杂说“除”与“商”

算术的四则运算，加减乘除，乘法的计算结果称积，除法的计算结果称商。对于古人来说，乘法是同一数字的连加，积累起来，所以其结果称为积。那么除法呢？那里的除和商是什么意思？

先看看商字的意义。虽然对于甲骨文商字的本义一些专家尚有争议，但是两千年来，商字的实际用法基本上都是出自《说文解字》的解释。《说文解字》说：“商，从外知内也。”也就是说，商的本义是测度，估量。

商功，就是测度工程量。汉代的《九章算术》的第五章名商功，其内容是测量体积、计算工程用工的方法。

商羊是传说中一种能预知雨的神鸟。王充《论衡·变动》：“商羊者，知雨之物也；天且雨，屈其一足起舞矣。”

商是测度，量也是测度。测度总有误差，众人在一起测度，就需要听取各人意见，求得一致，这就引申到如今意义上的“商量”。

于是就有了商讨、商议、商榷、商酌，也就有了磋商、协商、相商、洽商，以至于最后的商定。

人类有分工，就需要贸易，交换，也就是做买卖。做买卖就需要估量，需要测度，估量货物在各处的价值，估量运输费用，在成交时还需要商议，讨价还价。于是，从事贸易就称为商，做买卖的人就称为商人。从古到今，商业都是社会最重要的行业之一。

此外，古代有商代，天上有商星（二十八宿中的心宿）以及五音中有商音（相当于简谱的2），这三个都属于专门名词。

所以，商字的实际用法相对简单，没有很多歧义，除了上面所说三个专有名词之外，基本上都与测度、商量有关。

除，本义是宫殿的台阶。除，从阜（“左耳朵”阝）余声。左耳朵阝总是与高出地面有关。古代造宫室为了防止潮湿，把房子建造在较高的地基上，特别是统治者的宫殿，更是高出平地许多，以显出其地位的崇高。这样，登堂入室就必须经由台阶，除就是宫殿的台阶，也引申为其他房子的台阶。

如《汉书·苏建传》说苏武的大哥苏嘉“扶辇下除（扶着皇帝的车驾下台阶），触柱折辕。劾大不敬，伏剑自刎。”

又如刘禹锡《陋室铭》“苔痕上除绿，草色入帘青”。

又如《朱柏庐治家格言》：“黎明即起，洒扫庭除”。

这些句子里的除，都是台阶的意思。

通过台阶可以往上走，所以新任官职，称除。《汉书·田蚡传》中说田蚡专权，搞得汉武帝责问他：“君除吏尽未？吾亦欲除吏。”（你任命官员有完没有？我也要任命几个呢。）

除，也是去旧职任新官，一般都不是降职，或平调或略升。如文天祥《指南录后序》：“予除右丞相兼柩密使，都督诸路军马。”

如果是降职则可以称左除。如《新唐书·裴延龄传》：“帝怒，乃罢贽宰相，左除滂等官。”（罢免陆贽的宰相职务，将盐铁使张滂等降职）。

正如段玉裁在《说文解字注》所说：“凡去旧更新皆曰除。取拾級更易之义也。”

正如段玉裁所言，除是去旧更新。所以，一年的最后一天称除日，最后一个晚上称除夕，以后除夕引申至最后一天即除日。王安石有诗句：“爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏”。

也正因为如此，所以除往往引申为去掉。现在常常说去除或除去，这实际上是除字最多的用法。

从两千多年前《尚书·泰誓》的“除恶务本”，到京剧《除三害》，直到20世纪50年代的“除四害”运动。人们一直想除恶、除害。

我们现在常常用的词语，根除、铲除、开除、拆除、除暴安良、斩草除根、排除万难以及除此之外等等，这里的除都是去除的意思。

著名的珠算口诀，三下五除二，在教科书上又说成三下五去二。不过现在三下五除二往往被用作形容动作麻利、做事干脆利索，成了一个成语。

在这些意义上，除就是去，去就是除，放在一起称去除或除去。

算术的四则运算，加减乘除。加法与减法是一对逆运算，乘法和除法又是一对逆运算。

对于古人来说，乘法是把一个数一次次地加上去，到了一定的次数，去求其积；乘字的意思是“加其上”，积字的意思是积累。

除法则与之相反。它要做的是求一个数甲的值，把这个数甲从另一个数乙中一次次地去除，在一定的次数后，正好把乙数去除干净。这里除字的意思是去除，也与乘字“加其上”的意思相反。

对古人来说，乘法是比较容易的，只需要一次次地加其上就可以了。而除法则比较难一点了，他要把一个未知的数甲从一个数乙中去除，在一定的次数内去除干净。怎么办？只能靠先试试看。

举一个例子，有一堆谷子，经量度，有二十七斗，要平分给六个人。所谓平分给六个人，就是六个人依次从中取出若干，到第六人正好取完，不多不少。

如果每人取五斗，六个人需要三十斗，二十七斗是不够分的。如果每人分四斗，则只需要二十四斗。在二十七斗中，每人分去了四斗，应当还余三斗。把三斗分给六个人，每人分六分之三斗，也就是两个人分一斗，即二分之一斗。经过这样的商度，人们知道了，二十七斗谷子，每次去除四又二分之一斗，六次正好去除尽。

在这个例子中，二十七是被去除的数目，称被除数；六是去除的次数，称除数；商定每次去除四又二分之一就能够除尽，称商数，简称商。如果商数取四，则“除不尽”，有余数三。

这就是除法及其术语被除数、除数、商数、余数、除尽、除不尽等的来历。

在这些术语中，除字的意思就是去除，商字的意思就是商定。当然，当词语被广泛使用后，人们往往不会再注意其每一个字的本义。

在现代数学中，除法也不再仅仅是其原始意义上数的均分了。一般地说，人们只是把它作为各种乘法的逆运算。

求商的运算也扩展到各个学科之中，例如在心理学中，人们把儿童的心理年龄与实际年龄的比称为智商。在物理学中，把在可逆条件下热量的增量与热力学温度的比，作为一个热力学函数的增量，而且新造一个汉字熵，来表示这个重要的热力学函数。