -2b

38

A m m 2

A 2 -2

38:ba-c

B m m 2

B 2 -2

38:cab

B 2 m m

B -2 2

38:-cba

C 2 m m

C -2 2

38:bca

C m 2 m

C -2 -2

38:a-cb

A m 2 m

A -2 -2

39

A b m 2

A 2 -2c

39:ba-c

B m a 2

B 2 -2c

39:cab

B 2 c m

B -2c 2

39:-cba

C 2 m b

C -2b 2

39:bca

C m 2 a

C -2b -2b

39:a-cb

A c 2 m

A -2c -2c

40

A m a 2

A 2 -2a

40:ba-c

B b m 2

B 2 -2b

40:cab

B 2 m b

B -2b 2

40:-cba

C 2 c m

C -2c 2

40:bca

C c 2 m

C -2c -2c

40:a-cb

A m 2 a

A -2a -2a

41

A b a 2

A 2 -2ac

41:ba-c

B b a 2

B 2 -2bc

41:cab

B 2 c b

B -2bc 2

41:-cba

C 2 c b

C -2bc 2

41:bca

C c 2 a

C -2bc -2bc

41:a-cb

A c 2 a

A -2ac -2ac

42

F m m 2

F 2 -2

42:cab

F 2 m m

F -2 2

42:bca

F m 2 m

F -2 -2

43

F d d 2

F 2 -2d

43:cab

F 2 d d

F -2d 2

43:bca

F d 2 d

F -2d -2d

44

I m m 2

I 2 -2

44:cab

I 2 m m

I -2 2

44:bca

I m 2 m

I -2 -2

45

I b a 2

I 2 -2c

45:cab

I 2 c b

I -2a 2

45:bca

I c 2 a

I -2b -2b

46

I m a 2

I 2 -2a

46:ba-c

I b m 2

I 2 -2b

46:cab

I 2 m b

I -2b 2

46:-cba

I 2 c m

I -2c 2

46:bca

I c 2 m

I -2c -2c

46:a-cb

I m 2 a

I -2a -2a

47

P m m m

 -P 2 2

48:1

P n n n:1

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48:2

P n n n:2

-P 2ab 2bc

49

P c c m

 -P 2 2c

49:cab

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 -P 2a 2

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P b m b

 -P 2b 2b

50:1

P b a n:1

P 2 2 -1ab

50:2

P b a n:2

-P 2ab 2b

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P n c b:1

P 2 2 -1bc

50:2cab

P n c b:2

-P 2b 2bc

50:1bca

P c n a:1

P 2 2 -1ac

50:2bca

P c n a:2

-P 2a 2c

51

P m m a

 -P 2a 2a

51:ba-c

P m m b

 -P 2b 2

51:cab

P b m m

 -P 2 2b

51:-cba

P c m m

 -P 2c 2c

51:bca

P m c m

 -P 2c 2

51:a-cb

P m a m

 -P 2 2a

52

P n n a

 -P 2a 2bc

52:ba-c

P n n b

 -P 2b 2n

52:cab

P b n n

 -P 2n 2b

52:-cba

P c n n

 -P 2ab 2c

52:bca

P n c n

 -P 2ab 2n

52:a-cb

P n a n

 -P 2n 2bc

53

P m n a

 -P 2ac 2

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P n m b

 -P 2bc 2bc

53:cab

P b m n

 -P 2ab 2ab

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P c n m

 -P 2 2ac

53:bca

P n c m

 -P 2 2bc

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P m a n

 -P 2ab 2

54

P c c a

 -P 2a 2ac

54:ba-c

P c c b

 -P 2b 2c

54:cab

P b a a

 -P 2a 2b

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P c a a

 -P 2ac 2c

54:bca

P b c b

 -P 2bc 2b

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P b a b

 -P 2b 2ab

55

P b a m

 -P 2 2ab

55:cab

P m c b

 -P 2bc 2

55:bca

P c m a

 -P 2ac 2ac

56

P c c n

 -P 2ab 2ac

56:cab

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 -P 2ac 2bc

56:bca

P b n b

 -P 2bc 2ab

57

P b c m

 -P 2c 2b

57:ba-c

P c a m

 -P 2c 2ac

57:cab

P m c a

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57:-cba

P m a b

 -P 2b 2a

57:bca

P b m a

 -P 2a 2ab

57:a-cb

P c m b

 -P 2bc 2c

58

P n n m

 -P 2 2n

58:cab

P m n n

 -P 2n 2

58:bca

P n m n

 -P 2n 2n

59:1

P m m n:1

P 2 2ab -1ab

59:2

P m m n:2

-P 2ab 2a

59:1cab

P n m m:1

P 2bc 2 -1bc

59:2cab

P n m m:2

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59:1bca

P m n m:1

P 2ac 2ac -1ac

59:2bca

P m n m:2

-P 2c 2a

60

P b c n

 -P 2n 2ab

60:ba-c

P c a n

 -P 2n 2c

60:cab

P n c a

 -P 2a 2n

60:-cba

P n a b

 -P 2bc 2n

60:bca

P b n a

 -P 2ac 2b

60:a-cb

P c n b

 -P 2b 2ac

61

P b c a

 -P 2ac 2ab

61:ba-c

P c a b

 -P 2bc 2ac

62

P n m a

 -P 2ac 2n

62:ba-c

P m n b

 -P 2bc 2a

62:cab

P b n m

 -P 2c 2ab

62:-cba

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 -P 2n 2ac

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P m c n

 -P 2n 2a

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P n a m

 -P 2c 2n

63

C m c m

 -C 2c 2

63:ba-c

C c m m

 -C 2c 2c

63:cab

A m m a

 -A 2a 2a

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A m a m

 -A 2 2a

63:bca

B b m m

 -B 2 2b

63:a-cb

B m m b

 -B 2b 2

64

C m c a

 -C 2bc 2

64:ba-c

C c m b

 -C 2bc 2bc

64:cab

A b m a

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 -A 2 2ac

64:bca

B b c m

 -B 2 2bc

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B m a b

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65

C m m m

 -C 2 2

65:cab

A m m m

 -A 2 2

65:bca

B m m m

 -B 2 2

66

C c c m

 -C 2 2c

66:cab

A m a a

 -A 2a 2

66:bca

B b m b

 -B 2b 2b

67

C m m a

 -C 2b 2

67:ba-c

C m m b

 -C 2b 2b

67:cab

A b m m

 -A 2c 2c

67:-cba

A c m m

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67:bca

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 -B 2 2c

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B m a m

 -B 2c 2

68:1

C c c a:1

C 2 2 -1bc

68:2

C c c a:2

-C 2b 2bc

68:1ba-c

C c c b:1

C 2 2 -1bc

68:2ba-c

C c c b:2

-C 2b 2c

68:1cab

A b a a:1

A 2 2 -1ac

68:2cab

A b a a:2

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68:1-cba

A c a a:1

A 2 2 -1ac

68:2-cba

A c a a:2

-A 2ac 2c

68:1bca

B b c b:1

B 2 2 -1bc

68:2bca

B b c b:2

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68:1a-cb

B b a b:1

B 2 2 -1bc

68:2a-cb

B b a b:2

-B 2b 2bc

69

F m m m

 -F 2 2

70:1

F d d d:1

F 2 2 -1d

70:2

F d d d:2

-F 2uv 2vw

71

I m m m

 -I 2 2

72

I b a m

 -I 2 2c

72:cab

I m c b

 -I 2a 2

72:bca

I c m a

 -I 2b 2b

73

I b c a

 -I 2b 2c

73:ba-c

I c a b

 -I 2a 2b

74

I m m a

 -I 2b 2

74:ba-c

I m m b

 -I 2a 2a

74:cab

I b m m

 -I 2c 2c

74:-cba

I c m m

 -I 2 2b

74:bca

I m c m

 -I 2 2a

74:a-cb

I m a m

 -I 2c 2

75

P 4

P 4

76

P 41

P 4w

77

P 42

P 4c

78

P 43

P 4cw

79

I 4

I 4

80

I 41

I 4bw

81

P -4

P -4

82

I -4

I -4

83

P 4/m

-P 4

84

P 42/m

-P 4c

85:1

P 4/n:1

P 4ab -1ab

85:2

P 4/n:2

 -P 4a

86:1

P 42/n:1

 P 4n -1n

86:2

P 42/n:2

-P 4bc

87

I 4/m

-I 4

88:1

I 41/a:1

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88:2

I 41/a:2

-I 4ad

89

P 4 2 2

P 4 2

90

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 P 4ab 2ab

91

P 41 2 2

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92

P 41 21 2

P 4abw 2nw

93

P 42 2 2

 P 4c 2

94

P 42 21 2

P 4n 2n

95

P 43 2 2

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96

P 43 21 2

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97

I 4 2 2

I 4 2

98

I 41 2 2

 I 4bw 2bw

99

P 4 m m

P 4 -2

100

P 4 b m

P 4 -2ab

101

P 42 c m

 P 4c -2c

102

P 42 n m

 P 4n -2n

103

P 4 c c

P 4 -2c

104

P 4 n c

P 4 -2n

105

P 42 m c

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106

P 42 b c

 P 4c -2ab

107

I 4 m m

I 4 -2

108

I 4 c m

I 4 -2c

109

I 41 m d

 I 4bw -2

110

I 41 c d

 I 4bw -2c

111

P -4 2 m

 P -4 2

112

P -4 2 c

 P -4 2c

113

P -4 21 m

P -4 2ab

114

P -4 21 c

P -4 2n

115

P -4 m 2

 P -4 -2

116

P -4 c 2

 P -4 -2c

117

P -4 b 2

 P -4 -2ab

118

P -4 n 2

 P -4 -2n

119

I -4 m 2

 I -4 -2

120

I -4 c 2

 I -4 -2c

121

I -4 2 m

 I -4 2

122

I -4 2 d

 I -4 2bw

123

P 4/m m m

-P 4 2

124

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125:1

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125:2

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126:1

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126:2

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127

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128

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129:1

P 4/n m m:1

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129:2

P 4/n m m:2

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130:1

P 4/n c c:1

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130:2

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131

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132

P 42/m c m

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133:1

P 42/n b c:1

P 4n 2c -1n

133:2

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134:1

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134:2

P 42/n n m:2

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135

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136

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137:1

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137:2

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138:1

P 42/n c m:1

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138:2

P 42/n c m:2

-P 4ac 2ac

139

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140

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141:1

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141:2

I 41/a m d:2

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142:1

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142:2

I 41/a c d:2

-I 4bd 2c

143

P 3

P 3

144

P 31

P 31

145

P 32

P 32

146:H

R 3:H

R 3

146:R

R 3:R

P 3*

147

P -3

-P 3

148:H

R -3:H

-R 3

148:R

R -3:R

-P 3*

149

P 3 1 2

P 3 2

150

P 3 2 1

P 3 2"

151

P 31 1 2

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152

P 31 2 1

 P 31 2"

153

P 32 1 2

 P 32 2c (0 0 -1)

154

P 32 2 1

 P 32 2"

155:H

R 32:H

R 3 2"

155:R

R 32:R

P 3* 2

156

P 3 m 1

P 3 -2"

157

P 3 1 m

P 3 -2

158

P 3 c 1

P 3 -2"c

159

P 3 1 c

P 3 -2c

160:H

R 3 m:H

R 3 -2"

160:R

R 3 m:R

P 3* -2

161:H

R 3 c:H

R 3 -2"c

161:R

R 3 c:R

P 3* -2n

162

P -3 1 m

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163

P -3 1 c

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P -3 m 1

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165

P -3 c 1

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166:H

R -3 m:H

-R 3 2"

166:R

R -3 m:R

-P 3* 2

167:H

R -3 c:H

-R 3 2"c

167:R

R -3 c:R

-P 3* 2n

168

P 6

P 6

169

P 61

P 61

170

P 65

P 65

171

P 62

P 62

172

P 64

P 64

173

P 63

P 6c

174

P -6

P -6

175

P 6/m

-P 6

176

P 63/m

-P 6c

177

P 6 2 2

P 6 2

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182

P 63 2 2

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183

P 6 m m

P 6 -2

184

P 6 c c

P 6 -2c

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P 63 c m

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186

P 63 m c

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187

P -6 m 2

 P -6 2

188

P -6 c 2

 P -6c 2

189

P -6 2 m

 P -6 -2

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P -6 2 c

 P -6c -2c

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P 6/m m m

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192

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P 63/m m c

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P 2 3

P 2 2 3

196

F 2 3

F 2 2 3

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I 2 3

I 2 2 3

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P 21 3

P 2ac 2ab 3

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I 21 3

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200

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201:1

P n -3:1

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202

F m -3

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203:1

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203:2

F d -3:2

-F 2uv 2vw 3

204

I m -3

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I a -3

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207

P 4 3 2

P 4 2 3

208

P 42 3 2

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209

F 4 3 2

F 4 2 3

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I 4 3 2

I 4 2 3

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I 41 3 2

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215

P -4 3 m

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F -4 3 m

 F -4 2 3

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I -4 3 m

 I -4 2 3

218

P -4 3 n

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219

F -4 3 c

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220

I -4 3 d

 I -4bd 2c 3

221

P m -3 m

-P 4 2 3

222:1

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222:2

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223

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224:1

P n -3 m:1

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224:2

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225

F m -3 m

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226

F m -3 c

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227:1

F d -3 m:1

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227:2

F d -3 m:2

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228:1

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F d -3 c:2

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229

I m -3 m

-I 4 2 3

230

I a -3 d

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